陸小亮

江蘇省張家港高級中學(xué)，江蘇 張家港 215600

1 問題的提出

（2017 年全國III 卷第21 題選擇題，改編成了計算題）［1］一勻強(qiáng)電場的方向平行于xOy 平面，平面內(nèi)a，b，c 三點的位置如圖1 所示，三點的電勢分別為10 V，17 V，26 V，求電場強(qiáng)度的大小。

圖1 電場中的三點

此類題目多次出現(xiàn)在高考試卷中，因此早已形成了解決這類題目的固定解題套路——等分找等勢點法：如圖2 所示，a 點電勢最低，c 點電勢最高，因此可以利用等分法在a，c 兩點的連線上找到與b 點等電勢的d 點，求出d 點坐標(biāo)為（3.5 cm，6 cm）。連接b，d 兩點的直線就是一條等勢線，過c 點作等勢線的垂線就是一條電場線，垂足為f。根據(jù)幾何關(guān)系可算得c，f 兩點的距離Lcf= 3.6 cm，則電場強(qiáng)度的大小為

圖2 等分法作圖

等分找等勢點法的物理意義明顯，但計算中要使用更多的幾何操作過程，尤其是面對空間幾何關(guān)系復(fù)雜的問題時，這種方法的幾何操作和運(yùn)算量很大。因此，近幾年在文獻(xiàn)［1-3］中另辟蹊徑出現(xiàn)了合成法。

1.1 第一種合成法：互相正交的兩個方向上的合成法

在c 點合成，如圖3 所示，c 點處沿ca 方向和沿cb 方向的分場強(qiáng)分別為

圖3 第一種合成法

則合場強(qiáng)大小為

（3）式與（1）式的結(jié)果相同。

但這種利用相互正交的兩個方向上的分場強(qiáng)的合成法，是否對任意的相互斜交的兩個方向上合成也成立呢？ 請看b 點（或a 點）的合成。

1.2 第二種合成法：互相斜交的兩個方向上的合成法

在b 點合成，如圖4 所示，根據(jù)幾何關(guān)系可知圖中θ=53°，b 點處沿ba 方向和沿cb 方向的分場強(qiáng)分別為

圖4 第二種合成法

所以，由余弦定理得，合場強(qiáng)大小為

顯然，（5）式的結(jié)果與（1）式的結(jié)果不同。

問題：b 點處的上述合成法得到的（5）式及其結(jié)果為何錯了呢？ c 點處合成的結(jié)果（3）式與等分找等勢點法的結(jié)果（1）式一致，是巧合還是必然呢？

2 勻強(qiáng)電場中一個通俗結(jié)論的理論分析和推導(dǎo)

電磁學(xué)理論中，靜電場的電場強(qiáng)度與電勢梯度的關(guān)系［4］：靜電場中某處的電場強(qiáng)度等于該處電勢梯度的負(fù)值，即若勻強(qiáng)電場在平面內(nèi)時，此式可寫為

對此，可引導(dǎo)高中生做如下分析推導(dǎo)，并歸納總結(jié)出一個通俗的結(jié)論。

【問題驅(qū)動】 勻強(qiáng)電場中，沿與場強(qiáng)方向成θ角的直線上任意兩點間的電勢差與這兩點間距離的比值與場強(qiáng)的關(guān)系如何呢？

【分析推導(dǎo)】 場強(qiáng)為E 的勻強(qiáng)電場中，沿與場強(qiáng)方向成θ 角的直線上任取兩點A，B，如圖5所示。根據(jù)高中物理課本中電勢差與電場強(qiáng)度的關(guān)系“勻強(qiáng)電場中兩點間的電勢差等于電場強(qiáng)度與這兩點沿電場方向的距離的乘積”，則有

【歸納總結(jié)】 由圖5 和（6）式，引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)出一個通俗的結(jié)論：勻強(qiáng)電場中，把場強(qiáng)沿任意兩點間的連線和垂直于這個連線正交分解時，沿這條連線方向的分場強(qiáng)等于這兩點間的電勢差與這兩點間距離的比值，另一個分場強(qiáng)與這兩點間連線垂直。即兩個正交方向上的分場強(qiáng)為：Ex=，合場強(qiáng)為

3 兩種“合成法”求場強(qiáng)正誤的物理根源

根據(jù)上述通俗結(jié)論，（2）式確實是勻強(qiáng)電場的場強(qiáng)沿ca 方向和沿cb 方向正交分解后的兩個分場強(qiáng)，因此由（3）式合成得到正確的場強(qiáng)是必然的，而不是巧合。

根據(jù)上述通俗結(jié)論，把真實的合場強(qiáng)E真兩次獨立地正交分解，即第1 次沿ba 方向和垂直于ba 方向正交分解，所得的兩場強(qiáng)分量分別為和E1⊥，第2 次沿cb 方向和垂直于cb 方向正交分解，所得的兩場強(qiáng)分量分別為和E2⊥，如圖6 所示。顯然，圖4 中b 點合成時的（4）式，就是在圖6 的兩次獨立的正交分解中，各取一個分場強(qiáng)0.7 V/cm 和用這兩個不相關(guān)的分場強(qiáng)通過合成法（5）式去求合場強(qiáng)，則是“張冠李戴”，導(dǎo)致錯誤的結(jié)果也是必然的。

圖6 兩次正交分解

至此，搞清了“第二種合成法：互相斜交的兩個方向上的合成法——在b 點合成”錯誤的物理根源。之后的修正方案，只是一個數(shù)學(xué)處理和計算的過程，在此不再贅述。