陳明子
在學習“軸對稱圖形”的過程中,有一道題目的解法引起了我的興趣。
原題呈現(xiàn) 如圖1,在四邊形ABCD中,AC平分∠BAD,∠ABC+∠ADC=180°。求證:BC=DC。
這個題目是在學習了“角平分線的性質”之后的練習中出現(xiàn)的,我想到利用“角平分線上任意一點到角兩邊的距離相等”這一性質添加輔助線,作CE⊥AB,CF⊥AD,得到CE=CF,進而可證△CEB[≌]△CFD,所以BC=DC。
但是,在老師評講這道題目的時候,我發(fā)現(xiàn)很多同學都和我的方法相同。因此,老師進一步啟發(fā)我們,讓我們再次觀察角的特征。我忽然想起來角也是軸對稱圖形,角的兩條邊關于角平分線對稱。我們過于關注“角平分線上任意一點到角兩邊的距離相等”,反而忽視了角的一般性,從這個角度想,我的思路就開闊多了。
證法二:如圖3,在AB上取AG=AD,可證△ADC[≌]△AGC,得到CD=CG,再由角的關系得到CG=CB,所以BC=DC。
有了上述題目的啟發(fā),我在看幾何圖形時,就不會局限于定理的應用,而是會看到圖形的本質。我們不妨一起來試一試。
變式 在△ABC中,∠C=2∠B。
(1)如圖4,若AD平分∠BAC,求證:AB=AC+DC。
(2)如圖5,若AD是底邊上的高,求證:BC=AC+2DC。
(3)如圖6,若BC=2AC,求證:∠BAC=90°。
第(1)問中出現(xiàn)角平分線,如圖7,我們可以利用軸對稱性在AB上截取AE=AC,并連接DE(即作點C關于AD的對稱點)或延長AC到點F,使得AF=AB,并連接DF(即作點B關于AD的對稱點)。
第(2)問中出現(xiàn)了底邊上的高,如圖8,我們可以利用垂直平分線的性質,在BC上截取DE=CD,并連接AE(即作點C關于AD的對稱點)或延長BC到點F,使得DF=BD,并連接AF(即作點B關于AD的對稱點)。
第(3)問中出現(xiàn)了BC=2AC,要證明∠BAC=90°,即要證明∠B=30°,因此要采取的方法是利用等腰三角形的軸對稱性進行等角的轉換。如圖9,作射線AD交BC于點D,使得∠BAD=∠B。
通過對一道題的深入研究,我們才能透過現(xiàn)象看本質,從而解鎖這一類題。在以后的學習中,我還會發(fā)現(xiàn)更多的軸對稱圖形,想到這兒,我越發(fā)興奮,我要把我的“軸對稱”體系不斷地擴大!
教師點評:
軸對稱變換是非常重要的一種幾何變換,正如文中所提到的,很多同學往往只關注定理的應用,而忽略了“軸對稱”的本質。小作者借助一個題目,抓住“軸對稱”的本質進行深入研究,觸類旁通,收獲一類題,并體會到學習數(shù)學的樂趣,感悟數(shù)學之美!
(指導教師:張萬潔)