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        剛性線圈所受磁場安培力規(guī)律的研究
        ——以2022 年全國高考物理乙卷24 題為例

        2023-11-10 09:54:16王偉民牟銀勇
        物理教學(xué)探討 2023年10期
        關(guān)鍵詞:金屬絲強磁場安培力

        王偉民,牟銀勇

        1.安徽省太和縣宮集鎮(zhèn)中心學(xué)校,安徽 太和 236652

        2.重慶市育才中學(xué),重慶 400050

        1 原題呈現(xiàn)

        例題1(2022 年全國高考物理乙卷第24題)如圖1,一不可伸長細繩的上端固定,下端系在邊長為l=0.40 m 的正方形金屬框的一個頂點上。金屬框的一條對角線水平,其下方有方向垂直于金屬框所在平面的勻強磁場。已知構(gòu)成金屬框的導(dǎo)線單位長度的阻值為λ=5.0×10-3Ω/m;在t=0 s 到t=3.0 s 時間內(nèi),磁感應(yīng)強度大小隨時間的變化關(guān)系為B(t)=0.3-0.1t(SI)。

        圖1 原題附圖

        (1)求t=2.0 s 時金屬框所受安培力的大??;

        (2)在t=0 s 到t=2.0 s 時間內(nèi)金屬框產(chǎn)生的焦耳熱。

        2 試題簡評

        本題目單題分值高達12 分,是整份試卷中除去必做題最后一題之外單題分值最高的一道題,是必做題的倒數(shù)第二題,處于試卷壓軸題的重要位置——單題分值較高、難度相對較大的最后兩三道題目,通常被稱為壓軸題。這也是人們最為關(guān)注的試卷的一個板塊,因為壓軸題多為拉開不同能力考生分數(shù)差距的題目。

        本題內(nèi)容短小精悍,僅用了200 多字就把需要展示的物理情境交代得清楚明白,體現(xiàn)了編者高超的原創(chuàng)題目的編擬水平。該題內(nèi)容雖短,但卻是一道綜合性很強的題目,重點考查學(xué)生對法拉第電磁感應(yīng)定律、閉合電路歐姆定律、安培力的計算公式、共點力合成的平行四邊形法則、焦耳定律公式等內(nèi)容的掌握情況,以及綜合運用物理規(guī)律解決復(fù)雜物理問題的能力。對于上面的這些知識點,學(xué)生有一處未能熟練掌握,都很難正確解答。

        3 試題解析

        由題目條件可知,在指定的時間段內(nèi),穿過閉合線圈的磁感應(yīng)強度呈線性減小。根據(jù)楞次定律可以判斷,正方形線圈中的感應(yīng)電流是按逆時針方向流動的,如圖2 所示。根據(jù)左手定則可以判斷出正方形線圈處于磁場中的兩邊BC 和CD受到的安培力的方向是垂直于導(dǎo)線向下的(圖2)。

        圖2 線框所受安培力分析

        (1)因為BC 邊和CD 邊長度相等,通過的電流相等,任意時刻它們所處位置的磁感應(yīng)強度也相等,所以它們受到的安培力相等,F(xiàn)1=F2,且這兩個力都與豎直方向成45°角。把這兩個力平移至共點之后的情形如圖3 所示,F(xiàn)1和F2的合力F便是金屬框所受的安培力。

        圖3 力的合成

        金屬框中感應(yīng)電流大小為

        t=2.0 s 時金屬框的BC,CD 兩邊所在處的磁感應(yīng)強度為

        B=0.3-0.1t=0.1 T

        這時,BC,CD 兩邊所受安培力的大小為

        F1=F2=IlB=1 A×0.40 m×0.1 T=0.04 N

        所以,F(xiàn)1和F2的合力(即正方形金屬框所受安培力)大小為

        (2)由焦耳定律公式可得

        Q=I2Rt=(1 A)2×4×0.40 m×5.0×10-3Ω/m×2.0 s=0.016 J

        仔細分析能夠看出,這道題的第一問——t=2.0 s 時金屬框所受安培力的大小,最終算出的N 這一結(jié)果,既是BC,CD 兩邊所受安培力合力的大小,同時也是把對角線BD 作為導(dǎo)線并處于同一磁場中也通入1 A 的電流時所受安培力的大小。那么,這是一種“偶遇”的巧合,還是其間隱含著一種必然的物理規(guī)律? 答案是后者。

        4 垂直于剛性通電線圈平面的勻強磁場對線圈安培力的矢量和為零

        為便于同類問題分析及證明的方便,我們提出如下引理:

        引理:完全處于勻強磁場中的剛性封閉通電平面線圈,若線圈平面與磁場方向垂直,則磁場對整個線圈各微元安培力的矢量和為零。

        先對一種最簡單的情形進行證明——三角形線圈所受磁場安培力規(guī)律的證明。

        例題2求證:完全處于勻強磁場中的剛性三角形通電線圈,若線圈平面與磁場方向垂直,則磁場對三角形線圈各邊安培力的矢量和為零。

        證明如圖4 所示,輕質(zhì)剛性封閉三角形線圈△ABC 置于紙面內(nèi),線圈平面所在的空間存在著垂直紙面向外的勻強磁場。設(shè)△ABC 的三邊長分別為a,b,c,磁場的磁感應(yīng)強度為B,線圈內(nèi)通入逆時針方向的電流I(注:可以證明,磁場方向或電流方向任意改變時,均不影響結(jié)論的成立)。設(shè)三角形線圈三邊所受磁場安培力的大小分別為Fa,F(xiàn)b,F(xiàn)c,則有

        圖4 通電線圈受力分析

        Fa∶Fb∶Fc=IaB ∶IbB ∶IcB=a ∶b ∶c

        將圖4 中表示△ABC 線圈三邊所受安培力的三條有向線段Fa,F(xiàn)b,F(xiàn)c進行平移組合成△A'B'C',如圖5,由幾何知識易證,△A'B'C'∽△ABC。顯然,由相似三角形對應(yīng)邊成比例的性質(zhì)可知,當(dāng)B'C'=Fa時,A'B'=Fc,A'C'=Fb,因此,△A'B'C' 即為Fa,F(xiàn)b,F(xiàn)c組成的矢量三角形,所以,問題得證。

        圖5 通電線圈受力分析

        根據(jù)例題2 的結(jié)論,我們很容易推理出下面的結(jié)論。

        如圖6 所示,若紙面內(nèi)存在垂直于紙面的勻強磁場(圖中沒有標出),紙面內(nèi)的兩段金屬絲AB,BC 連接于點B,當(dāng)通入如圖6 甲所示的電流時,這兩段金屬絲所受安培力的矢量和等效于同一磁場中直線金屬絲AC 通入由A 至C 的等大電流時所受的安培力。

        圖6 通電導(dǎo)線所受安培力分析

        我們以此為推理依據(jù),并以圖7 所示的凹七邊形為例,來推證如下結(jié)論:方向垂直于剛性封閉多邊形(包括凸多邊形和凹多邊形)通電線圈平面的勻強磁場,對完全處于磁場內(nèi)的多邊形線圈各邊安培力的矢量和為零。

        圖7 多邊形通電導(dǎo)線

        圖7 中,假設(shè)七邊形剛性線圈通入了逆時針方向的電流I,線圈所在處的磁場方向垂直于線圈平面,則AB,BC 兩邊所受磁場安培力的矢量和,等效于直線金屬絲AC 通入由A 至C 的電流I 時AC 所受的安培力(注:圖中的AC 沒有畫出)。這樣,七邊形線圈ABCDEFG 各邊所受磁場安培力的矢量和等效于六邊形線圈ACDEFG 各邊所受磁場安培力的矢量和。按此方法遞推,六邊形線圈ACDEFG 各邊所受磁場安培力的矢量和等效于五邊形線圈ADEFG 各邊所受磁場安培力的矢量和……按這樣的規(guī)律等效下去,最終的結(jié)論是,七邊形線圈ABCDEFG 各邊所受磁場安培力的矢量和等效于三角形線圈AFG 各邊所受磁場安培力的矢量和。問題得證。

        因為任意封閉平面剛性線圈都可以視為很多折線的組合(即可視為多邊形),所以我們可以得出結(jié)論——磁場方向垂直于剛性封閉通電線圈平面的勻強磁場,對完全處于磁場內(nèi)的通電線圈的安培力的矢量和為零。

        應(yīng)該說,這一規(guī)律跟底面水平、側(cè)壁豎直的容器中盛有液體時,液體對容器側(cè)壁的壓力規(guī)律類似——液體對各側(cè)壁壓力的矢量和為零,我們也可以用同樣的方法對這一規(guī)律的正確性進行證明。盛有液體的容器不會因為液體對其側(cè)壁存在壓力而向某個方向運動,就是因為液體對容器側(cè)壁壓力的矢量和為零。

        據(jù)此,可以推出下面的推論。

        推論:勻強磁場中垂直于磁場方向的某平面內(nèi)有剛性彎曲金屬絲AB,通入由A 至B 的電流時金屬絲所受磁場的安培力,與以A,B 為端點的直金屬絲通入由A 至B 的等大電流時所受的安培力大小相等,方向相同。

        利用上面的引理和推論,我們可以方便快捷地對相關(guān)問題進行求解。

        5 該高考試題的多個變式及解析

        可以發(fā)現(xiàn),例題1 給出的這道高考題設(shè)置的正方形金屬線圈在磁場中的位置很“特殊”,因為懸吊金屬線圈的細線系在正方形線圈的一個頂點處,所以,懸吊起來的金屬線圈靜止時,它的兩條對角線一條水平,一條豎直(金屬線圈質(zhì)量分布均勻的條件下),其水平對角線恰好與有界磁場的上邊界重合。我們不禁要問,如果題目設(shè)置的其他條件不變,而是將懸吊金屬線圈的懸吊點在線圈的邊上任意移動一下,正方形金屬線圈所受磁場安培力會發(fā)生怎樣的變化?

        對于質(zhì)量分布均勻的正方形金屬線圈,若懸吊點剛好在正方形一邊的中點位置,則線圈穩(wěn)定之后的情形如圖8 所示,它的兩組對邊,一組是水平的,一組是豎直的。當(dāng)然,如果懸吊點既不在正方形的頂點位置,也不在一邊的中點,則線圈穩(wěn)定后的情形如圖9 所示,它的四邊都是傾斜的。當(dāng)線圈重心位于磁場邊界時,無論是圖8 所示情形還是圖9 所示情形,正方形線圈都是有一半的面積處于磁場之中。圖8 所示情形可視為圖9 所示情形的一個特例。

        圖8 線圈一半位于磁場中

        圖9 變式1 附圖

        變式1如圖9 所示,一不可伸長細繩的上端固定,下端系在邊長為l=0.40 m 的正方形金屬框的一條邊上,拴繩點O 到正方形頂點A 的距離為a=0.05 m,金屬框質(zhì)量分布均勻。已知空間內(nèi)存在有界水平勻強磁場,磁場方向垂直紙面向外,穩(wěn)定后金屬框的重心剛好位于磁場的水平上界面位置。已知構(gòu)成金屬框的導(dǎo)線單位長度的阻值為λ=5.0×10-3Ω/m;在t=0 s 到t=3.0 s 時間內(nèi),磁感應(yīng)強度大小隨時間的變化關(guān)系為B(t)=0.3-0.1t(SI)。求t=2.0 s 時金屬框所受安培力的大小。

        分析正方形線框ABCD 處于磁場中的部分有三段,分別是EC,CD,DH。由上面的推論可知,這三段金屬絲所受磁場安培力的矢量和等于連接于E,H 兩點的金屬絲并通入由E 至H 的等大的電流時金屬絲EH 所受的安培力,如圖10 所示。

        圖10 變式1 分析圖示

        解析圖10 中,過D 作DG∥EH,交BC 于G點,則DH=EG,因為正方形線框質(zhì)量分布均勻,由幾何知識可以證明,AO=CM=BE=DH,因此,CG=CB-2BE=0.30 m,所以

        依題意可知,金屬框中感應(yīng)電流大小為

        t=2.0 s 時金屬框的EC,CD,DH 三段金屬絲所在處的磁感應(yīng)強度為

        B=0.3-0.1t=0.1 T

        因此,通電導(dǎo)線EH 所受安培力的大小為:F=ILB=1 A×0.50 m×0.1 T=0.05 N,方向豎直向下。所以,當(dāng)t=2.0 s 時金屬框所受安培力的大小為0.05 N。

        變式2如圖11 所示,一不可伸長細繩的一端固定,下端系在一邊長為l=0.40 m 的正方形金屬框的一個頂點上。金屬框的一條對角線水平,其下方有方向垂直于金屬框所在平面的勻強磁場。已知構(gòu)成金屬框的導(dǎo)線單位長度的阻值λ=5.0×10-3Ω/m;單邊金屬導(dǎo)線質(zhì)量為10 g,磁感應(yīng)強度大小隨時間的變化關(guān)系是B(t)=0.3+0.1t(SI)。問:在什么時間,細繩中的張力為零?

        圖11 變式2 附圖

        分析載流線框受重力、拉力和磁力作用。平衡時合力為零。

        解析 由受力分析可知(圖12),平衡時有

        圖12 受力分析圖

        即安培力和重力大小相等,方向相反。

        FB-FG=FB-0.04×9.8=FB-0.392=0

        其中

        因此有

        解得

        t=3.93 s

        6 結(jié)語

        處于勻強磁場中的某剛性彎曲線圈,如果它所在的平面垂直于磁場方向,在線圈中通入電流I 時線圈所受磁場安培力為F,那么,以相同端點的直導(dǎo)線通入電流I 時所受磁場安培力也為F,利用這一規(guī)律,可以方便地對同類問題進行求解。應(yīng)該說,2022 年全國高考物理乙卷的這道壓軸題,內(nèi)容雖短,但卻考查了學(xué)生對電磁感應(yīng)定律、閉合電路的歐姆定律、電阻定律公式、焦耳定律公式等物理知識點的綜合運用能力,以及靈活運用物理公式解決復(fù)雜物理問題的能力。變換相關(guān)的已知條件,可以將原來的高考題改編為題目背景材料相仿、考查知識點類似的不同變式,通過對這些不同變式的訓(xùn)練,可以拓展學(xué)生的視野,在解決類似問題時能夠舉一反三、觸類旁通。

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