陳可欣，辛煥海，高暉勝，胡 光，倪秋龍，曹建偉

（1.浙江大學(xué) 電氣工程學(xué)院，浙江 杭州 310027；2.國網(wǎng)浙江省電力有限公司，浙江 杭州 310007；3.國網(wǎng)浙江省電力有限公司 湖州供電公司，浙江 湖州 313000）

0 引言

為實現(xiàn)“雙碳”目標(biāo)，近年來電力系統(tǒng)中新能源占比不斷提高。由于新能源出力具有波動大、支撐弱等特性，電力系統(tǒng)頻率穩(wěn)定面臨嚴(yán)峻的挑戰(zhàn)［1-2］。例如，2016 年9 月28 日，極端天氣誘發(fā)南澳電網(wǎng)新能源大規(guī)模脫網(wǎng)，系統(tǒng)頻率快速跌落至47 Hz，從而引發(fā)全網(wǎng)崩潰［3］。又如，2019 年8 月9 日，雷擊引起英國電網(wǎng)中大量新能源脫網(wǎng)，系統(tǒng)頻率跌落至48.8 Hz，引發(fā)大規(guī)模停電［4］。因此，亟需對新能源電力系統(tǒng)的頻率穩(wěn)定性能進(jìn)行更深入的研究。

傳統(tǒng)頻率穩(wěn)定研究通常僅關(guān)注系統(tǒng)全局頻率，其反映系統(tǒng)整體的頻率支撐能力和受擾情況［5］。例如，經(jīng)典的平均系統(tǒng)頻率模型、系統(tǒng)頻率響應(yīng)模型及眾多衍生模型［6］均針對全局頻率進(jìn)行分析。隨著電力系統(tǒng)中新能源機(jī)組增多，調(diào)頻資源分布更加不均勻，頻率響應(yīng)的空間分布特性也更加顯著［8］。此時，即使系統(tǒng)整體頻率支撐能力較強(qiáng)，某些調(diào)頻資源匱乏的節(jié)點仍可能因近區(qū)的擾動而產(chǎn)生較大的頻率波動，并引發(fā)安全穩(wěn)定事故。因此，近年來頻率響應(yīng)的空間分布差異也受到越來越多的關(guān)注［8］。

目前，分析頻率空間分布差異的方法大致包含基于仿真測量、基于模型解析2 類。第一類中，文獻(xiàn)［8］等針對軟件仿真測得的頻率軌跡進(jìn)行分析，建立了節(jié)點慣量等多種表征頻率空間分布特性的指標(biāo)。其優(yōu)勢在于結(jié)果相對精確，但所得結(jié)論缺乏機(jī)理解釋。此外，分析結(jié)果只適用于特定工況及擾動，若要驗證所有工況的穩(wěn)定性則有較大的計算負(fù)擔(dān)［10］。與仿真測量相比，基于解析模型的方法理論性較強(qiáng)，可通過靈敏度分析等進(jìn)一步指導(dǎo)控制改進(jìn)。此類方法需要對電網(wǎng)和發(fā)電設(shè)備分別建模，從而獲得系統(tǒng)閉環(huán)頻率響應(yīng)。對于電網(wǎng)側(cè)，現(xiàn)有文獻(xiàn)大多采用與直流潮流類似的模型［11］。對于設(shè)備側(cè)，由于大規(guī)模電力系統(tǒng)設(shè)備數(shù)量眾多，采用詳細(xì)模型將導(dǎo)致頻率響應(yīng)難以解析，故現(xiàn)有方法通常會做出較強(qiáng)假設(shè)以簡化分析［12］。也有部分文獻(xiàn)考慮較詳細(xì)的設(shè)備動態(tài)，通過建立分區(qū)系統(tǒng)頻率響應(yīng)模型進(jìn)行分析［14］。但通常對分區(qū)數(shù)有所限制，無法更精細(xì)地分析頻率的空間分布情況。值得指出的是，上述2 類方法中，均有文獻(xiàn)采用節(jié)點慣量指標(biāo)量化頻率空間分布差異。事實上，多機(jī)電力系統(tǒng)頻率響應(yīng)中多分量共存［12］，節(jié)點慣量只衡量了總頻率變化率，無法對不同分量進(jìn)行單獨分析。例如，對于一臺虛擬同步機(jī)，無論直接給負(fù)荷供電或連接無窮大電網(wǎng)，其機(jī)端節(jié)點慣量均為該設(shè)備的慣量，但其頻率響應(yīng)卻存在本質(zhì)差異。前者中，發(fā)電設(shè)備與負(fù)荷的頻率接近一致，均為系統(tǒng)全局頻率；而后者中，發(fā)電設(shè)備的頻率響應(yīng)為它與電網(wǎng)之間的相對振蕩?，F(xiàn)有節(jié)點慣量等方法無法對此進(jìn)行區(qū)分，難以更全面、精細(xì)地對電力系統(tǒng)的頻率響應(yīng)進(jìn)行分析并設(shè)計控制。因此，分析頻率響應(yīng)的空間分布差異時，有必要區(qū)分不同分量進(jìn)行研究。對此，文獻(xiàn)［16］提出了頻率模態(tài)解耦的分析方法，將系統(tǒng)頻率響應(yīng)分解為共模頻率與若干差模頻率，分別表征了頻率響應(yīng)中的全局分量與空間分布差異。文獻(xiàn)［17］基于發(fā)電設(shè)備同構(gòu)／均勻阻尼等假設(shè)，解析了各節(jié)點在擾動下各模態(tài)頻率分量的表達(dá)式，并分模態(tài)定義了有效慣量、模態(tài)慣量等指標(biāo)。然而，新能源調(diào)頻參數(shù)可靈活變化，同步機(jī)的參數(shù)則較為固定，因此它們的調(diào)頻行為通常具有異構(gòu)特性，依賴于同構(gòu)／均勻阻尼假設(shè)的方法難以準(zhǔn)確分析新能源電力系統(tǒng)的頻率響應(yīng)。

為此，在文獻(xiàn)［16］的基礎(chǔ)上，本文進(jìn)一步提出適用于新能源電力系統(tǒng)的節(jié)點頻率響應(yīng)模態(tài)分解與量化分析方法。首先，建立了電力系統(tǒng)節(jié)點頻率響應(yīng)模型，并將各類型發(fā)電設(shè)備近似為統(tǒng)一結(jié)構(gòu)以簡化分析。然后，利用基于二次特征值問題（quadratic eigenvalue problem，QEP）的方法將頻率響應(yīng)進(jìn)行分解，近似解析了共模頻率、差模頻率等模態(tài)頻率分量。進(jìn)一步地，解析了各頻率分量的變化率、最大偏差量等響應(yīng)特性，并通過節(jié)點模態(tài)慣量指標(biāo)量化分析了不同頻率分量在電力系統(tǒng)中的空間分布特性。最后，仿真驗證了所提方法的有效性。

1 節(jié)點頻率響應(yīng)建模及模態(tài)頻率分解

首先對新能源電力系統(tǒng)設(shè)備側(cè)和網(wǎng)絡(luò)側(cè)分別進(jìn)行建模，進(jìn)而獲得系統(tǒng)閉環(huán)頻率響應(yīng)模型。然后對現(xiàn)有文獻(xiàn)中頻率分解方法的局限性進(jìn)行簡要說明。

1.1 電力系統(tǒng)節(jié)點頻率響應(yīng)模型

首先，建立網(wǎng)絡(luò)側(cè)調(diào)頻動態(tài)模型。網(wǎng)絡(luò)中各節(jié)點的相角-有功響應(yīng)如式（1）所示［11］。由于系統(tǒng)中各節(jié)點的頻率響應(yīng)均存在一定差異，故分析時不僅考慮了設(shè)備，也保留了網(wǎng)絡(luò)中無源節(jié)點。設(shè)備節(jié)點和網(wǎng)絡(luò)節(jié)點的編號分別為1 —n和n+ 1 —m。

式中：ΔPGen和ΔPNet分別為發(fā)電設(shè)備和網(wǎng)絡(luò)節(jié)點的功率變化量；ΔθGen和ΔθNet分別為發(fā)電設(shè)備和網(wǎng)絡(luò)節(jié)點的相角響應(yīng)，對其微分即可獲得對應(yīng)節(jié)點的頻率響應(yīng)ΔωGen和ΔωNet；L11、L12、L21、L22為設(shè)備節(jié)點與網(wǎng)絡(luò)節(jié)點的分塊拉普拉斯矩陣，由系統(tǒng)的相角-有功潮流方程線性化得到，與系統(tǒng)中設(shè)備出力和負(fù)荷分布有關(guān)，具體表達(dá)式見附錄A式（A1）。

其次，建立設(shè)備側(cè)調(diào)頻動態(tài)模型。一般地，新能源、同步機(jī)等發(fā)電設(shè)備的調(diào)頻動態(tài)可表示為［16］：

式中：G(s)為對角矩陣，對角元為設(shè)備的頻率-有功傳遞函數(shù)。記第i臺設(shè)備單位容量的傳遞函數(shù)為gi(s)，標(biāo)幺容量為fi（即額定容量與容量基準(zhǔn)值之比），則其頻率-有功傳遞函數(shù)Gi(s)=figi(s)。新能源參與調(diào)頻時，為簡化分析，認(rèn)為其調(diào)頻余量充足。

網(wǎng)絡(luò)節(jié)點不會對頻率擾動做出功率響應(yīng)，故有：

值得一提的是，當(dāng)新能源不參與調(diào)頻時，對應(yīng)的設(shè)備節(jié)點可轉(zhuǎn)變?yōu)榫W(wǎng)絡(luò)節(jié)點進(jìn)行分析。由式（1）—（3），可得系統(tǒng)的閉環(huán)頻率響應(yīng)模型如下：

式中：ω0為系統(tǒng)標(biāo)稱頻率；ΔPD，Gen和ΔPD，Net分別為設(shè)備節(jié)點和網(wǎng)絡(luò)節(jié)點擾動。

為便于理解，接下來簡要介紹網(wǎng)絡(luò)節(jié)點與設(shè)備節(jié)點的相角響應(yīng)以及功率擾動之間的關(guān)系。由式（4）第2行可知，網(wǎng)絡(luò)節(jié)點的相角響應(yīng)為：

ΔθNet由兩部分組成。第一部分為所有設(shè)備節(jié)點響應(yīng)的加權(quán)，權(quán)重系數(shù)矩陣為-。該矩陣行和為1 且所有元素非負(fù)［19］，該結(jié)果與分頻器理論分析所得結(jié)論基本一致［11］。第二部分則由擾動直接確定。當(dāng)ΔPD，Net為階躍擾動時，這一部分的相角響應(yīng)也為階躍形式，該響應(yīng)是潮流平衡的需要。對應(yīng)的頻率響應(yīng)為脈沖，時間尺度很小，在分析頻率響應(yīng)時通?？珊雎?。因此，后文將重點關(guān)注網(wǎng)絡(luò)節(jié)點響應(yīng)中的第一部分，記為Δθ′Net。

接下來說明網(wǎng)絡(luò)節(jié)點擾動與設(shè)備節(jié)點間的關(guān)系，將式（5）代入式（4）得：

式中：Ls=L11-L1221； ΔPEq=-L12ΔPD，Net+ΔPD，Gen，為等效擾動，這表明施加在網(wǎng)絡(luò)節(jié)點部分的功率擾動可通過矩陣-L12等效為各設(shè)備節(jié)點的功率擾動。

由式（6）可知，網(wǎng)絡(luò)節(jié)點的頻率響應(yīng)由設(shè)備節(jié)點響應(yīng)加權(quán)獲得，故后文只需分解式（7）中的設(shè)備節(jié)點響應(yīng)，代入式（6）即可獲得網(wǎng)絡(luò)節(jié)點的響應(yīng)。值得一提的是，實際電力系統(tǒng)中發(fā)電設(shè)備節(jié)點、網(wǎng)絡(luò)節(jié)點數(shù)以萬計，調(diào)頻資源眾多。對上萬個節(jié)點進(jìn)行詳細(xì)分析將過于繁瑣，而且沒有必要。事實上，可以根據(jù)設(shè)備間電氣距離大小將系統(tǒng)分為若干區(qū)域，并通過參數(shù)等效聚合／辨識的方法分別等效為單臺設(shè)備［20］。這本質(zhì)上是認(rèn)為區(qū)域內(nèi)頻率響應(yīng)一致，進(jìn)而研究區(qū)域間頻率的分布情況。

1.2 現(xiàn)有模態(tài)頻率分解方法及其局限性

大量工程經(jīng)驗及理論研究表明，電力系統(tǒng)節(jié)點頻率響應(yīng)中存在全局一致分量、相對振蕩分量等多個分量［12］。系統(tǒng)模態(tài)頻率示意圖如圖1 所示，二者表現(xiàn)出的響應(yīng)特性并不相同，其分析與控制設(shè)計方法也存在一定差異。對于各節(jié)點頻率中全局一致分量，通常期望其最大偏移量不要過大，以免觸發(fā)低頻減載等保護(hù)動作；而對于振蕩分量，則期望它在波動較小的同時能快速衰減［1］。現(xiàn)有的節(jié)點頻率分析方法大多未對不同分量進(jìn)行區(qū)分，難以深入研究各節(jié)點頻率響應(yīng)的動態(tài)過程。

圖1 系統(tǒng)模態(tài)頻率示意圖Fig.1 Schematic diagram of system modal frequency

為此，文獻(xiàn)［16］提出了模態(tài)頻率分解方法，基于系統(tǒng)回差矩陣的譜分解將相角（頻率）響應(yīng)分解為多個分量：

式中：Δω1(s)為共模頻率，在所有節(jié)點其值一致；Δωk(s)（k=2，3，…，n）為差模頻率，在節(jié)點間其值相對振蕩；w/n、I分別為Ls的左、右特征向量；wi為w的元素；λR，k(s)和uR，k(s)、vR，k(s)（k=2，3，…，n）分別為系統(tǒng)回差矩陣的特征值和左、右特征向量。

系統(tǒng)同構(gòu)時，各設(shè)備單位容量傳遞函數(shù)gi(s)相同（記為g(s)），頻率分解結(jié)果可進(jìn)一步簡化為［17］：

式中：F=diag{fi}為各設(shè)備標(biāo)幺容量組成的系數(shù)矩陣；λFL，k為矩陣F-1Ls的第k個特征值。為便于描述，后文將Δωk(s)（k≠1）按振蕩頻率由小到大分別稱為第1差模、第2差模、…、第n-1差模。

不難驗證，式（9）中的共模頻率和差模頻率可分別由圖2（a）、（b）所示的單機(jī)帶負(fù)荷系統(tǒng)和單機(jī)無窮大系統(tǒng)獲得。圖中：Geq(s)為等效設(shè)備的調(diào)頻動態(tài)；Beq為等效線路電納。

圖2 等效系統(tǒng)示意圖Fig.2 Schematic diagram of equivalent systems

獲得式（9）需依賴于同構(gòu)的假設(shè)。然而，在新能源電力系統(tǒng)中，同步機(jī)、新能源等不同設(shè)備調(diào)頻環(huán)節(jié)差異較大，此時差模頻率的軌跡一般難以解析。為此，第2 章將給出一種設(shè)備簡化建模方法，第3 章在此基礎(chǔ)上將頻率響應(yīng)進(jìn)行分解。

2 適用于模態(tài)頻率分析的設(shè)備簡化建模

下面首先介紹適用于模態(tài)頻率分析的設(shè)備簡化模型，然后給出簡化模型參數(shù)的求解方法。

2.1 設(shè)備簡化模型結(jié)構(gòu)

對于共模頻率，由于擾動后一段時間其軌跡通常近似為阻尼正弦曲線（呈現(xiàn)先跌落（上升）后恢復(fù)的形式），對應(yīng)的設(shè)備模型為慣量-阻尼-調(diào)頻系數(shù)統(tǒng)一結(jié)構(gòu)，如式（10）所示，故可采用此類結(jié)構(gòu)近似各設(shè)備［22］。差模頻率為振蕩形式，也可由阻尼正弦曲線近似，如附錄A 圖A1 所示。進(jìn)而也可采用式（10）所示傳遞函數(shù)Gu(s)近似各設(shè)備模型。

式中：Ju、Du、1/Ku為統(tǒng)一結(jié)構(gòu)參數(shù)，分別稱為統(tǒng)一結(jié)構(gòu)慣量、統(tǒng)一結(jié)構(gòu)阻尼和統(tǒng)一結(jié)構(gòu)調(diào)頻系數(shù)。

統(tǒng)一結(jié)構(gòu)模型較為簡潔，一套參數(shù)可以表征設(shè)備對于某個頻率分量的響應(yīng)特性，但可能并不適用于所有分量。因此，將設(shè)備近似為統(tǒng)一結(jié)構(gòu)時應(yīng)當(dāng)區(qū)分不同模態(tài)分量。即對于不同模態(tài)，最適合描述設(shè)備的統(tǒng)一結(jié)構(gòu)參數(shù)并不完全一致，該性質(zhì)可稱為統(tǒng)一結(jié)構(gòu)參數(shù)的“模態(tài)性”［22］。當(dāng)然，采用更復(fù)雜的模型結(jié)構(gòu)、設(shè)置更多參數(shù)時，理論上參數(shù)的適應(yīng)性可能更強(qiáng)。但采用慣量、阻尼這種簡單的結(jié)構(gòu)進(jìn)行分析，有助于理解問題并指導(dǎo)工程實踐。此外，在分析差模振蕩時，本文所提統(tǒng)一結(jié)構(gòu)和經(jīng)典的阻尼轉(zhuǎn)矩分析具有一定的相似性。而采用阻尼轉(zhuǎn)矩分析得到的一個基本結(jié)論就是對于不同振蕩頻率點，設(shè)備阻尼轉(zhuǎn)矩不完全相同，甚至出現(xiàn)較大差異。從中可以看出，參數(shù)的模態(tài)性可能是難以避免的。另外，需要說明的是，將設(shè)備高階模型簡化為慣量、阻尼等形式的低階模型時，忽略了一些高頻動態(tài)，特別是電磁暫態(tài)尺度的動態(tài)。這一過程中，系統(tǒng)會丟失部分特征根，但由文獻(xiàn)［16］、圖A1及后文算例可知，采用二階模型可以較好地描述本文關(guān)注的慣量、阻尼等主導(dǎo)的機(jī)電暫態(tài)尺度下的系統(tǒng)頻率響應(yīng)和振蕩分量。

將同步機(jī)、新能源等設(shè)備簡化為統(tǒng)一結(jié)構(gòu)后，其調(diào)頻動態(tài)的差異可描述為統(tǒng)一結(jié)構(gòu)參數(shù)的差異。不同類型設(shè)備統(tǒng)一結(jié)構(gòu)慣量、阻尼等參數(shù)比例通常不同，系統(tǒng)仍呈現(xiàn)異構(gòu)特征（非均勻阻尼）。

基于上述的統(tǒng)一結(jié)構(gòu)模型，對于含n臺發(fā)電設(shè)備的電力系統(tǒng)，各設(shè)備節(jié)點的頻率響應(yīng)模型（式（6））可降階為n自由度的二階模型，具體如下：式中：J′、D′、L′為參數(shù)矩陣，且J′=ωJu，D′=ωDu，L′=Ls+ωK，Ju、Du、K為對角陣，其元素為各設(shè)備的統(tǒng)一結(jié)構(gòu)參數(shù)。

對于式（11）所示相角（頻率）響應(yīng)模型，即使系統(tǒng)中設(shè)備異構(gòu)，通過采用QEP 的方法也可將頻率響應(yīng)分解，并獲得各模態(tài)頻率解析表達(dá)式。具體分解方法將在第3章給出。

2.2 統(tǒng)一結(jié)構(gòu)參數(shù)求解方法

以第k個頻率分量為例，參照文獻(xiàn)［22］中方法，可建立如下優(yōu)化問題求解統(tǒng)一結(jié)構(gòu)參數(shù)：

式中：t0為擾動初始時刻；對于共模分量，tf一般取1.5 倍最低點時刻，對于差模分量，統(tǒng)一結(jié)構(gòu)可近似的時間范圍更長，tf可取2～3 倍振蕩周期；ΔPi，k(t)和ΔP′i，k(t)分別為t時刻第i臺發(fā)電設(shè)備對第k個模態(tài)頻率的實際功率響應(yīng)和統(tǒng)一結(jié)構(gòu)近似的功率響應(yīng)；Jui，k、Dui，k和1/Kui，k為待求解的第i臺發(fā)電設(shè)備第k個模態(tài)的統(tǒng)一結(jié)構(gòu)參數(shù)；Δωi，k(s)為系統(tǒng)第i個設(shè)備節(jié)點頻率響應(yīng)的第k個分量，可通過迭代法進(jìn)行求解。Δωi，k(s)求解流程如附錄A 圖A2 所示，具體步驟如下：①估計所有發(fā)電設(shè)備的統(tǒng)一結(jié)構(gòu)參數(shù)初值；②根據(jù)下文式（15）獲得第i個設(shè)備節(jié)點第k個頻率分量近似的表達(dá)式Δω′i，k(s)；③將Δω′i，k(s)代入式（12）所示的優(yōu)化問題進(jìn)行求解，并更新各設(shè)備的統(tǒng)一結(jié)構(gòu)參數(shù)；④重復(fù)步驟②和步驟③，直至參數(shù)收斂。

特別說明的是，對于調(diào)頻動態(tài)更復(fù)雜的新能源機(jī)組／同步機(jī)，采用上述方法對其調(diào)頻動態(tài)進(jìn)行統(tǒng)一結(jié)構(gòu)近似后，即可進(jìn)行進(jìn)一步分析。

3 基于QEP 的頻率響應(yīng)分解及節(jié)點模態(tài)慣量指標(biāo)

下面基于QEP 的分解方法將式（11）中頻率響應(yīng)進(jìn)行分解［5］，并通過建立節(jié)點模態(tài)慣量指標(biāo)等方法來分析差模頻率的空間分布特性。

3.1 基于QEP的頻率響應(yīng)分解方法

對于式（11）所示的n自由度二階系統(tǒng)，滿足式（13）的λk、zk(k=1，2，…，2n)為其QEP 和相應(yīng)的右特征向量［5］。

由線性系統(tǒng)理論可知，式（11）所示系統(tǒng)存在2n個特征值。將這2n個特征值的響應(yīng)兩兩結(jié)合，可以形成n個二階模式［25］。為獲得這些二階模式具體的表達(dá)式，定義以2 組特征值為對角元的對角矩陣，即Λ1=diag{λ1，λ1，…，λn}，Λ2=diag{λn+1，λn+2，…，λ2n}，同時記Ddcp=-Λ1-Λ2、Ldcp=Λ1Λ2。

基于文獻(xiàn)［5］的方法，可以將設(shè)備節(jié)點響應(yīng)分解為若干個二階分量，其表達(dá)式為：

式中：dk、lk分別為矩陣Ddcp、Ldcp的對角元；變量HM，k、HN，k的表達(dá)式和推導(dǎo)式（14）的具體步驟分別見附錄B和文獻(xiàn)［5］。

結(jié)合式（6）和式（14），考慮僅在第j個節(jié)點施加大小為P0的擾動ΔPD，j=-P0/s，則第i個節(jié)點的頻率響應(yīng)Δω′i(s)為：

式中：O[i，j]表示矩陣O中第i行第j列的元素。

為描述方便，稱解耦的頻率響應(yīng)中第k個分量為QEP 分量k。對式（15）進(jìn)行拉氏反變換，即可獲得其時域結(jié)果，見附錄B式（B11）。

為便于理解，簡要說明基于QEP 的頻率響應(yīng)分解與文獻(xiàn)［17］中基于同構(gòu)假設(shè)的模態(tài)頻率分解間的聯(lián)系。設(shè)備同構(gòu)時，由式（9）知，將設(shè)備近似為統(tǒng)一結(jié)構(gòu)后，每個模態(tài)頻率分量的分母均對應(yīng)系統(tǒng)一對特征根。而各QEP 分量也對應(yīng)一對特征根。由留數(shù)定理可知，它們分子的系數(shù)也相同，故此時2 種分解方法完全一致。QEP 分量1 即為共模頻率，QEP 分量k為第k-1差模頻率。弱異構(gòu)系統(tǒng)可視作由一個同構(gòu)系統(tǒng)攝動而來，此時2 種分解方法相近，因此后文用QEP分量近似表征各模態(tài)頻率分量以進(jìn)行分析。

3.2 節(jié)點頻率響應(yīng)特性分析

對式（15）中第k個頻率分量Δω′i，k(s)應(yīng)用拉式變換微分定理，可知其變化率Δω˙′i，k(s)的頻域表達(dá)式為：

式（16）中存在一個常數(shù)項-P0H′M，k[i，j]/ω0，該項在系統(tǒng)同構(gòu)時等于0（證明可參考文獻(xiàn)［5］）。在異構(gòu)時，該項不為0，頻率變化率將在擾動初始時刻有脈沖項。這是因為異構(gòu)系統(tǒng)中各頻率二階分量的初相角不為0°，擾動初始時刻頻率分量發(fā)生突變。值得注意的是，此處各頻率分量的突變與式（5）的網(wǎng)絡(luò)節(jié)點相角突變所指的并非同一個現(xiàn)象，異構(gòu)系統(tǒng)的設(shè)備節(jié)點、網(wǎng)絡(luò)節(jié)點均可能發(fā)生頻率分量的突變。若直接應(yīng)用初值定理計算其初始變化率，則將得到一個由突變導(dǎo)致的趨于無窮的值。為計算各分量的初始變化率，應(yīng)用初值定理時可舍去這部分，即：

由此，可以定義節(jié)點模態(tài)慣量指標(biāo)Ji，j，k為：

Ji，j，k物理意義為在第j個節(jié)點發(fā)生單位階躍擾動時，第i個節(jié)點頻率響應(yīng)中第k個分量初始變化率的倒數(shù)，當(dāng)i=j時，可簡記為Ji，k。

此外，考慮節(jié)點頻率響應(yīng)為各分量的疊加，還可定義節(jié)點總模態(tài)慣量Jm，i，j如下：

式（19）適用于設(shè)備、網(wǎng)絡(luò)節(jié)點，其物理意義為系統(tǒng)中各設(shè)備慣量對擾動點的支撐情況。一般而言，節(jié)點慣量越大，系統(tǒng)內(nèi)各設(shè)備的慣量資源能為該節(jié)點提供更多的慣量支撐作用，在有功擾動下能更好地抑制該節(jié)點頻率變化，這一節(jié)點受到擾動后頻率變化得越慢，反之亦然。特別地，在設(shè)備節(jié)點施加擾動時（i=j），由式（19）計算得到的該節(jié)點自身的節(jié)點總模態(tài)慣量理論上等同于設(shè)備的慣量。這是因為各分量的初始變化率之和等同于總的初始變化率，而后者由設(shè)備慣量決定［17］。但需要說明的是，式（19）的推導(dǎo)依賴于將設(shè)備簡化為統(tǒng)一結(jié)構(gòu)，而簡化的過程可能會帶來誤差。故計算得到的節(jié)點總模態(tài)慣量可能并非嚴(yán)格等于設(shè)備慣量，這將在后文算例中進(jìn)行說明。

與現(xiàn)有的節(jié)點慣量相比，通過節(jié)點模態(tài)慣量指標(biāo)可區(qū)分不同振蕩頻率的分量中哪些分量振蕩／跌落較大，有助于理解不同節(jié)點不同模態(tài)的頻率支撐能力，并在此基礎(chǔ)上進(jìn)行針對性的控制設(shè)計，而這是現(xiàn)有的節(jié)點慣量指標(biāo)無法體現(xiàn)的，后文算例對此進(jìn)行了進(jìn)一步的說明。

此外，雖然節(jié)點模態(tài)慣量只與頻率分量的初始變化率有嚴(yán)格的解析關(guān)系，但是它仍可在一定程度上為分析各頻率分量振蕩幅值的分布情況提供參考。具體而言，對于同構(gòu)系統(tǒng)，各節(jié)點同一個模態(tài)分量的相位相同或相反，此時各頻率分量的振蕩幅值與其初始變化率成正比，即與節(jié)點模態(tài)慣量成反比［17］；對于異構(gòu)系統(tǒng)，由后文算例可知，節(jié)點模態(tài)慣量在不同節(jié)點的數(shù)值具有數(shù)量級的差異，故各節(jié)點振蕩幅值差異仍由節(jié)點模態(tài)慣量的變化主導(dǎo)。在節(jié)點模態(tài)慣量數(shù)值較大（如大于103p.u.）處，頻率分量初始變化率趨于0，其軌跡整體的波動也將較小。因此，該指標(biāo)可以用于初步篩選頻率分量振蕩幅值較大的區(qū)域，對于這些區(qū)域可進(jìn)一步分析最大偏差量等頻率特征。

基于式（15），也可直接解析各分量的最大偏差，如附錄B 式（B13）（二階模式阻尼比大于1）與式（B14）（阻尼比不大于1）所示。

4 算例分析

下面通過兩機(jī)系統(tǒng)算例與十機(jī)系統(tǒng)算例，基于MATLAB／Simulink 仿真平臺驗證所提方法與指標(biāo)的有效性。為便于理解新能源接入對系統(tǒng)頻率響應(yīng)的影響，同時為簡化分析，算例中對新能源機(jī)組進(jìn)行了簡化，選擇了調(diào)頻動態(tài)較為簡單的模型（虛擬慣量加下垂控制），未考慮風(fēng)電轉(zhuǎn)速變化、光伏最大功率點跟蹤等因素的影響。此外，由于關(guān)注的問題為機(jī)電暫態(tài)時間尺度，故采用各設(shè)備在平衡點處線性化后的小信號模型，且主要關(guān)注各設(shè)備的調(diào)頻環(huán)節(jié)。同步機(jī)采用經(jīng)典二階模型，新能源機(jī)組忽略了較快的電流內(nèi)環(huán)動態(tài)。

新能源機(jī)組忽略高頻電流內(nèi)環(huán)動態(tài)前后的系統(tǒng)頻率響應(yīng)軌跡對比見附錄C 圖C1。由圖可知，二者的區(qū)別主要在于初始時刻一快速衰減的振蕩分量，在分析時可近似忽略。

4.1 兩機(jī)系統(tǒng)算例

采用兩機(jī)系統(tǒng)驗證模型簡化方法、頻率響應(yīng)分解方法和節(jié)點模態(tài)慣量指標(biāo)的有效性，該系統(tǒng)如圖3所示。圖中：節(jié)點1、2 為設(shè)備節(jié)點；節(jié)點3 為兩設(shè)備間任意位置的網(wǎng)絡(luò)節(jié)點；X1和X2分別為節(jié)點1、3 和節(jié)點2、3 之間的線路電抗；Ra=X1/（X1+X2），表示網(wǎng)絡(luò)節(jié)點與兩設(shè)備間的位置關(guān)系，Ra=0 表示網(wǎng)絡(luò)節(jié)點與節(jié)點1 重合，Ra=1 表示網(wǎng)絡(luò)節(jié)點與節(jié)點2 重合；J1、J2分別為設(shè)備1、2自身慣量。

圖3 兩機(jī)系統(tǒng)拓?fù)鋱D及理想情況下模態(tài)頻率符號解Fig.3 Topology diagram of two-machine system and its symbolic solution of modal frequency in ideal case

為更直觀地說明提出的分解方法和指標(biāo)的具體含義，首先考慮該兩機(jī)系統(tǒng)為理想系統(tǒng)，即同構(gòu)，各節(jié)點電壓為1 p.u.且線路相角差為0°，此時可以得到頻率分解結(jié)果、模態(tài)慣量指標(biāo)的符號表達(dá)式，分別如附錄C 式（C1）和圖3 所示。網(wǎng)絡(luò)節(jié)點的響應(yīng)為設(shè)備節(jié)點的加權(quán)和，此處不予展示。

由式（C1）和圖3 可知：兩設(shè)備節(jié)點響應(yīng)中一個分量相同，為共模頻率；另一分量符號相反，為差模頻率，其幅值沿著線路線性變化。當(dāng)線路中某點滿足X1/X2=J2/J1時，差模幅值為0，差模慣量趨于無窮，當(dāng)擾動發(fā)生在該節(jié)點時，系統(tǒng)中不會激發(fā)差模振蕩。因此，可將該節(jié)點視為差模振蕩中心。還值得一提的是，容易驗證在設(shè)備節(jié)點處應(yīng)用式（19）計算節(jié)點總模態(tài)慣量，分別等同于設(shè)備自身慣量J1與J2。

接下來通過如附錄C表C1所示的4個算例對統(tǒng)一結(jié)構(gòu)簡化建模方法以及頻率模態(tài)分解方法進(jìn)行驗證。設(shè)線路總電抗X1+X2=0.7 p.u.，恒阻抗負(fù)載的導(dǎo)納YLoad=0.8-j0.1 p.u.。算例1 中設(shè)備1 以及算例2 中的設(shè)備1、2 為同步機(jī)（模型見附錄C 式（C2）和圖C2）；算例1 中的設(shè)備2 以及算例3 和算例4 中設(shè)備1、2 為虛擬同步機(jī)模型（模型見附錄C 式（C3））。所有算例中擾動均為在t=1 s時負(fù)荷突增。

4.1.1 統(tǒng)一結(jié)構(gòu)近似及模態(tài)頻率分解有效性驗證

首先基于算例1 和算例2 驗證統(tǒng)一結(jié)構(gòu)近似方法與頻率分解方法的有效性。

在算例1 和算例2 中，分別針對共模頻率（QEP分量1）和第1 差模（QEP 分量2），對各設(shè)備頻率-有功傳遞函數(shù)進(jìn)行統(tǒng)一結(jié)構(gòu)近似，得到各設(shè)備各個模態(tài)的統(tǒng)一結(jié)構(gòu)參數(shù)，如表1 所示?？梢钥闯?，2 個算例中同步機(jī)在不同模態(tài)下的統(tǒng)一結(jié)構(gòu)參數(shù)不同，體現(xiàn)了參數(shù)的模態(tài)性。算例1中設(shè)備2為虛擬同步機(jī)，由于采用的簡化模型結(jié)構(gòu)與統(tǒng)一結(jié)構(gòu)一致，因此其各模態(tài)統(tǒng)一結(jié)構(gòu)參數(shù)為其本身的參數(shù)?；诮y(tǒng)一結(jié)構(gòu)模型，新能源、同步機(jī)調(diào)頻性能的差異可由統(tǒng)一結(jié)構(gòu)參數(shù)差異表征。

表1 算例1和算例2中設(shè)備各模態(tài)統(tǒng)一結(jié)構(gòu)參數(shù)Table 1 Modal unified structural parameters of equipment in Example 1 and Example 2

進(jìn)一步，基于式（15）計算各頻率分量，疊加獲得節(jié)點頻率響應(yīng)，如圖4（a）、（b）所示?？梢钥闯觯媒Y(jié)果能較好地近似節(jié)點頻率響應(yīng)，且結(jié)合統(tǒng)一結(jié)構(gòu)近似和所提模態(tài)頻率分解方法，可較準(zhǔn)確地解析系統(tǒng)頻率響應(yīng)。此外，圖4（c）、（d）給出了QEP 各分量和模態(tài)頻率的對比。由圖可知，統(tǒng)一結(jié)構(gòu)近似后分解所得QEP 分量1 能較好地表征擾動后一段時間內(nèi)系統(tǒng)的共模頻率，而QEP 分量2 能很好地表征較長時間內(nèi)系統(tǒng)第1 差模的動態(tài)。故后續(xù)算例中用QEP分量近似表征各模態(tài)頻率分量以進(jìn)行分析。

圖4 網(wǎng)絡(luò)節(jié)點頻率響應(yīng)仿真以及統(tǒng)一結(jié)構(gòu)近似結(jié)果對比Fig.4 Comparison of network node frequency response simulation and unified structure approximation results

4.1.2 節(jié)點模態(tài)慣量指標(biāo)驗證

下面驗證所提節(jié)點模態(tài)慣量指標(biāo)的有效性。分別采用本文所提節(jié)點模態(tài)慣量指標(biāo)以及現(xiàn)有的節(jié)點（總模態(tài)）慣量指標(biāo)衡量兩機(jī)系統(tǒng)算例3、4 中網(wǎng)絡(luò)節(jié)點的頻率特征。2 個算例中網(wǎng)絡(luò)節(jié)點的節(jié)點慣量（總模態(tài)慣量）均為10 p.u.；算例3 中節(jié)點共模慣量為1.0×104p.u.，差模慣量為10 p.u.；算例4 中節(jié)點共模慣量為10 p.u.，差模慣量為3.0×103p.u.。這與其在擾動下的頻率初始變化率分別對應(yīng)。

網(wǎng)絡(luò)節(jié)點頻率響應(yīng)及其模態(tài)頻率分量見圖5。

圖5 網(wǎng)絡(luò)節(jié)點頻率響應(yīng)及其模態(tài)頻率分量Fig.5 Network node frequency response and its modal frequency component

節(jié)點慣量相同說明2 個算例下網(wǎng)絡(luò)節(jié)點遭受擾動后的頻率初始變化率一致，但由圖5 可知，二者后續(xù)的變化趨勢差別很大，現(xiàn)有節(jié)點慣量難以體現(xiàn)二者的區(qū)別。本文提出的節(jié)點模態(tài)慣量指標(biāo)可以對其進(jìn)行解釋：算例3 中共模慣量非常大，說明算例3 下節(jié)點頻率響應(yīng)中的共模分量（先跌落（或上升）后恢復(fù)的部分）趨于0，頻率響應(yīng)呈現(xiàn)振蕩形式；算例4中差模慣量非常大，說明算例4 下節(jié)點頻率響應(yīng)中的差模分量（振蕩部分）趨于0，頻率響應(yīng)幾乎沒有振蕩，呈現(xiàn)先跌落后恢復(fù)的形式。因此，通過節(jié)點模態(tài)慣量可以較好地區(qū)分這2 種情況，而現(xiàn)有的節(jié)點慣量僅能得出二者初始頻率變化率相同的結(jié)論，無法進(jìn)一步區(qū)分不同頻率分量的振蕩情況，說明了節(jié)點模態(tài)慣量指標(biāo)的有效性。

此外，按3.2 節(jié)所提方法計算算例1 — 4 下各設(shè)備節(jié)點的節(jié)點總模態(tài)慣量，并將其與設(shè)備真實慣量值進(jìn)行對比，如附錄C 表C2 所示?？梢园l(fā)現(xiàn)二者誤差均在5 % 以內(nèi)，進(jìn)一步驗證了節(jié)點模態(tài)慣量指標(biāo)的有效性。

4.2 十機(jī)系統(tǒng)算例

采用10 機(jī)39 節(jié)點系統(tǒng)，其結(jié)構(gòu)如附錄C 圖C3所示，驗證所提頻率響應(yīng)分解方法在更大規(guī)模系統(tǒng)中的適用性，并觀察節(jié)點模態(tài)慣量指標(biāo)在多機(jī)系統(tǒng)中的分布情況。系統(tǒng)中所有設(shè)備均為虛擬同步機(jī)，下垂系數(shù)均設(shè)置為20，G1、G7和G10的虛擬慣量為1，其余設(shè)備虛擬慣量為8 p.u.。網(wǎng)絡(luò)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)與標(biāo)準(zhǔn)IEEE 39節(jié)點系統(tǒng)相同。

在節(jié)點34施加有功階躍擾動，附錄C表C3給出各節(jié)點頻率分量最大偏差的理論計算結(jié)果與實際值對比，二者相對誤差小于5 % ，驗證了模態(tài)振蕩幅值表達(dá)式的準(zhǔn)確性。附錄C 圖C4 左側(cè)的子圖對比仿真曲線和模態(tài)頻率響應(yīng)疊加軌跡?？梢姸呋局睾希俅悟炞C了所提模態(tài)頻率分解方法的有效性。

下面分析該系統(tǒng)中頻率響應(yīng)和節(jié)點模態(tài)慣量指標(biāo)的分布情況?，F(xiàn)有節(jié)點慣量指標(biāo)在系統(tǒng)中的分布情況，如附錄C 圖C5 所示?？梢钥闯鐾ㄟ^節(jié)點慣量能夠發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)中的薄弱點，但無法進(jìn)一步分析不同振蕩頻率的各分量在系統(tǒng)中的振蕩情況。而本文所提節(jié)點模態(tài)慣量則可以分模態(tài)對各個頻率分量的空間分布情況進(jìn)行分析，發(fā)現(xiàn)振蕩中心以及各機(jī)組間的振蕩情況，從而有助于更深入地認(rèn)識頻率空間分布差異并進(jìn)行后續(xù)的控制設(shè)計。以第1 差模（差模中振蕩頻率最低的分量）為例，其頻率響應(yīng)振蕩幅值的相對大小（以系統(tǒng)中該模式最大幅值進(jìn)行標(biāo)幺化）和節(jié)點模態(tài)慣量指標(biāo)（標(biāo)幺值）分別如圖6（a）、（b）所示。其中，為更清晰地區(qū)分系統(tǒng)中的機(jī)組振蕩情況，圖中將振蕩幅值小于0.1 p.u.的區(qū)域均用白色區(qū)域表示。由圖6（a）可知，該算例中第1 差模主要為圖中右下角（G4— G7）與其余機(jī)組之間的相對振蕩。這可從附錄C圖C4（a）、（b）右側(cè)子圖得到印證，也與圖6（b）所示節(jié)點模態(tài)慣量的分布情況對應(yīng)，即模態(tài)慣量越小，振蕩幅值越大。特別地，網(wǎng)絡(luò)節(jié)點17 附近模態(tài)慣量趨于無窮，其差模頻率時域響應(yīng)趨于0。隨著與節(jié)點17 距離變遠(yuǎn)，節(jié)點的差模慣量逐漸變小，振蕩幅值逐漸增大。由此可知，可將差模慣量數(shù)值較大的節(jié)點視為該頻率分量的振蕩中心。

為進(jìn)一步對比分析不同頻率模態(tài)分量，附錄C圖C6還給出了第1、第5和第9差模的振蕩幅值以及節(jié)點模態(tài)慣量分布圖，圖中模態(tài)振蕩幅值和節(jié)點模態(tài)慣量均為標(biāo)幺值。對于第2 差模，由圖C6（b）可知：從左上角G8到右下角G7的區(qū)域內(nèi)，模態(tài)慣量值都非常大，可見振蕩中心不一定是一個點，也可能是一片區(qū)域；并且，振蕩中心不一定是傳輸網(wǎng)絡(luò)中的節(jié)點，也可能包含發(fā)電設(shè)備。進(jìn)一步結(jié)合圖C6（a）可知，該分量主要為G4、G5、G9與G1— G3之間的相對振蕩。值得指出的是，G4、G5與G9之間被振蕩中心分隔開，這意味著同一個模式同向振蕩的機(jī)組，也可能分屬多個區(qū)域。此外，對比圖6（b）和圖C6（b）、（d）、（f）可知，隨著振蕩頻率上升（從第1 差模到第9 差模），系統(tǒng)振蕩中心的范圍總體呈擴(kuò)大趨勢，包含的設(shè)備數(shù)量增多，即參與振蕩的機(jī)組變少。與圖6（a）和圖C6（a）、（c）、（e）中各機(jī)組的振蕩情況相吻合。

表2 總結(jié)了以上幾個模態(tài)下系統(tǒng)中參與振蕩的機(jī)群及其總慣量（標(biāo)幺值）?？梢姡S著振蕩頻率上升，參與振蕩的機(jī)組數(shù)量及其慣量之和都相應(yīng)減少。

5 結(jié)論

針對含有異構(gòu)設(shè)備的新能源電力系統(tǒng)差模頻率難以解析、節(jié)點頻率性能難以量化的問題，提出了基于QEP 的頻率響應(yīng)分解方法，并建立了節(jié)點模態(tài)慣量指標(biāo)，得到主要結(jié)論如下。

1）基于設(shè)備統(tǒng)一結(jié)構(gòu)簡化建模及QEP 分解方法，可近似解析新能源電力系統(tǒng)各節(jié)點模態(tài)頻率。所提方法初步解決了具有多樣化調(diào)頻資源的電力系統(tǒng)節(jié)點頻率響應(yīng)難以解析的問題，并為研究慣量、阻尼分布對節(jié)點頻率響應(yīng)的作用機(jī)理提供了一種思路。

2）所提節(jié)點模態(tài)慣量指標(biāo)分不同模態(tài)量化了電力系統(tǒng)中各節(jié)點的頻率抗擾能力，相較于目前只考慮總體頻率響應(yīng)的節(jié)點慣量指標(biāo)，能更精細(xì)地表征頻率響應(yīng)的空間分布特性。指標(biāo)在網(wǎng)絡(luò)中的分布具有數(shù)量級的差異，可用于初步篩選模態(tài)頻率分量可能存在較大偏差的區(qū)域。

3）在指標(biāo)數(shù)值較大（如大于103p.u.）處，該模態(tài)的頻率振蕩幅值接近0，可視為該頻率分量的振蕩中心。振蕩中心不一定是傳輸網(wǎng)絡(luò)中的一個點，可能是一片區(qū)域，也可能包含設(shè)備節(jié)點（即通常所說的不參與振蕩）。振蕩中心將不同的振蕩區(qū)域分隔開。研究發(fā)現(xiàn)，隨著振蕩頻率上升，振蕩中心范圍擴(kuò)大，包含的設(shè)備數(shù)增多，而參與振蕩的設(shè)備數(shù)下降。

考慮更復(fù)雜的新能源設(shè)備調(diào)頻動態(tài)，分析各設(shè)備慣量、阻尼等參數(shù)對頻率空間分布的影響，并基于此優(yōu)化設(shè)備進(jìn)行調(diào)頻控制設(shè)計，是未來的工作之一。

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