段石峰

長(zhǎng)沙市周南中學(xué)，長(zhǎng)沙 410201

“線速度（linear velocity）”是國(guó)家科學(xué)技術(shù)名詞審定委員會(huì)公布的《物理學(xué)名詞》［1］中“力學(xué)”領(lǐng)域的專業(yè)術(shù)語(yǔ)，《普通高中物理課程標(biāo)準(zhǔn)（2017 年版）》在內(nèi)容要求中明確提出“會(huì)用線速度、角速度、周期描述勻速圓周運(yùn)動(dòng)”［2］，我國(guó)各版本高中物理教材都引入了“線速度”概念。然而，“線速度”究竟該如何定義？ 這個(gè)問(wèn)題一直以來(lái)存在諸多爭(zhēng)議，在教學(xué)中引起了一些混亂和困擾。本文試圖從根源上理順“線速度”定義的邏輯脈絡(luò)，澄清對(duì)基本概念理解上的模糊點(diǎn)。

1 “線速度”定義的兩種方法

如圖1 所示，物體沿圓弧由M 向N 運(yùn)動(dòng)，在一段時(shí)間Δt 內(nèi)由A 點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到B 點(diǎn)，通過(guò)的弧長(zhǎng)為Δs，位移Δl 的大小為的弦長(zhǎng)，方向由A點(diǎn)指向B 點(diǎn)。為了描述物體做圓周運(yùn)動(dòng)的快慢，對(duì)“線速度”如何定義的爭(zhēng)議由來(lái)已久，一直并行兩種方法。優(yōu)劣之分各有長(zhǎng)短，互補(bǔ)之下難以取舍。

圖1 物體沿圓弧由A 運(yùn)動(dòng)到B

1.1 第一種方法：弧長(zhǎng)與時(shí)間之比

我國(guó)各版本高中物理教材都采用“分步走”的思路，首先用“弧長(zhǎng)與時(shí)間之比”定義線速度的大小，然后根據(jù)“曲線運(yùn)動(dòng)的速度方向沿軌跡的切線方向”，確定圓周運(yùn)動(dòng)的線速度方向也是沿切線方向［3］。只是不同版本教材對(duì)“弧長(zhǎng)Δs 與時(shí)間Δt 之比”的表述略有差異，有的教材把它稱為“線速度”，有的教材把它稱為“線速度的大小”。顯然前者存在科學(xué)性錯(cuò)誤，因?yàn)榛￠L(zhǎng)（路程）是標(biāo)量，如此表述與“線速度是矢量”自相矛盾，而后者避免了這個(gè)矛盾，更加嚴(yán)謹(jǐn)自洽。

1.2 第二種方法：位移與時(shí)間之比

在美國(guó)高中主流理科教材《科學(xué)發(fā)現(xiàn)者·物理原理與問(wèn)題》中這樣描述，物體做圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)相對(duì)于圓心的位置矢量沿半徑方向，其大小不變而方向在改變，位置矢量的變化即位移為Δl，把物體做圓周運(yùn)動(dòng)的速度定義為“位移Δl 與時(shí)間Δt 之比”［4］。由于該教材是在后續(xù)描述物體的轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)才引入“角速度”概念，因此在描述圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)無(wú)須區(qū)分名稱，并沒(méi)有把圓周運(yùn)動(dòng)的“速度”命名為“線速度”。無(wú)獨(dú)有偶，我國(guó)滬科教版高中物理教材在“多學(xué)一點(diǎn)”欄目中也用同樣的方法介紹了“圓周運(yùn)動(dòng)的速度”［5］，目的是拓展學(xué)生的知識(shí)面，供有興趣和學(xué)有余力的學(xué)生閱讀。

2 兩種定義方法的依據(jù)與缺陷

仔細(xì)考量“線速度”定義的兩種方法，發(fā)現(xiàn)它們既有相應(yīng)的依據(jù)，又都存在難以回避的缺陷。

2.1 “線速度”與直線運(yùn)動(dòng)的“速度”

第一種定義方法是類比直線運(yùn)動(dòng)速度的定義方法，兩者在描述物體運(yùn)動(dòng)快慢的方式上是相通的。這種定義方法，首先要考慮如何“化曲為直”，把圓周運(yùn)動(dòng)等效轉(zhuǎn)化為直線運(yùn)動(dòng)。分析如圖2 所示的實(shí)驗(yàn)裝置，轉(zhuǎn)盤(pán)邊緣的點(diǎn)做圓周運(yùn)動(dòng)的快慢，可以通過(guò)打點(diǎn)計(jì)時(shí)器用紙帶測(cè)量出來(lái)，這樣就將直線運(yùn)動(dòng)定義速度的方式自然過(guò)渡到在圓周運(yùn)動(dòng)中定義線速度。只是在這種特殊的運(yùn)動(dòng)形式中，為了區(qū)別于物體繞圓心轉(zhuǎn)動(dòng)快慢的物理量——“角速度”，將物體圓周運(yùn)動(dòng)的速度稱為“線速度”。

圖2 一種可定義線速度的實(shí)驗(yàn)裝置示意圖

圓周運(yùn)動(dòng)是一種機(jī)械運(yùn)動(dòng)，即物體空間位置隨時(shí)間變化?？臻g位置的變化是位移，而不是路程，描述運(yùn)動(dòng)快慢（即位置變化快慢）的物理量是位移與時(shí)間之比。用“弧長(zhǎng)”這個(gè)標(biāo)量與時(shí)間之比來(lái)定義“線速度矢量”顯得格格不入，讓人感覺(jué)有點(diǎn)別扭、不自然［6］。況且同一段位移可以對(duì)應(yīng)兩段不同的弧長(zhǎng)，即使對(duì)“線速度”只定義大小，另外說(shuō)明方向，這也不符合矢量定義的一般規(guī)則。既然“線速度與直線運(yùn)動(dòng)的速度沒(méi)有本質(zhì)區(qū)別”，為何要重新定義，而不沿用原來(lái)的定義？

按照這種定義方法，只有在勻速圓周運(yùn)動(dòng)中才能計(jì)算線速度的瞬時(shí)值。有的教材先提出“勻速圓周運(yùn)動(dòng)”（在任意相等時(shí)間內(nèi)通過(guò)的弧長(zhǎng)都相等），再定義“線速度”是基于勻速圓周運(yùn)動(dòng)，而“勻速圓周運(yùn)動(dòng)”又以“線速度的大小處處相等”為前提。各版本教材對(duì)“線速度”與“勻速圓周運(yùn)動(dòng)”兩個(gè)概念的定義先后次序不同，邏輯上有差別，這樣的處理就有循環(huán)定義的嫌疑。

2.2 “線速度”與曲線運(yùn)動(dòng)的“速度”

第二種定義方法是沿用曲線運(yùn)動(dòng)速度的定義方法，兩者在速度矢量定義的方式上是一致的，保持了概念定義的統(tǒng)一性。如圖3 所示的曲線是某質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡，若質(zhì)點(diǎn)在一段時(shí)間內(nèi)從A 點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到B 點(diǎn)，則質(zhì)點(diǎn)的位移是由A 點(diǎn)指向B點(diǎn)的有向線段，由此定義這段時(shí)間內(nèi)的平均速度。當(dāng)時(shí)間極短趨于0，即B 點(diǎn)無(wú)限靠近A 點(diǎn)時(shí)，平均速度的極限值就是在A 點(diǎn)的瞬時(shí)速度大小，方向沿A 點(diǎn)的切線方向。圓周運(yùn)動(dòng)是一種特殊的曲線運(yùn)動(dòng)，如圖1 所示，物體位移的大小為的弦長(zhǎng)，方向由A 點(diǎn)指向B 點(diǎn)，于是先定義平均速度，再將平均速度取極限，同時(shí)得到線速度的大小和方向。

圖3 沿曲線運(yùn)動(dòng)的質(zhì)點(diǎn)

縱觀大學(xué)物理教材在描述圓周運(yùn)動(dòng)的快慢時(shí)都沒(méi)有提出“線速度”概念，而是直接沿用一般曲線運(yùn)動(dòng)的“速度”概念，甚至用矢量定義的“速度”概念不再區(qū)分機(jī)械運(yùn)動(dòng)的具體形式，實(shí)現(xiàn)了概念上的連貫性，顯示出科學(xué)概念的偉大之處在于解釋和統(tǒng)一各種自然現(xiàn)象的能力。盡管如此，由于圓周運(yùn)動(dòng)具有空間和時(shí)間的周期性，運(yùn)動(dòng)軌跡會(huì)重復(fù)，位置的變化被局限在圓周上，位移的大小不超過(guò)圓的直徑，所以用這種定義方法來(lái)描述圓周運(yùn)動(dòng)的快慢是沒(méi)有意義的，不能形象地反映圓周運(yùn)動(dòng)的特點(diǎn)，不能直觀地描述圓周運(yùn)動(dòng)的快慢。而且其中用到了極限的概念，求解瞬時(shí)速度時(shí)需要用到導(dǎo)數(shù)的相關(guān)知識(shí)，這對(duì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的要求較高。為降低學(xué)習(xí)難度，各版本高中物理教材都采用第一種定義方法，更加符合學(xué)生的認(rèn)知水平，實(shí)際教學(xué)中可以視學(xué)情而定。

3 “平均線速度”的意義

人教版2010 版教材在引入線速度概念之后指出“線速度也有平均值與瞬時(shí)值之分”，但后文只解釋了“瞬時(shí)線速度”就是直線運(yùn)動(dòng)中的瞬時(shí)速度，這不禁讓人產(chǎn)生追問(wèn)：“平均線速度”是什么？是平均速度嗎？平均線速度的意義是什么？按照該教材的定義，用一段時(shí)間內(nèi)的“弧長(zhǎng)與時(shí)間之比”，定義的不是“平均速度”，而是通常所說(shuō)的“平均速率”。后來(lái)該教材在2019 版中作了修訂，刪去了線速度有平均值和瞬時(shí)值的區(qū)分，避免學(xué)生陷入認(rèn)知誤區(qū)和產(chǎn)生學(xué)習(xí)障礙［7］。

事實(shí)上，“平均速率”這個(gè)概念的使用也存在一定的混亂，教學(xué)中為了區(qū)別初中的“速度”概念，強(qiáng)行將其改為“平均速率”并灌輸給學(xué)生。人教版教材在描述質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)時(shí)并沒(méi)有引入“平均速率”，后續(xù)出現(xiàn)的這個(gè)概念是用來(lái)描述微觀粒子的運(yùn)動(dòng)，例如“大量自由電荷定向運(yùn)動(dòng)的平均速率”“分子無(wú)規(guī)則熱運(yùn)動(dòng)的平均速率”。查閱大學(xué)物理教材，程守洙和江之永主編的《普通物理學(xué)（第六版）》在“質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的描述”中提及“平均速率”［8］，但從第七版開(kāi)始卻取消了這個(gè)概念，其他常見(jiàn)的大學(xué)教材也都沒(méi)有用“平均速率”描述質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)。在《物理學(xué)名詞》［1］中查到了“平均速率（mean speed）”這個(gè)專業(yè)術(shù)語(yǔ)，的確分類在“統(tǒng)計(jì)物理學(xué)”領(lǐng)域中，說(shuō)明“平均速率”并不是描述質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的專屬概念。教學(xué)中最好不要將同一概念多次定義，出現(xiàn)多重含義。

機(jī)械運(yùn)動(dòng)是指抽象的“位置變化”，位移與具體的運(yùn)動(dòng)路徑無(wú)關(guān)，平均速度只能粗略地描述運(yùn)動(dòng)的快慢，這是平均速度的局限性。然而，瞬時(shí)速度的建立必須以平均速度為前提，引入平均速度的價(jià)值和意義在于過(guò)渡到瞬時(shí)速度。對(duì)一個(gè)過(guò)程取極限，就能實(shí)現(xiàn)從平均值過(guò)渡到瞬時(shí)值。

人教版2019 版教材在直線運(yùn)動(dòng)中定義速度概念時(shí)，沒(méi)有對(duì)時(shí)間的長(zhǎng)短提出要求，但在圓周運(yùn)動(dòng)中定義線速度概念時(shí)，重點(diǎn)強(qiáng)調(diào)了“Δt 非常非常小”，顯然從出發(fā)點(diǎn)就沒(méi)有定義“平均線速度”的意圖，即線速度概念本身具有瞬時(shí)性，線速度屬于瞬時(shí)速度的下位概念。隨后教材又明確指出：當(dāng)時(shí)間Δt 足夠小時(shí)，圓弧AB 與線段AB 幾乎沒(méi)有差別，此時(shí)弧長(zhǎng)Δs 就等于弦長(zhǎng)（位移Δl的大?。?，平均線速度的極限就是瞬時(shí)線速度。用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表述，當(dāng)Δt→0 時(shí)，有Δs=|Δl|，那么由兩種不同方法定義的“線速度”，在極限情況下的瞬時(shí)值歸于統(tǒng)一。

4 從邏輯上定義“線速度”

圓周運(yùn)動(dòng)雖然是質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)模型，不是剛體轉(zhuǎn)動(dòng)模型，但運(yùn)動(dòng)范圍限制在圓周軌道上，它的更本質(zhì)特征是繞圓心轉(zhuǎn)動(dòng)，因此圓周運(yùn)動(dòng)是一種既“動(dòng)”又“轉(zhuǎn)”的運(yùn)動(dòng)，不僅具備曲線運(yùn)動(dòng)的性質(zhì)，還具有剛體轉(zhuǎn)動(dòng)的特點(diǎn)。剛體繞固定軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，其中每個(gè)質(zhì)點(diǎn)都做圓周運(yùn)動(dòng)，并且只有一個(gè)自由度（獨(dú)立變量），歐拉提出用“角度”來(lái)確定剛體的位置，因此可以用“角量”來(lái)描述圓周運(yùn)動(dòng)，與“線量”具有完全相同的地位，而且從“角量”過(guò)渡到“線量”更加符合邏輯結(jié)構(gòu)［9］。

另一方面，如果在直角坐標(biāo)系中用分解的方法研究圓周運(yùn)動(dòng)，得到的分運(yùn)動(dòng)是用三角函數(shù)表達(dá)的簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，不像研究拋體運(yùn)動(dòng)那樣起到“化曲為直”的作用，因此研究圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)一般不采用直角坐標(biāo)系中的分解方法。勻速圓周運(yùn)動(dòng)是在有心力作用下，并且運(yùn)動(dòng)軌跡是已知的，通常選擇極坐標(biāo)系或自然坐標(biāo)系更為方便，這兩類坐標(biāo)系在圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)恰巧存在基矢關(guān)聯(lián)：徑向與法向相反，橫向與切向重合。由于勻速圓周運(yùn)動(dòng)的速度方向總是沿軌跡切線，所以徑向和法向均無(wú)速度。

在極坐標(biāo)系中，徑向坐標(biāo)r 為常量，只剩下角量θ 為變量，橫向速度產(chǎn)生角位移Δθ，從而定義角速度大小在自然坐標(biāo)系中，弧長(zhǎng)s 作為質(zhì)點(diǎn)位置坐標(biāo)的唯一變量，切向速度大小由弧長(zhǎng)與角位移的關(guān)系Δs=rΔθ，兩邊同時(shí)除以時(shí)間Δt 并取極限得，即v=rω。由此可見(jiàn)，角速度ω 和線速度v 來(lái)源于不同的坐標(biāo)系，從本源上不是一對(duì)共軛物理量。由于圓周運(yùn)動(dòng)的特殊性，若以圓心為極坐標(biāo)系原點(diǎn)，則極坐標(biāo)表示與自然坐標(biāo)表示具有天然等價(jià)性［10］。從邏輯上講，應(yīng)該先在極坐標(biāo)系中定義角速度，然后通過(guò)換算關(guān)系得出線速度。