張凡麗，高紅亮

（蘭州交通大學數理學院，蘭州 730070）

病毒感染是一個極其復雜的過程，按照感染癥狀的明顯程度分為顯性感染和隱性感染，同一病毒可能對不同的人有不同的情況，有時會引起顯性感染，有時引起隱性感染。隱性感染可能使病毒不能最后侵犯或到達靶器官，因而不呈現或很少出現臨床癥狀，這種感染最為常見，是人和動物天然自動獲得抗病毒特異性免疫力的主要來源。同時，隱性感染動物仍然有向外界散布病毒而成為傳染源的可能性，許多傳染病都具有隱性感染的特點，如口蹄疫、艾滋病、乙型腦炎、甲型肝炎和新型冠狀病毒等。因此對隱性感染的研究具有非常重要的流行病意義。其實早在2009年Shil［1］已經建立了SEIAR 模型，考慮了隱性感染對于疫情的影響；Grunnill［2］建立了SAIR 模型，采用隨機模擬的方法，估計出感染者中無癥狀感染者所占比例最高可達到70%；Robinson等［3］建立了SAIR 模型，證明了忽視無癥狀感染會對有癥狀感染的治療效果變差；Aguilar等［4］建立了SEYAR 模型，討論了無癥狀感染對傳染病傳播的影響。國內許多學者［5-11］同樣討論了無癥狀感染和其他種群因素對疫情的影響，但這些研究都未考慮年齡因素。

年齡不僅對于種群增長規(guī)律和傳染病流行規(guī)律而言是一個重要因素，對生育率、死亡率、傳染率以及恢復率也有一定的影響。因此，使用年齡結構模型來研究某些傳染病模型傳播的動力學是非常重要的。年齡結構分為生理年齡結構和類年齡結構，生理年齡即隨時間變化的年齡，而類年齡是指自患病或者接種疫苗之日開始計算的年齡。自20世紀70年代開始，許多學者［12-15］已經注意到生理年齡結構對于疾病傳播有著重要的影響，并提出了很多年齡結構的傳染病模型來研究某些傳染病的動力學行為。

基于以上分析考慮，本文建立了一個具有生理年齡的SEIR 模型，將人群分為易感者類、潛伏者類、染病者類、隱性感染者類和康復者類，假設個體成功接種疫苗后獲得免疫不再發(fā)病，并且個體的自然死亡率、疫苗接種率、感染率和恢復率都與年齡有關。首先討論了無病平衡點和地方病平衡點的存在性，然后研究了無病平衡點和地方病平衡點的穩(wěn)定性，最后得出結論。

1 建立模型

本文將所研究的人群分為5類，分別為易感者類、潛伏者類、染病者類、隱性感染者類和康復者類，并用S（a，t），E（a，t），I（a，t），A（a，t），R（a，t）表示在t時成員年齡a的易感者類、潛伏者類、染病者類、無癥狀者類和康復者類的年齡分布函數。種群全體成員的年齡分布函數為N（a，t），即N（a，t）＝S（a，t）＋E（a，t）＋I（a，t）＋A（a，t）＋R（a，t），根據傳染病建模方法，建立如下年齡結構的傳染病模型，

各參數表示的意義如表1所列。

表1 各參數表示的意義Tab.1 Parameters meaning

基本假設：

1）具有一定的初始人口；

2）不考慮因病死亡；

3）無癥狀者和染病者都具有傳染性，傳染率為β，且無癥狀者的傳染率是染病者的k倍；

4）無癥狀者的占比為p，且A＋I＝1；

5）無癥狀者的恢復率與染病者的恢復率相同。

為了簡化系統(tǒng)（1），對系統(tǒng)（1）進行歸一變換，令

則系統(tǒng)（1）變?yōu)槿缦滦问?/p>

其中，

初始條件

邊界條件：

有

2 無病平衡點的存在性和穩(wěn)態(tài)

2.1 無病平衡點的存在性

當系統(tǒng)（2）達到穩(wěn)定的年齡分布時，s，x，i，f只與a有關，所以系統(tǒng)（2）變?yōu)槿缦滦问?/p>

顯然i（a）＝0是系統(tǒng)（3）的第3個方程的解，那么

則

綜上可知無病平衡點存在且唯一，即E0＝［s0（a），r0（a），0，0，0］。

2.2 無病平衡點的局部穩(wěn)定性

為了研究無病平衡點的局部穩(wěn)定性，對系統(tǒng)（3）進行線性變換，令

則系統(tǒng)變?yōu)槿缦滦问?/p>

其中

它的線性部分如下

邊界條件：s（0，t）＝0，i（0，t）＝x（0，t）＝f（0，t）＝0

考慮系統(tǒng)（5）的指數解形式，令

則系統(tǒng)（5）變?yōu)槿缦滦问?/p>

其中，

解系統(tǒng)（6）可以得到

定理1若R0＜1，則無病平衡點局部漸進穩(wěn)定。

證明由等式（7）可知，

F（ξ）的大致圖像如圖1所示。

圖1 F（ξ）的大致圖像Fig.1 Approximate graph of F（ξ）

當R0＜1時，如圖1所示，存在唯一的負實根ξ*使得F（ξ*）＝1。

下證當R0＜1，ξ*＜0時，等式（7）的所有復根有負實部。設u＝α＋iβ也是F（ξ*）＝1的根，那么

又F單調遞減，所以

定理得證。

2.3 無病平衡點的全局穩(wěn)定性

定理2若R0＜1，則無病平衡點全局漸進穩(wěn)定。

證明根據全局穩(wěn)定的定義，只需證

對系統(tǒng)（2）的第一個方程沿著特征線積分a＝t＋c有

利用同樣的方法可得到

又因為

對式（8）兩邊取上確界的極限，有

當R0＜1時，

又

所以，

再由i（a，t）的表達式可知

定理得證。

3 地方病平衡點的存在性和穩(wěn)態(tài)

3.1 地方病平衡點的存在性

當系統(tǒng)（2）達到穩(wěn)定的年齡分布時，系統(tǒng)只與a有關，則系統(tǒng)（2）的穩(wěn)態(tài)解滿足如下形式

邊界條件：

其中，

則

令上式右端為L（Λ*），則有如下定理。

定理3若R0＞1，系統(tǒng)（2）存在唯一的正平衡點E*存在唯一的＞0使得

3.2 地方性平衡點的局部穩(wěn)定性

為了研究地方性平衡點的局部穩(wěn)定性，對系統(tǒng)（2）做線性變換，令

則系統(tǒng)（2）的線性部分如下所示

考慮上述系統(tǒng)（10）的指數解形式

則系統(tǒng)（11）為如下形式

由系統(tǒng)（12）可以得到

因此，有如下定理。

定理4若R0＞1，地方性平衡點局部漸進穩(wěn)定。

證明因為

將等式右邊記為Q（η）。

顯然Q（η）關于η單調遞減，那么，當η＞0時，

以上分析說明，只有當Reη＜0，P（η）＝1。因此，若R0＞1，P（η）＝1的所有根都具有負實部。

定理得證。

4 結論

本文提出了一個考慮隱性感染的年齡結構的傳染病模型，分析得到了基本再生數R0的表達式，驗證了無病平衡點E0和地方性平衡點E*的存在性；再根據特征方程得到R0＜1時，E0的局部穩(wěn)定性，然后利用特征線法得到當R0＜1，E0的全局穩(wěn)定性。另外，本文還討論了R0＞1時，E*的局部穩(wěn)定性。

最后，本文僅考慮了隱性感染對傳染病的影響，未考慮隱性感染可以通過某些傳播成為感染者。其次，本文只考慮了年齡和時間，沒有考慮空間遷移或者空氣傳播等因素，后面的研究將繼續(xù)討論這些問題。