聶少武，劉少杭，耿龍龍

(河南科技大學(xué)機電工程學(xué)院，河南洛陽 471003)

0 前言

擺線齒錐齒輪采用連續(xù)分度雙面法、干切加工，切齒效率高且綠色環(huán)保，同時又具有重合度大、承載能力高、噪聲低等優(yōu)點，因此在汽車驅(qū)動橋中得到廣泛應(yīng)用。作為驅(qū)動橋主減速器中的關(guān)鍵部件，擺線齒錐齒輪的齒面嚙合性能直接影響著整橋的傳動性能。為了提升驅(qū)動橋的傳動性能，對擺線齒錐齒輪的齒面嚙合質(zhì)量進行評價和分析至關(guān)重要。

齒面接觸分析技術(shù)(Tooth Contact Analysis，TCA)作為一種純數(shù)學(xué)方法，可以評價理論齒面的嚙合性能。國內(nèi)外相關(guān)學(xué)者圍繞擺線齒錐齒輪的TCA技術(shù)已開展了一系列研究[1-5]，取得了顯著成果。TCA技術(shù)針對無載荷情況下齒面的接觸情況進行分析，為切齒階段齒面嚙合質(zhì)量提供了重要保證。然而，影響整個傳動系統(tǒng)性能的最主要因素是實際工況下齒面的加載嚙合性能，因此，在TCA基礎(chǔ)上還需對齒輪進行加載接觸分析(Loaded Tooth Contact Analysis，LTCA)，國內(nèi)外學(xué)者圍繞擺線齒錐齒輪的LTCA技術(shù)也開展了相關(guān)研究[6-10]。

當前擺線齒錐齒輪加工技術(shù)主要被奧利康公司(已被德國克林根貝格公司合并)和格里森公司所壟斷。在擺線齒錐齒輪加工方面，2家公司在加工原理、加工方法、刀具設(shè)計以及齒輪加工數(shù)學(xué)模型等方面趨于一致，但是考慮到技術(shù)專利方面的因素，2家公司在實際刀盤規(guī)格結(jié)構(gòu)、輪坯幾何設(shè)計、機床坐標系的定義以及齒面接觸性能控制方面還存在差異。因此為了便于區(qū)分，擺線齒錐齒輪仍可分為奧利康制擺線齒錐齒輪和格里森制擺線齒錐齒輪。

現(xiàn)有文獻有關(guān)擺線齒錐齒輪TCA技術(shù)多數(shù)是采用奧利康制擺線齒錐齒輪開展研究，有關(guān)格里森制擺線齒錐齒輪加工模型的TCA研究還相對較少。另外，現(xiàn)有文獻有關(guān)擺線齒錐齒輪LTCA技術(shù)的研究主要分析齒面的瞬時接觸區(qū)和接觸應(yīng)力，未能直觀呈現(xiàn)完整齒面的加載接觸情況。除此以外，當前市場上的著名錐齒輪設(shè)計軟件(KIMOS軟件和GEMS軟件)都已將Ease off技術(shù)融入到齒面接觸分析中，不僅可以直觀地反映出齒面失配情況，也為齒面修形提供了一種拓撲修形方法。

基于以上分析，本文作者以格里森制擺線齒錐齒輪為研究對象，建立齒面加工數(shù)學(xué)模型，構(gòu)建齒面Ease off拓撲，在此基礎(chǔ)上對其齒面TCA解析法和LTCA有限元分析方法進行研究。文中建立的齒面失配分析和輪齒接觸仿真技術(shù)可為格里森制擺線齒錐齒輪齒面嚙合性能評判提供系統(tǒng)性評價方法。

1 齒面加工數(shù)學(xué)模型

1.1 加工特點分析

格里森制擺線齒錐齒輪與奧利康制擺線齒錐齒輪雖同為擺線等高齒，但是在加工技術(shù)上也有各自的特點，與奧利康制主要差別如下：

(1)加工刀盤有TRIAC和PENTAC 2種規(guī)格，刀條毛坯結(jié)構(gòu)除了四面體外，還采用獨特的五面體結(jié)構(gòu)，提高了刀條的定位精度和夾緊剛性。

(2)刀刃切削刃形狀采用圓弧刀刃，圓弧刀刃的曲率半徑不是由計算得出，而是需要人為設(shè)定，根據(jù)TCA分析結(jié)果改變曲率半徑，達到優(yōu)化齒面接觸性能的目的。

(3)在加工參數(shù)計算及加工數(shù)學(xué)模型方面，機床平面是衡量刀具、產(chǎn)形輪與工件位置關(guān)系的基準。對于奧利康制擺線齒錐齒輪，機床平面是工件齒輪的分度平面；對于格里森制擺線齒錐齒輪，機床平面是刀齒的節(jié)點平面。2個機床平面基準相差一個齒輪變位移距，因此格里森制和奧利康制擺線齒錐齒輪加工參數(shù)計算并不一致。

(4)在接觸區(qū)修正方面，格里森制擺線齒錐齒輪和奧利康制擺線齒錐齒輪都是采用刀傾法修正齒面接觸區(qū)，但奧利康制擺線齒錐齒輪大小輪加工均可刀傾，而格里森制擺線齒錐齒輪只在加工小輪時刀傾，大輪無需刀傾。

1.2 刀盤數(shù)學(xué)模型

根據(jù)以上對格里森制擺線齒錐齒輪加工特點的分析，以格里森TRIAC左旋刀盤為例，建立了刀盤三維模型和刀齒結(jié)構(gòu)數(shù)學(xué)模型，如圖1所示。與圓弧漸縮齒錐齒輪不同，刀齒切削刃不在圓錐的母線上，刀刃在刀盤端面上的投影不經(jīng)過刀盤中心，而是與刀盤中心相切一偏置圓。

圖1 刀盤結(jié)構(gòu)及數(shù)學(xué)模型

圖1(b)中r0為刀盤名義半徑，刀齒半徑修正后，外刀刀齒節(jié)點變?yōu)辄cPA，內(nèi)刀刀齒節(jié)點變?yōu)辄cPI，δ0為刀齒方向角。Se(Xe,Ye,Ze)為與刀盤固連的坐標系，隨刀盤轉(zhuǎn)動。坐標軸Xe過直線OePI。Se1(Xe1,Ye1,Ze1)與刀齒切削刃固連，坐標系原點為內(nèi)刀齒節(jié)點PI。坐標軸Xe1與刀盤中心相切一偏置圓，坐標軸Xe1與Ze1確立一平面H，刀齒切削刃位于H平面內(nèi)。圖1(c)中T是過內(nèi)刀齒節(jié)點PI垂直于刀盤軸線的平面，稱為刀齒節(jié)點平面，圖1中所有坐標系都在該平面中建立。平面H與平面T垂直。圖1(d)中給出了H平面中內(nèi)刀圓弧刀刃形狀，GI為內(nèi)刀圓弧刀刃上任一點，對應(yīng)刀齒參數(shù)為u，規(guī)定向上取正值，向下取負值；α為內(nèi)刀切削刃刀齒齒形角，規(guī)定內(nèi)刀刀齒齒形角取正值，外刀刀齒齒形角取負值；RHI為內(nèi)刀圓弧刀刃曲率半徑，規(guī)定內(nèi)刀圓弧曲率半徑取負值，外刀圓弧曲率半徑取正值。

由圖1中幾何關(guān)系可以直接在坐標系Se1中求出刀齒圓弧切削刃矢量方程：

re1=

(1)

如果刀齒切削刃不經(jīng)過圓弧修形，而采用直線刀刃，則式(1)可簡化為

(2)

經(jīng)坐標變換，可得到坐標系Se中刀齒切削刃方程re=Mee1re1，這里Mee1為坐標轉(zhuǎn)換矩陣。對于外刀刀齒，式(1)和式(2)中刀齒參數(shù)取外刀數(shù)據(jù)。對于右旋刀盤，圖1(b)中刀齒方向角δ0取負值。

1.3 刀傾法加工數(shù)學(xué)模型

格里森制擺線齒錐齒輪小輪加工采用刀傾法加工原理，以左旋小輪為例建立了刀傾法加工基本數(shù)學(xué)模型，如圖2所示。

圖2 刀傾法加工基本數(shù)學(xué)模型

圖2中，St(Xt,Yt,Zt)代表刀盤未刀傾時的初始位置，該坐標系位于機床平面(刀盤尚未刀傾時的刀齒節(jié)點平面)，Se0(Xe0,Ye0,Ze0)是輔助坐標系，代表刀盤刀傾后的初始位置，Se(Xe,Ye,Ze)是刀盤坐標系，隨刀盤順時針轉(zhuǎn)動，當前轉(zhuǎn)角為φt。這3個坐標系之間的關(guān)系是：刀盤首先繞坐標軸Xt傾斜i角得到坐標系Se0，刀盤再繞Ze0軸旋轉(zhuǎn)得到坐標系Se。Sm(Xm,Ym,Zm)是與機床固連輔助坐標系，XmOmYm位于機床平面內(nèi)；Sp(Xp,Yp,Zp)為產(chǎn)形輪坐標系，隨產(chǎn)形輪順時針轉(zhuǎn)動，φp為坐標系Sp相對坐標系Sm的當前轉(zhuǎn)角。坐標系Sn(Xn,Yn,Zn)為輔助坐標系，Xn與工件齒輪軸線重合；坐標系Sw(Xw,Yw,Zw)為齒輪坐標系，與工件齒輪固連，展成過程中，繞工件齒輪軸線順時針轉(zhuǎn)動，φw為工件齒輪當前轉(zhuǎn)角。圖中參數(shù)i為刀傾角，j為刀轉(zhuǎn)角，q為角向刀位，OmOt=Sr為徑向刀位，OmB=Em為垂直輪位，AB=Xb為床位修正量，OwA=Xg為水平輪位修正量，δM為輪坯安裝角。

由展成運動關(guān)系可知，φw=Rbφg，其中Rb為切齒滾比，φg為搖臺轉(zhuǎn)角。由于形成產(chǎn)形輪齒面的過程中，刀盤做純滾動也可看作是刀盤自轉(zhuǎn)運動疊加公轉(zhuǎn)運動，所以當?shù)侗P順時針自轉(zhuǎn)φt時，刀盤還要繞產(chǎn)形輪軸線順時針公轉(zhuǎn)φp0，這相當于產(chǎn)形輪繞軸線順時針轉(zhuǎn)動φp0，這2個角度滿足φp0=Raφt，Ra為分齒速比。當搖臺再順時針轉(zhuǎn)動φg做展成運動時，產(chǎn)形輪相對于機床坐標系的當前轉(zhuǎn)角為產(chǎn)形輪公轉(zhuǎn)角度與展成角度之和，即φp=φp0+φg。

利用圖2中各坐標系之間的空間變換可以得到工件齒輪的齒面方程：

rw(u,φt,φg)=MwnMnmMmpMptMte0Me0ere(u)

(3)

式中：Mwn、Mnm、Mmp、Mpt、Mte0、Me0e為坐標系Se到Sw之間的各個坐標變換矩陣。

式(3)齒面方程含有3個未知數(shù)，根據(jù)產(chǎn)形輪與工件齒輪展成過程中的嚙合方程，可計算出搖臺轉(zhuǎn)角φg=φg(u,φt)，這樣式(3)最終可簡化為rw(u,φt)，詳細簡化過程見文獻[11]，這里不再贅述。

工件齒輪的齒面單位法矢為

(4)

圖2基本加工數(shù)學(xué)模型是針對左旋小輪刀傾法建立的，對于右旋大輪，無刀傾，刀傾角i=0，將大輪基本加工參數(shù)代入式(3)和式(4)即可得到右旋大輪齒面方程和單位法矢。

2 齒面失配構(gòu)建

Ease off拓撲可以反映出2個相嚙合齒面之間的失配情況，也為齒面失配修正提供了前提，這里介紹一下Ease off拓撲的構(gòu)建過程[12-16]。

圖3給出了一對齒輪副的嚙合位置關(guān)系，圖中Sw1(Xw1,Yw1,Zw1)、Sw2(Xw2,Yw2,Zw2)分別為小輪和大輪坐標系，嚙合過程中隨齒輪轉(zhuǎn)動，且轉(zhuǎn)角分別為φ1和φ2。坐標系Sh(Xh,Yh,Zh)為固定安裝坐標系，坐標系Sd(Xd,Yd,Zd)和Sb(Xb,Yb,Zb)為輔助坐標系。ΔE為齒輪副軸線垂直方向偏差，ΔG和ΔP分別為大輪和小輪安裝距偏差，軸夾角Σ=90°。

圖3 齒輪嚙合數(shù)學(xué)模型

根據(jù)圖2基本加工數(shù)學(xué)模型，可以推導(dǎo)出大輪齒面方程rw2(u2,φt2)、單位法矢nw2(u2,φt2)，將大輪齒面方程和單位法矢轉(zhuǎn)換到坐標系Sh中，可得：

(5)

式中：Mhb、Mb2為相對應(yīng)坐標系之間的坐標轉(zhuǎn)換矩陣；Lhb、Lb2分別為Mhb、Mb2刪去最后一行和最后一列得到。

當小輪齒面與大輪齒面完全共軛時，在嚙合過程中滿足φ2/φ1=z1/z2，z1和z2分別為小輪齒數(shù)和大輪齒數(shù)。依據(jù)坐標系Sh下大小輪嚙合方程可以求出φ2=φ2(u2,φt2)，這樣小輪轉(zhuǎn)角也可表示為φ1=φ1(u2,φt2)，因此式(5)可簡化為rh2(u2,φt2)和nh2(u2,φt2)，將其轉(zhuǎn)換到小輪坐標系Sw1中可得：

(6)

由式(6)求解出與大輪齒面完全共軛的小輪齒面，將它定義為小輪基準齒面，用r1表示。將式(3)推導(dǎo)出的小輪齒面定義為小輪的實際齒面，用r′1表示。根據(jù)2個齒面之間的矢量關(guān)系，小輪實際齒面與小輪基準齒面之間的偏差可以用矢量表示Δδ=(r′1-r1)·n1，由這些齒面偏差構(gòu)建的偏差拓撲圖即為Ease off拓撲圖。

定義與大輪完全共軛的齒面為小輪基準齒面，用r1表示。將式(3)推導(dǎo)出的小輪齒面定義為小輪的實際齒面，用r′1表示。小輪實際齒面與小輪基準齒面在空間位置上首先經(jīng)過旋轉(zhuǎn)使齒面中點重合，然后根據(jù)2個齒面之間的矢量關(guān)系，可以計算出小輪實際齒面與小輪基準齒面之間的偏差Δδ=(r′1-r1)·n1，由這些齒面偏差構(gòu)建的齒面偏差拓撲圖就反映出了小輪實際齒面與大輪齒面之間的失配關(guān)系，稱為齒面Ease off拓撲圖。

3 輪齒接觸分析方法

3.1 齒面TCA解析計算方法

由公式(5)可得到坐標系Sh下大輪齒面方程rh2(u2,φt2,φ2)和單位法矢nh2(u2,φt2,φ2)，同理，將式(3)和式(4)中小輪齒面方程和單位法矢轉(zhuǎn)換到固定坐標系Sh中，可得到：

(7)

式中：Mhd、Mdw1為相對應(yīng)坐標系之間的坐標轉(zhuǎn)換矩陣；Lhd、Ldw1分別為Mhd、Mdw1刪去最后一行和最后一列得到。

齒輪在嚙合過程中，任一嚙合點處具有相同的徑矢和法矢，據(jù)此可得：

(8)

由式(8)中nh1(u1,φt1,φ1)=nh2(u2,φt2,φ2)可以得到φ1和φ2，可用未知參數(shù)u1、φt1、u2、φt2表示。因此式(8)可簡化為

rh1(u1,φt1)=rh2(u2,φt2)

(9)

式(9)是含有4個未知數(shù)u1、φt1、u2、φt2，3個相互獨立標量的方程，給定u2值和其余3個參數(shù)初值，求解可得一組齒面參數(shù)，變動u2值可得到一系列齒面參數(shù)，將它代入大輪齒面方程即可得到大輪齒面上一系列點，這些點的連線即為大輪齒面接觸軌跡線。在此基礎(chǔ)上根據(jù)共軛齒面之間的曲率關(guān)系可以求得大輪上齒面接觸區(qū)，根據(jù)傳動誤差的定義可以得到傳動誤差曲線。

3.2 齒面LTCA有限元分析

前文通過數(shù)學(xué)解析方法計算出了齒面接觸區(qū)和傳動誤差，TCA結(jié)果是針對無載荷情況而言的，加載情況下齒面的接觸情況需要通過LTCA仿真得到，這里基于有限元方法研究了LTCA仿真過程。采用ABAQUS軟件進行齒面加載接觸分析的流程如圖4所示。

圖4 LTCA有限元仿真流程

由圖4可以看出：采用有限元方法進行LTCA仿真主要分為3步：第1步為前處理，計算理論齒面點，導(dǎo)入UG軟件建立齒輪副三維模型，采用六面體網(wǎng)格劃分，設(shè)置材料密度、彈性模量、泊松比等材料參數(shù)；第2步為有限元求解，設(shè)定求解器靜力類型，設(shè)置面與面接觸連接關(guān)系，施加負載扭矩并進行邊界約束；第3步為后處理，輸出齒面接觸應(yīng)力和彎曲應(yīng)力，采用Python語言編寫腳本文件提取接觸應(yīng)力，比較每個單元不同時刻的最大接觸應(yīng)力，并將其寫入文件。運行腳本文件，即可得到主從動輪接觸面上每個單元在整個分析過程中不同時刻最大的接觸應(yīng)力，通過提取遍歷不同時刻的最大接觸應(yīng)力從而得到齒面完整接觸區(qū)；同理提取不同時刻大輪的實際轉(zhuǎn)角可得到加載下傳動誤差曲線。

4 算例仿真

以一對擺線齒錐齒輪為例進行了齒面失配分析、齒面TCA仿真及LTCA加載仿真。表1所示為齒輪副幾何參數(shù)，表2所示為右旋大輪切齒加工參數(shù)，表3所示為左旋小輪切齒加工參數(shù)，表1—3中參數(shù)由格里森CAGE軟件提供。圖5所示為大輪和小輪理論齒面，圖6所示為齒面Ease off失配拓撲。

表1 齒輪副幾何參數(shù)

表2 大輪切齒加工參數(shù)

表3 小輪切齒加工參數(shù)

圖5 理論齒面模型

圖6 齒面Ease off拓撲

由圖6可以看出：小輪齒面與大輪齒面在齒長方向和齒高方向都產(chǎn)生了鼓形失配，因此齒面呈局部共軛接觸。同時小輪齒面與大輪齒面失配關(guān)系產(chǎn)生了撓率扭曲，這反映出齒面接觸區(qū)呈對角接觸。由圖6中的齒面扭曲趨勢可以看出：工作面(小輪凹面和大輪凸面)和非工作面(小輪凸面和大輪凹面)齒面接觸區(qū)呈內(nèi)對角接觸。

圖7所示為齒面TCA仿真結(jié)果，圖8所示為格里森CAGE軟件TCA仿真結(jié)果。對比圖6和圖7可以看出：齒面Ease off失配拓撲反映出來的齒面接觸區(qū)與TCA仿真結(jié)果趨勢一致。對比圖7和圖8可以看出：文中TCA與CAGE軟件仿真結(jié)果相比，兩者的齒面接觸區(qū)形狀、大小、位置基本吻合，兩者傳動誤差基本一致，可以認為文中TCA仿真結(jié)果與格里森CAGE軟件仿真結(jié)果相同，這也驗證了文中TCA解析算法的正確性。

圖7 TCA仿真齒面接觸區(qū)和傳動誤差

圖8 CAGE軟件齒面接觸區(qū)和傳動誤差

圖9給出了齒面加載LTCA有限元仿真結(jié)果，設(shè)定載荷為輕載，扭矩為50 N·m。

圖9 齒面加載接觸區(qū)和傳動誤差

圖9(b)、(c)給出的齒面接觸區(qū)屬于輕載情況，對比圖7和圖9中齒面接觸區(qū)可以看出：輕載下齒面加載接觸區(qū)與TCA仿真齒面接觸區(qū)比較接近，驗證了有限元仿真結(jié)果的正確性。由圖9還可以看出，采用有限元LTCA仿真方法可以直觀地呈現(xiàn)出加載情況下的齒面完整接觸區(qū)和加載傳動誤差曲線。

5 結(jié)論

針對格里森制擺線齒錐齒輪嚙合性能評價問題，提出了集齒面失配分析、齒面TCA解析法和齒面LTCA有限元法于一體的系統(tǒng)性評價方法。在建立刀盤數(shù)學(xué)模型和刀傾法展成加工數(shù)學(xué)模型的基礎(chǔ)上，研究了齒面失配Ease off構(gòu)建方法，建立了齒面TCA解析法數(shù)學(xué)模型和齒面LTCA有限元方法仿真流程。算例仿真結(jié)果表明：TCA仿真結(jié)果與格里森CAGE軟件結(jié)果一致，驗證了TCA解析算法的正確性。同時也可看出采用LTCA有限元仿真方法不僅可以得到齒面瞬時接觸區(qū)和接觸應(yīng)力，而且能夠直觀呈現(xiàn)完整的齒面加載接觸區(qū)和加載傳動誤差曲線，這為實際工況下齒輪嚙合性能評價提供了理論參考依據(jù)，也為后續(xù)的齒面嚙合性能優(yōu)化奠定了基礎(chǔ)。