聶少武，劉少杭，耿龍龍

(河南科技大學(xué)機(jī)電工程學(xué)院，河南洛陽(yáng) 471003)

0 前言

擺線齒錐齒輪采用連續(xù)分度雙面法、干切加工，切齒效率高且綠色環(huán)保，同時(shí)又具有重合度大、承載能力高、噪聲低等優(yōu)點(diǎn)，因此在汽車驅(qū)動(dòng)橋中得到廣泛應(yīng)用。作為驅(qū)動(dòng)橋主減速器中的關(guān)鍵部件，擺線齒錐齒輪的齒面嚙合性能直接影響著整橋的傳動(dòng)性能。為了提升驅(qū)動(dòng)橋的傳動(dòng)性能，對(duì)擺線齒錐齒輪的齒面嚙合質(zhì)量進(jìn)行評(píng)價(jià)和分析至關(guān)重要。

齒面接觸分析技術(shù)(Tooth Contact Analysis，TCA)作為一種純數(shù)學(xué)方法，可以評(píng)價(jià)理論齒面的嚙合性能。國(guó)內(nèi)外相關(guān)學(xué)者圍繞擺線齒錐齒輪的TCA技術(shù)已開展了一系列研究[1-5]，取得了顯著成果。TCA技術(shù)針對(duì)無(wú)載荷情況下齒面的接觸情況進(jìn)行分析，為切齒階段齒面嚙合質(zhì)量提供了重要保證。然而，影響整個(gè)傳動(dòng)系統(tǒng)性能的最主要因素是實(shí)際工況下齒面的加載嚙合性能，因此，在TCA基礎(chǔ)上還需對(duì)齒輪進(jìn)行加載接觸分析(Loaded Tooth Contact Analysis，LTCA)，國(guó)內(nèi)外學(xué)者圍繞擺線齒錐齒輪的LTCA技術(shù)也開展了相關(guān)研究[6-10]。

當(dāng)前擺線齒錐齒輪加工技術(shù)主要被奧利康公司(已被德國(guó)克林根貝格公司合并)和格里森公司所壟斷。在擺線齒錐齒輪加工方面，2家公司在加工原理、加工方法、刀具設(shè)計(jì)以及齒輪加工數(shù)學(xué)模型等方面趨于一致，但是考慮到技術(shù)專利方面的因素，2家公司在實(shí)際刀盤規(guī)格結(jié)構(gòu)、輪坯幾何設(shè)計(jì)、機(jī)床坐標(biāo)系的定義以及齒面接觸性能控制方面還存在差異。因此為了便于區(qū)分，擺線齒錐齒輪仍可分為奧利康制擺線齒錐齒輪和格里森制擺線齒錐齒輪。

現(xiàn)有文獻(xiàn)有關(guān)擺線齒錐齒輪TCA技術(shù)多數(shù)是采用奧利康制擺線齒錐齒輪開展研究，有關(guān)格里森制擺線齒錐齒輪加工模型的TCA研究還相對(duì)較少。另外，現(xiàn)有文獻(xiàn)有關(guān)擺線齒錐齒輪LTCA技術(shù)的研究主要分析齒面的瞬時(shí)接觸區(qū)和接觸應(yīng)力，未能直觀呈現(xiàn)完整齒面的加載接觸情況。除此以外，當(dāng)前市場(chǎng)上的著名錐齒輪設(shè)計(jì)軟件(KIMOS軟件和GEMS軟件)都已將Ease off技術(shù)融入到齒面接觸分析中，不僅可以直觀地反映出齒面失配情況，也為齒面修形提供了一種拓?fù)湫扌畏椒ā?/p>

基于以上分析，本文作者以格里森制擺線齒錐齒輪為研究對(duì)象，建立齒面加工數(shù)學(xué)模型，構(gòu)建齒面Ease off拓?fù)?，在此基礎(chǔ)上對(duì)其齒面TCA解析法和LTCA有限元分析方法進(jìn)行研究。文中建立的齒面失配分析和輪齒接觸仿真技術(shù)可為格里森制擺線齒錐齒輪齒面嚙合性能評(píng)判提供系統(tǒng)性評(píng)價(jià)方法。

1 齒面加工數(shù)學(xué)模型

1.1 加工特點(diǎn)分析

格里森制擺線齒錐齒輪與奧利康制擺線齒錐齒輪雖同為擺線等高齒，但是在加工技術(shù)上也有各自的特點(diǎn)，與奧利康制主要差別如下：

(1)加工刀盤有TRIAC和PENTAC 2種規(guī)格，刀條毛坯結(jié)構(gòu)除了四面體外，還采用獨(dú)特的五面體結(jié)構(gòu)，提高了刀條的定位精度和夾緊剛性。

(2)刀刃切削刃形狀采用圓弧刀刃，圓弧刀刃的曲率半徑不是由計(jì)算得出，而是需要人為設(shè)定，根據(jù)TCA分析結(jié)果改變曲率半徑，達(dá)到優(yōu)化齒面接觸性能的目的。

(3)在加工參數(shù)計(jì)算及加工數(shù)學(xué)模型方面，機(jī)床平面是衡量刀具、產(chǎn)形輪與工件位置關(guān)系的基準(zhǔn)。對(duì)于奧利康制擺線齒錐齒輪，機(jī)床平面是工件齒輪的分度平面；對(duì)于格里森制擺線齒錐齒輪，機(jī)床平面是刀齒的節(jié)點(diǎn)平面。2個(gè)機(jī)床平面基準(zhǔn)相差一個(gè)齒輪變位移距，因此格里森制和奧利康制擺線齒錐齒輪加工參數(shù)計(jì)算并不一致。

(4)在接觸區(qū)修正方面，格里森制擺線齒錐齒輪和奧利康制擺線齒錐齒輪都是采用刀傾法修正齒面接觸區(qū)，但奧利康制擺線齒錐齒輪大小輪加工均可刀傾，而格里森制擺線齒錐齒輪只在加工小輪時(shí)刀傾，大輪無(wú)需刀傾。

1.2 刀盤數(shù)學(xué)模型

根據(jù)以上對(duì)格里森制擺線齒錐齒輪加工特點(diǎn)的分析，以格里森TRIAC左旋刀盤為例，建立了刀盤三維模型和刀齒結(jié)構(gòu)數(shù)學(xué)模型，如圖1所示。與圓弧漸縮齒錐齒輪不同，刀齒切削刃不在圓錐的母線上，刀刃在刀盤端面上的投影不經(jīng)過刀盤中心，而是與刀盤中心相切一偏置圓。

圖1 刀盤結(jié)構(gòu)及數(shù)學(xué)模型

圖1(b)中r0為刀盤名義半徑，刀齒半徑修正后，外刀刀齒節(jié)點(diǎn)變?yōu)辄c(diǎn)PA，內(nèi)刀刀齒節(jié)點(diǎn)變?yōu)辄c(diǎn)PI，δ0為刀齒方向角。Se(Xe,Ye,Ze)為與刀盤固連的坐標(biāo)系，隨刀盤轉(zhuǎn)動(dòng)。坐標(biāo)軸Xe過直線OePI。Se1(Xe1,Ye1,Ze1)與刀齒切削刃固連，坐標(biāo)系原點(diǎn)為內(nèi)刀齒節(jié)點(diǎn)PI。坐標(biāo)軸Xe1與刀盤中心相切一偏置圓，坐標(biāo)軸Xe1與Ze1確立一平面H，刀齒切削刃位于H平面內(nèi)。圖1(c)中T是過內(nèi)刀齒節(jié)點(diǎn)PI垂直于刀盤軸線的平面，稱為刀齒節(jié)點(diǎn)平面，圖1中所有坐標(biāo)系都在該平面中建立。平面H與平面T垂直。圖1(d)中給出了H平面中內(nèi)刀圓弧刀刃形狀，GI為內(nèi)刀圓弧刀刃上任一點(diǎn)，對(duì)應(yīng)刀齒參數(shù)為u，規(guī)定向上取正值，向下取負(fù)值；α為內(nèi)刀切削刃刀齒齒形角，規(guī)定內(nèi)刀刀齒齒形角取正值，外刀刀齒齒形角取負(fù)值；RHI為內(nèi)刀圓弧刀刃曲率半徑，規(guī)定內(nèi)刀圓弧曲率半徑取負(fù)值，外刀圓弧曲率半徑取正值。

由圖1中幾何關(guān)系可以直接在坐標(biāo)系Se1中求出刀齒圓弧切削刃矢量方程：

re1=

(1)

如果刀齒切削刃不經(jīng)過圓弧修形，而采用直線刀刃，則式(1)可簡(jiǎn)化為

(2)

經(jīng)坐標(biāo)變換，可得到坐標(biāo)系Se中刀齒切削刃方程re=Mee1re1，這里Mee1為坐標(biāo)轉(zhuǎn)換矩陣。對(duì)于外刀刀齒，式(1)和式(2)中刀齒參數(shù)取外刀數(shù)據(jù)。對(duì)于右旋刀盤，圖1(b)中刀齒方向角δ0取負(fù)值。

1.3 刀傾法加工數(shù)學(xué)模型

格里森制擺線齒錐齒輪小輪加工采用刀傾法加工原理，以左旋小輪為例建立了刀傾法加工基本數(shù)學(xué)模型，如圖2所示。

圖2 刀傾法加工基本數(shù)學(xué)模型

圖2中，St(Xt,Yt,Zt)代表刀盤未刀傾時(shí)的初始位置，該坐標(biāo)系位于機(jī)床平面(刀盤尚未刀傾時(shí)的刀齒節(jié)點(diǎn)平面)，Se0(Xe0,Ye0,Ze0)是輔助坐標(biāo)系，代表刀盤刀傾后的初始位置，Se(Xe,Ye,Ze)是刀盤坐標(biāo)系，隨刀盤順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)，當(dāng)前轉(zhuǎn)角為φt。這3個(gè)坐標(biāo)系之間的關(guān)系是：刀盤首先繞坐標(biāo)軸Xt傾斜i角得到坐標(biāo)系Se0，刀盤再繞Ze0軸旋轉(zhuǎn)得到坐標(biāo)系Se。Sm(Xm,Ym,Zm)是與機(jī)床固連輔助坐標(biāo)系，XmOmYm位于機(jī)床平面內(nèi)；Sp(Xp,Yp,Zp)為產(chǎn)形輪坐標(biāo)系，隨產(chǎn)形輪順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)，φp為坐標(biāo)系Sp相對(duì)坐標(biāo)系Sm的當(dāng)前轉(zhuǎn)角。坐標(biāo)系Sn(Xn,Yn,Zn)為輔助坐標(biāo)系，Xn與工件齒輪軸線重合；坐標(biāo)系Sw(Xw,Yw,Zw)為齒輪坐標(biāo)系，與工件齒輪固連，展成過程中，繞工件齒輪軸線順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)，φw為工件齒輪當(dāng)前轉(zhuǎn)角。圖中參數(shù)i為刀傾角，j為刀轉(zhuǎn)角，q為角向刀位，OmOt=Sr為徑向刀位，OmB=Em為垂直輪位，AB=Xb為床位修正量，OwA=Xg為水平輪位修正量，δM為輪坯安裝角。

由展成運(yùn)動(dòng)關(guān)系可知，φw=Rbφg，其中Rb為切齒滾比，φg為搖臺(tái)轉(zhuǎn)角。由于形成產(chǎn)形輪齒面的過程中，刀盤做純滾動(dòng)也可看作是刀盤自轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)疊加公轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)，所以當(dāng)?shù)侗P順時(shí)針自轉(zhuǎn)φt時(shí)，刀盤還要繞產(chǎn)形輪軸線順時(shí)針公轉(zhuǎn)φp0，這相當(dāng)于產(chǎn)形輪繞軸線順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)φp0，這2個(gè)角度滿足φp0=Raφt，Ra為分齒速比。當(dāng)搖臺(tái)再順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)φg做展成運(yùn)動(dòng)時(shí)，產(chǎn)形輪相對(duì)于機(jī)床坐標(biāo)系的當(dāng)前轉(zhuǎn)角為產(chǎn)形輪公轉(zhuǎn)角度與展成角度之和，即φp=φp0+φg。

利用圖2中各坐標(biāo)系之間的空間變換可以得到工件齒輪的齒面方程：

rw(u,φt,φg)=MwnMnmMmpMptMte0Me0ere(u)

(3)

式中：Mwn、Mnm、Mmp、Mpt、Mte0、Me0e為坐標(biāo)系Se到Sw之間的各個(gè)坐標(biāo)變換矩陣。

式(3)齒面方程含有3個(gè)未知數(shù)，根據(jù)產(chǎn)形輪與工件齒輪展成過程中的嚙合方程，可計(jì)算出搖臺(tái)轉(zhuǎn)角φg=φg(u,φt)，這樣式(3)最終可簡(jiǎn)化為rw(u,φt)，詳細(xì)簡(jiǎn)化過程見文獻(xiàn)[11]，這里不再贅述。

工件齒輪的齒面單位法矢為

(4)

圖2基本加工數(shù)學(xué)模型是針對(duì)左旋小輪刀傾法建立的，對(duì)于右旋大輪，無(wú)刀傾，刀傾角i=0，將大輪基本加工參數(shù)代入式(3)和式(4)即可得到右旋大輪齒面方程和單位法矢。

2 齒面失配構(gòu)建

Ease off拓?fù)淇梢苑从吵?個(gè)相嚙合齒面之間的失配情況，也為齒面失配修正提供了前提，這里介紹一下Ease off拓?fù)涞臉?gòu)建過程[12-16]。

圖3給出了一對(duì)齒輪副的嚙合位置關(guān)系，圖中Sw1(Xw1,Yw1,Zw1)、Sw2(Xw2,Yw2,Zw2)分別為小輪和大輪坐標(biāo)系，嚙合過程中隨齒輪轉(zhuǎn)動(dòng)，且轉(zhuǎn)角分別為φ1和φ2。坐標(biāo)系Sh(Xh,Yh,Zh)為固定安裝坐標(biāo)系，坐標(biāo)系Sd(Xd,Yd,Zd)和Sb(Xb,Yb,Zb)為輔助坐標(biāo)系。ΔE為齒輪副軸線垂直方向偏差，ΔG和ΔP分別為大輪和小輪安裝距偏差，軸夾角Σ=90°。

圖3 齒輪嚙合數(shù)學(xué)模型

根據(jù)圖2基本加工數(shù)學(xué)模型，可以推導(dǎo)出大輪齒面方程rw2(u2,φt2)、單位法矢nw2(u2,φt2)，將大輪齒面方程和單位法矢轉(zhuǎn)換到坐標(biāo)系Sh中，可得：

(5)

式中：Mhb、Mb2為相對(duì)應(yīng)坐標(biāo)系之間的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換矩陣；Lhb、Lb2分別為Mhb、Mb2刪去最后一行和最后一列得到。

當(dāng)小輪齒面與大輪齒面完全共軛時(shí)，在嚙合過程中滿足φ2/φ1=z1/z2，z1和z2分別為小輪齒數(shù)和大輪齒數(shù)。依據(jù)坐標(biāo)系Sh下大小輪嚙合方程可以求出φ2=φ2(u2,φt2)，這樣小輪轉(zhuǎn)角也可表示為φ1=φ1(u2,φt2)，因此式(5)可簡(jiǎn)化為rh2(u2,φt2)和nh2(u2,φt2)，將其轉(zhuǎn)換到小輪坐標(biāo)系Sw1中可得：

(6)

由式(6)求解出與大輪齒面完全共軛的小輪齒面，將它定義為小輪基準(zhǔn)齒面，用r1表示。將式(3)推導(dǎo)出的小輪齒面定義為小輪的實(shí)際齒面，用r′1表示。根據(jù)2個(gè)齒面之間的矢量關(guān)系，小輪實(shí)際齒面與小輪基準(zhǔn)齒面之間的偏差可以用矢量表示Δδ=(r′1-r1)·n1，由這些齒面偏差構(gòu)建的偏差拓?fù)鋱D即為Ease off拓?fù)鋱D。

定義與大輪完全共軛的齒面為小輪基準(zhǔn)齒面，用r1表示。將式(3)推導(dǎo)出的小輪齒面定義為小輪的實(shí)際齒面，用r′1表示。小輪實(shí)際齒面與小輪基準(zhǔn)齒面在空間位置上首先經(jīng)過旋轉(zhuǎn)使齒面中點(diǎn)重合，然后根據(jù)2個(gè)齒面之間的矢量關(guān)系，可以計(jì)算出小輪實(shí)際齒面與小輪基準(zhǔn)齒面之間的偏差Δδ=(r′1-r1)·n1，由這些齒面偏差構(gòu)建的齒面偏差拓?fù)鋱D就反映出了小輪實(shí)際齒面與大輪齒面之間的失配關(guān)系，稱為齒面Ease off拓?fù)鋱D。

3 輪齒接觸分析方法

3.1 齒面TCA解析計(jì)算方法

由公式(5)可得到坐標(biāo)系Sh下大輪齒面方程rh2(u2,φt2,φ2)和單位法矢nh2(u2,φt2,φ2)，同理，將式(3)和式(4)中小輪齒面方程和單位法矢轉(zhuǎn)換到固定坐標(biāo)系Sh中，可得到：

(7)

式中：Mhd、Mdw1為相對(duì)應(yīng)坐標(biāo)系之間的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換矩陣；Lhd、Ldw1分別為Mhd、Mdw1刪去最后一行和最后一列得到。

齒輪在嚙合過程中，任一嚙合點(diǎn)處具有相同的徑矢和法矢，據(jù)此可得：

(8)

由式(8)中nh1(u1,φt1,φ1)=nh2(u2,φt2,φ2)可以得到φ1和φ2，可用未知參數(shù)u1、φt1、u2、φt2表示。因此式(8)可簡(jiǎn)化為

rh1(u1,φt1)=rh2(u2,φt2)

(9)

式(9)是含有4個(gè)未知數(shù)u1、φt1、u2、φt2，3個(gè)相互獨(dú)立標(biāo)量的方程，給定u2值和其余3個(gè)參數(shù)初值，求解可得一組齒面參數(shù)，變動(dòng)u2值可得到一系列齒面參數(shù)，將它代入大輪齒面方程即可得到大輪齒面上一系列點(diǎn)，這些點(diǎn)的連線即為大輪齒面接觸軌跡線。在此基礎(chǔ)上根據(jù)共軛齒面之間的曲率關(guān)系可以求得大輪上齒面接觸區(qū)，根據(jù)傳動(dòng)誤差的定義可以得到傳動(dòng)誤差曲線。

3.2 齒面LTCA有限元分析

前文通過數(shù)學(xué)解析方法計(jì)算出了齒面接觸區(qū)和傳動(dòng)誤差，TCA結(jié)果是針對(duì)無(wú)載荷情況而言的，加載情況下齒面的接觸情況需要通過LTCA仿真得到，這里基于有限元方法研究了LTCA仿真過程。采用ABAQUS軟件進(jìn)行齒面加載接觸分析的流程如圖4所示。

圖4 LTCA有限元仿真流程

由圖4可以看出：采用有限元方法進(jìn)行LTCA仿真主要分為3步：第1步為前處理，計(jì)算理論齒面點(diǎn)，導(dǎo)入U(xiǎn)G軟件建立齒輪副三維模型，采用六面體網(wǎng)格劃分，設(shè)置材料密度、彈性模量、泊松比等材料參數(shù)；第2步為有限元求解，設(shè)定求解器靜力類型，設(shè)置面與面接觸連接關(guān)系，施加負(fù)載扭矩并進(jìn)行邊界約束；第3步為后處理，輸出齒面接觸應(yīng)力和彎曲應(yīng)力，采用Python語(yǔ)言編寫腳本文件提取接觸應(yīng)力，比較每個(gè)單元不同時(shí)刻的最大接觸應(yīng)力，并將其寫入文件。運(yùn)行腳本文件，即可得到主從動(dòng)輪接觸面上每個(gè)單元在整個(gè)分析過程中不同時(shí)刻最大的接觸應(yīng)力，通過提取遍歷不同時(shí)刻的最大接觸應(yīng)力從而得到齒面完整接觸區(qū)；同理提取不同時(shí)刻大輪的實(shí)際轉(zhuǎn)角可得到加載下傳動(dòng)誤差曲線。

4 算例仿真

以一對(duì)擺線齒錐齒輪為例進(jìn)行了齒面失配分析、齒面TCA仿真及LTCA加載仿真。表1所示為齒輪副幾何參數(shù)，表2所示為右旋大輪切齒加工參數(shù)，表3所示為左旋小輪切齒加工參數(shù)，表1—3中參數(shù)由格里森CAGE軟件提供。圖5所示為大輪和小輪理論齒面，圖6所示為齒面Ease off失配拓?fù)洹?/p>

表1 齒輪副幾何參數(shù)

表2 大輪切齒加工參數(shù)

表3 小輪切齒加工參數(shù)

圖5 理論齒面模型

圖6 齒面Ease off拓?fù)?/p>

由圖6可以看出：小輪齒面與大輪齒面在齒長(zhǎng)方向和齒高方向都產(chǎn)生了鼓形失配，因此齒面呈局部共軛接觸。同時(shí)小輪齒面與大輪齒面失配關(guān)系產(chǎn)生了撓率扭曲，這反映出齒面接觸區(qū)呈對(duì)角接觸。由圖6中的齒面扭曲趨勢(shì)可以看出：工作面(小輪凹面和大輪凸面)和非工作面(小輪凸面和大輪凹面)齒面接觸區(qū)呈內(nèi)對(duì)角接觸。

圖7所示為齒面TCA仿真結(jié)果，圖8所示為格里森CAGE軟件TCA仿真結(jié)果。對(duì)比圖6和圖7可以看出：齒面Ease off失配拓?fù)浞从吵鰜?lái)的齒面接觸區(qū)與TCA仿真結(jié)果趨勢(shì)一致。對(duì)比圖7和圖8可以看出：文中TCA與CAGE軟件仿真結(jié)果相比，兩者的齒面接觸區(qū)形狀、大小、位置基本吻合，兩者傳動(dòng)誤差基本一致，可以認(rèn)為文中TCA仿真結(jié)果與格里森CAGE軟件仿真結(jié)果相同，這也驗(yàn)證了文中TCA解析算法的正確性。

圖7 TCA仿真齒面接觸區(qū)和傳動(dòng)誤差

圖8 CAGE軟件齒面接觸區(qū)和傳動(dòng)誤差

圖9給出了齒面加載LTCA有限元仿真結(jié)果，設(shè)定載荷為輕載，扭矩為50 N·m。

圖9 齒面加載接觸區(qū)和傳動(dòng)誤差

圖9(b)、(c)給出的齒面接觸區(qū)屬于輕載情況，對(duì)比圖7和圖9中齒面接觸區(qū)可以看出：輕載下齒面加載接觸區(qū)與TCA仿真齒面接觸區(qū)比較接近，驗(yàn)證了有限元仿真結(jié)果的正確性。由圖9還可以看出，采用有限元LTCA仿真方法可以直觀地呈現(xiàn)出加載情況下的齒面完整接觸區(qū)和加載傳動(dòng)誤差曲線。

5 結(jié)論

針對(duì)格里森制擺線齒錐齒輪嚙合性能評(píng)價(jià)問題，提出了集齒面失配分析、齒面TCA解析法和齒面LTCA有限元法于一體的系統(tǒng)性評(píng)價(jià)方法。在建立刀盤數(shù)學(xué)模型和刀傾法展成加工數(shù)學(xué)模型的基礎(chǔ)上，研究了齒面失配Ease off構(gòu)建方法，建立了齒面TCA解析法數(shù)學(xué)模型和齒面LTCA有限元方法仿真流程。算例仿真結(jié)果表明：TCA仿真結(jié)果與格里森CAGE軟件結(jié)果一致，驗(yàn)證了TCA解析算法的正確性。同時(shí)也可看出采用LTCA有限元仿真方法不僅可以得到齒面瞬時(shí)接觸區(qū)和接觸應(yīng)力，而且能夠直觀呈現(xiàn)完整的齒面加載接觸區(qū)和加載傳動(dòng)誤差曲線，這為實(shí)際工況下齒輪嚙合性能評(píng)價(jià)提供了理論參考依據(jù)，也為后續(xù)的齒面嚙合性能優(yōu)化奠定了基礎(chǔ)。