楊 康，吳少培，衛(wèi) 佳，李國芳，丁旺才

（蘭州交通大學(xué)機電工程學(xué)院，蘭州 730070）

彈性碰撞振動系統(tǒng)作為非光滑動力學(xué)的一種，由于其不連續(xù)性和激變特性，導(dǎo)致彈性碰撞系統(tǒng)難以像光滑動力系統(tǒng)那樣按拓?fù)涞葍r分成基本類。同時，在特定的參數(shù)下系統(tǒng)具有多值映射性，呈現(xiàn)出不變集共存的現(xiàn)象，此時系統(tǒng)表現(xiàn)出對初值的敏感性，這對系統(tǒng)的動力學(xué)性態(tài)設(shè)計與控制提出了嚴(yán)峻的挑戰(zhàn)［1-2］。

本文所研究的系統(tǒng)模型基于碰撞振動理論。對于碰撞振動系統(tǒng)，諸多學(xué)者進(jìn)行了研究。李得洋等［3］建立兩個Poincaré截面，為統(tǒng)計系統(tǒng)周期運動及碰撞次數(shù)提供了研究思路。吳少培等［4］通過分析碰撞系統(tǒng)相空間內(nèi)的四種運動，細(xì)致的揭示了系統(tǒng)的黏滯-黏著狀態(tài)。王長利等［5］通過改變系統(tǒng)參數(shù)得到了系統(tǒng)的最優(yōu)控制，揭示了參數(shù)優(yōu)化的重要性。Li等［6］研究了剛性和彈性碰撞模型的全局動力學(xué)，分析了周期運動的轉(zhuǎn)遷，以及鞍結(jié)分岔與擦邊分岔誘導(dǎo)的多態(tài)共存現(xiàn)象。二十世紀(jì)80年代，隨著胞映射理論的提出［7］，碰撞振動系統(tǒng)的內(nèi)在運動機制揭示更加完善，經(jīng)過多年的發(fā)展，學(xué)者們在此基礎(chǔ)上提出了許多新的改進(jìn)方法。Belardinelli等［8-9］研究了基于并行計算胞映射算法，并在低維系統(tǒng)和中高維非線性系統(tǒng)中進(jìn)行運算驗證。柴凱等［10］提出了改進(jìn)多自由度并行胞映射法，進(jìn)一步提高了多自由度胞映射算法運行效率與精度。周杜等［11］基于簡單胞映射方法對兩自由度非線性齒輪系統(tǒng)全局特性進(jìn)行了分析。Sun 等［12］綜述了胞映射基于多目標(biāo)優(yōu)化的應(yīng)用，并介紹了基于并行計算的胞映射在高維系統(tǒng)中的應(yīng)用問題。岳曉樂等［13］借助胞映射方法，獲得了系統(tǒng)的吸引子、吸引域、鞍結(jié)分岔轉(zhuǎn)遷等全局信息，得到了系統(tǒng)響應(yīng)演化過程中的瞬態(tài)與穩(wěn)態(tài)概率密度函數(shù)。Li等［14］結(jié)合胞映射法，提出了非光滑系統(tǒng)參數(shù)-狀態(tài)空間的全局動力學(xué)研究方法。李得洋等［15］基于胞映射法分析了碰撞系統(tǒng)相鄰周期運動的非光滑分岔轉(zhuǎn)遷規(guī)律，得出了一種特殊的Sliding分岔現(xiàn)象。徐偉等［16］對幾類胞映射方法進(jìn)行了綜述，描述了胞映射方法在隨機響應(yīng)、分岔等碰撞振動系統(tǒng)的應(yīng)用場景，為碰撞振動系統(tǒng)研究提供了方向。

對彈性碰撞振動系統(tǒng)而言，非光滑系統(tǒng)全局動力學(xué)與控制的研究，不僅要知道系統(tǒng)周期運動的穩(wěn)定性，而且還要搞清楚目標(biāo)周期運動吸引域的大?。煌ㄟ^精細(xì)化計算得到系統(tǒng)清晰的吸引域形狀輪廓和細(xì)節(jié)特征，進(jìn)一步揭示系統(tǒng)多態(tài)共存分布區(qū)域及其轉(zhuǎn)遷形成機理。

1 系統(tǒng)動力學(xué)模型

圖1為彈性碰撞振動系統(tǒng)動力學(xué)模型，沖擊振子M分別由剛度為K1的線性彈簧和阻尼系數(shù)為C的阻尼器與支撐連接，并受到簡諧激勵Fsin（ΩT＋τ）的作用（F為簡諧激勵力振幅值，Ω 為簡諧激勵力頻率），左邊為剛度為K2彈性碰撞面。當(dāng)沖擊振子M的位移X大于間隙B時，與彈性碰撞面接觸，直到?jīng)_擊振子的位移恢復(fù)到X＜B，進(jìn)入脫離階段，如此反復(fù)運動形成周期運動。

圖1 系統(tǒng)動力學(xué)模型Fig.1 System dynamics model

根據(jù)系統(tǒng)運動的狀態(tài)，可以得到系統(tǒng)的無量綱運動微分方程為：

無量綱化：

首先分析系統(tǒng)在不同運動區(qū)域中振動微分方程方程對應(yīng)的解。在x＞b時，即沖擊振子與彈性碰撞面接觸階段，微分方程的通解為：

在x≤b時，即沖擊振子M與彈性碰撞面脫離階段，微分方程的通解為：

2 彈性碰撞振動系統(tǒng)的胞映射方法

在彈性碰撞振動系統(tǒng)中，系統(tǒng)的運動信息不僅包括激勵周期，還包括振子和對應(yīng)邊界的碰撞次數(shù)。為了能夠全面地研究分段線性系統(tǒng)的全局動力學(xué)，不僅要分析定相位面上的共存吸引子和狀態(tài)胞的收斂情況，而且還必須給出共存吸引子在分界面上的Poincaré截面投影圖和吸引域。

定義：在Poincaré截面∑上任意取一點，以為初值的運動軌線首次到達(dá)Poincaré映射面∑時和∑的交點記為，該過程記為Φf，稱

為Poincaré截面∑上的一次碰撞迭代［3］。

為了實現(xiàn)同周期（或同碰撞數(shù)）的不同周期運動識別，令：Nn表示新發(fā)現(xiàn)周期運動的周期；（或）表示定相位面上新發(fā)現(xiàn)周期運動的一個周期點；Nd（i）表示各確定周期運動的周期，（i＝1，2，…，Np）；Np表示已確定周期運動的個數(shù)；（j）（或（j））表示定相位面上第i個已確定周期運動的各個周期點，（j＝1，2，…，Nd（i））。在程序中，實現(xiàn)同周期的不同周期運動識別的具體步驟如下：

①檢查（i）中是否存在，使得若存在，執(zhí)行②；反之，執(zhí)行④。

②在定相位面（或碰撞面）上，取新發(fā)現(xiàn)周期運動的一個周期點（或），計算（或如存在，使得執(zhí)行③；否則，執(zhí)行④。

③將第個已確定周期運動的組號和周期數(shù)賦給新發(fā)現(xiàn)周期運動的各個周期胞及收斂到該周期運動的所有胞，該程序模塊結(jié)束。

④將記錄已確定周期運動個數(shù)的變量加1，記錄新發(fā)現(xiàn)周期運動的周期和各個周期點，并給新周期運動的各個周期胞及收斂到該周期運動的所有胞賦給相應(yīng)的組號、周期數(shù)及收斂到該周期運動的步數(shù)，該程序模塊結(jié)束。

3 系統(tǒng)周期運動轉(zhuǎn)遷規(guī)律分析

3.1 系統(tǒng)周期運動分布規(guī)律

為了更好的描述系統(tǒng)的周期運動，用p／n表述系統(tǒng)周期運動，其中p表示一個完整的周期運動內(nèi)沖擊振子M在截面∑上的沖擊次數(shù)，n表示一個完整周期運動內(nèi)激勵的周期數(shù)，多周期共存區(qū)（Multi-period coexistence）用符號MPC表示。選取參數(shù)μk＝9，ζ＝0.05，f＝1，間隙b∈［1，75，2，25］和激振頻率ω∈［0.66，0.74］作為系統(tǒng)的采樣區(qū)域。系統(tǒng)運動分布圖如圖2所示，參數(shù)域內(nèi)系統(tǒng)主要表現(xiàn)有0／1，1／1，1／2和2／2周期運動，同時在周期運動交界處存在一定區(qū)域的多態(tài)共存區(qū)（MPC）。

圖2 系統(tǒng)運動分布圖Fig.2 System motion distribution diagram

選取間隙b＝1.96，作系統(tǒng)的多初態(tài)分岔圖，如圖3所示，其中圖（a1）和（b1）分別為圖（a）和（b）的局部放大圖，˙xnp表示沖擊振子M在截面σ上的振子速度，˙x－表示沖擊振子M在截面∑上碰撞前的沖擊速度，虛線為不穩(wěn)定周期運動。圖中SN、GR和PD 分別表示鞍結(jié)分岔、擦邊分岔和倍化分岔。系統(tǒng)在SN1和SN2的作用下位于ω∈［0.697 7，0.703 8］區(qū)間形成多態(tài)共存區(qū)（MPC），期間會受到GR1、GR2、PD、GR3的作用，出現(xiàn)不同形式的周期共存。根據(jù)分岔的誘導(dǎo)多態(tài)共存區(qū)的多樣性表示如圖4所示。

圖3 系統(tǒng)分岔圖Fig.3 System bifurcation diagram

圖4 系統(tǒng)多態(tài)共存區(qū)的多樣性Fig.4 Diversity of polymorphic coexistence regions in systems

3.2 系統(tǒng)周期運動轉(zhuǎn)遷

系統(tǒng)選取參數(shù)：μk＝300，b＝0.1，ζ＝0.2，f＝1。以激勵頻率ω作為控制參數(shù)，當(dāng)ω∈［2，3，2.5］時，系統(tǒng)分岔圖如圖5所示。在圖5（a）和（b）中激勵頻率ω∈［2.440 3，2.487 8］為周期共存區(qū)。其中ω∈［2.440 3，2.461 2］為周期2／2運動與周期2／3運動共存區(qū)；ω∈［2.461 2，2.474 3］為周期4／4運動與周期2／3運動共存區(qū)；ω∈［2.474 3，2.477 1］為周期8／8運動與周期2／3運動共存區(qū)；隨著激勵頻率ω的增加，系統(tǒng)進(jìn)入混沌與周期2／3運動共存區(qū)。

圖5 系統(tǒng)分岔圖Fig.5 System bifurcation diagram

首先研究區(qū)域Ω的選?。涸讦医孛嫔?，取Ωσ＝并將其劃分成800×1 000個胞；在∑截面上，取Ω∑＝｛τ，并將其劃分成1 256×1 000個胞。周期2／2運動與周期2／3運動共存區(qū)中選取ω＝2.45，對應(yīng)得到系統(tǒng)胞映射圖，如圖6所示。圖6（a）為區(qū)域Ωσ的胞映射圖，其中A（2）和B（1）分別表示周期n＝3的吸引子和對應(yīng)吸引域，B（1）占總胞數(shù)的56.07%；A（2）和B（2）分別表示周期n＝2的吸引子和對應(yīng)吸引域，B（2）占總胞數(shù)的33.87%；其余10.06% 為陷胞S區(qū)。圖6（b）為區(qū)域Ω∑的胞映射圖，其中A（1）和A（2）分別表示不同的周期p＝2的吸引子，對應(yīng)吸引域B（1）和B（2）分別占總胞數(shù)的26.17%、73.73%，其余0.1%為陷胞。對應(yīng)不同的初態(tài)具有兩種運動類型，周期2／2運動和周期2／3運動相圖如圖7所示。

圖6 系統(tǒng)胞映射圖ω=2.45Fig.6 System cell mapω=2.45

圖7 ω=2.45系統(tǒng)相圖Fig.7 ω=2.45 System phase diagram

圖8為ω＝2.465的胞映射圖，區(qū)域Ωσ中存在周期n＝4和n＝3吸引子，對應(yīng)吸引域B（1）和B（2）分別占總胞數(shù)的35.81%、55.30%，其余8.89% 為陷胞；區(qū)域Ω∑中存在周期p＝4和p＝2吸引子，對應(yīng)吸引域B（1）和B（2）分別占總胞數(shù)的95.92%、3.95%，其余0.13% 為陷胞；圖9為對應(yīng)的共存周期運動相圖。圖10為ω＝2.476的胞映射圖，區(qū)域Ωσ中存在周期n＝3 和混沌吸引子，對應(yīng)吸引域B（1）和B（2）分別占總胞數(shù)的53.78%、37.45%，其余8.77% 為陷胞；區(qū)域Ω∑中存在周期p＝2和混沌吸引子，對應(yīng)吸引域B（1）和B（2）分別占總胞數(shù)的39.51%、60.23%，其余0.26% 為陷胞；圖11為對應(yīng)周期2／3運動和混沌運動的相圖。

圖8 系統(tǒng)胞映射圖ω=2.465 Fig.8 System cell mapω=2.465

圖9 ω=2.465系統(tǒng)相圖Fig.9 ω=2.465 System phase diagram

圖10 系統(tǒng)胞映射圖ω=2.476 Fig.10 System cell mapω=2.476

4 結(jié)論

本文研究了彈性碰撞振動系統(tǒng)全局動力學(xué)，通過建立系統(tǒng)動力學(xué)模型，并得到系統(tǒng)運動解析解表達(dá)式。參數(shù)域內(nèi)分析了系統(tǒng)周期運動及多態(tài)共存區(qū)的分布規(guī)律，并利用改進(jìn)胞映射法刻畫了不同Poincaré截面上系統(tǒng)清晰的吸引域形狀輪廓和細(xì)節(jié)特征，進(jìn)一步揭示系統(tǒng)多態(tài)共存分布區(qū)域及其轉(zhuǎn)遷形成機理。

1）在一定參數(shù)域內(nèi)，多周期交界處會出現(xiàn)多態(tài)共存區(qū)（MPC），MPC 區(qū)域內(nèi)系統(tǒng)受到鞍結(jié)分岔、擦邊分岔和倍化分岔的誘導(dǎo)，出現(xiàn)不同形式周期運動的共存（周期多樣性），包括穩(wěn)定和不穩(wěn)定周期運動。

2）改進(jìn)胞映射法通過精細(xì)化計算得到系統(tǒng)清晰的吸引域形狀輪廓、吸引子和陷胞等細(xì)節(jié)特征，利用單自由度彈性碰撞振動系統(tǒng)驗證該方法的有效性，進(jìn)一步刻畫多態(tài)共存區(qū)邊界線及內(nèi)部運動機制。