落海偉，湯偉民，張俊

(1.首都航天機械有限公司，北京 100076；2.福州大學機械工程及自動化學院，福建福州 350116)

0 前言

五軸數控機床可實現復雜結構件的銑削加工，已廣泛應用于航空航天、軌道交通、模具制造、汽車等領域[1-3]。五軸銑削加工中，銑削力是影響機床銑削穩(wěn)定性、工件銑削質量的重要因素[4]。準確地預測銑削力可指導銑削工藝參數優(yōu)化，進而有效抑制銑削顫振、提高工件加工質量。

國內外許多學者圍繞銑削力計算方法開展了研究工作。早在20世紀40年代初，MARTELLOTTI[5]指出刀具運動軌跡可近似為圓弧形，提出了瞬時未變形切屑厚度的概念?；谠摱x，KOENIGSBERGER和SABBERWAL[6]將銑削力表示為瞬時未變形切屑厚度的函數，奠定了銑削力模型的基礎。在此基礎上，ALTINTAS和LEE[7]利用斜角切削模型從正交切削數據庫中轉換切削系數，完成了球頭銑刀的切削力建模。為進一步明確切削力形成機制，ALTINTAS[8]將刀具切削力來源分為剪切力、犁切力和摩擦力，系統地推導了棒狀立銑刀的銑削力模型。上述工作基本奠定了三軸機床銑削力的研究基礎。

相比于三軸銑削，刀具在五軸銑削過程中引入了2個額外轉動自由度，其切削軌跡和姿態(tài)更加多樣化。隨著刀具銑削姿態(tài)的改變，刀具-工件接觸區(qū)域和瞬時切屑厚度將隨之改變，進而增加動態(tài)銑削力求解難度。為解決五軸銑削力的準確預測問題，許多學者在經典銑削力模型基礎上進行了針對性改進。OZTURK等[9]討論了多軸銑削中刀具姿態(tài)角與動態(tài)銑削力之間的相互關系。張家興等[10]考慮了五軸側銑過程中刀軸運動形式和刀具幾何參數對切屑厚度的影響，提出了一種錐度球頭銑刀半精加工的銑削力計算模型。郭明龍等[11]針對平頭立銑刀銑削自由曲面的過程，提出了基于空間區(qū)域限定的刀刃接觸區(qū)間解析算法，實現了平頭立銑刀五軸銑削力計算。圍繞刀具-工件接觸域問題，落海偉[12]對數控加工仿真系統VERICUT進行二次開發(fā)，提出了多軸銑削刀具-工件接觸域求解方法。王立平等[13]則針對五軸銑削中瞬時切屑厚度的計算方法進行改進，以五軸側銑加工銑削力計算效率。針對薄壁工件銑削變形問題，衛(wèi)星馳等[14]考慮工件彈性變形影響，改進了五軸側銑銑削力模型。

綜上所述，現有研究基本以單一刀具為研究對象，通過改進瞬時切屑厚度和刀具-工件接觸域的整定方式，提升經典銑削力模型對五軸銑削力預測的準確性。然而現有銑削力模型仍存在以下不足：(1)現有模型基本沿用刀齒圓弧軌跡假設，與真實的余擺線切削軌跡有所出入；(2)缺乏適用于多種銑刀的銑削力統一模型。

為此，本文作者定義通用立銑刀幾何模型，并基于刀齒真實運動軌跡和刀具運動姿態(tài)變化，推導五軸銑削瞬時刀齒切屑厚度，進而建立適用多類型立銑刀的五軸銑削力模型。

1 立銑刀幾何定義

根據刀頭類型，常用立式銑刀可分為球頭銑刀、環(huán)形銑刀和平底端銑刀。為便于描述不同立銑刀的銑削力，文中以上述3種銑刀為例構建立銑刀通用幾何模型，如圖1所示。

圖1 立銑刀幾何模型

圖1中，根據刀具回轉面，立銑刀可視為圓柱與圓環(huán)的組合。其中，圓柱面為刀柄回轉面，回轉直徑為D；圓環(huán)面為刀頭回轉面，刀頭圓弧半徑為Rc；刀具底面半徑為Rr。以刀具圓柱段底面中心為原點，建立刀具坐標系P-xtytzt。其中，zt軸與刀具軸線重合，指向刀柄方向為正，xt軸垂直于水平面向外，yt軸由右手定則確定。假設點Q為刀具表面上任意點，PQ與xtPzt平面和zt軸的夾角分別記為θt和ε，點Q相對于刀具軸線的回轉半徑為

(1)

觀察式(1)可知：當Rr=0時，刀具為球頭刀；當Rr≠0、Rc≠0時，刀具為圓環(huán)銑刀；當Rc=0時，刀具為平底端銑刀。

(2)

式中：θt∈[0,2π]；ε∈[0,π/2]；z∈[-Rc,H]；Rt為刀具半徑，Rt=0.5D；H0為刀具圓柱段長度。

2 刀具切削軌跡分析

相比于三軸銑削，五軸銑削過程中刀具與工件的相互作用更為復雜，主要體現在刀具瞬時切屑厚度同時隨刀刃位置和刀軸矢量變化。文中以立銑刀為研究對象，通過分析刀齒和刀軸的運動軌跡，確定五軸銑削加工中刀具的瞬時切屑厚度，并以此構建五軸銑削力模型。

2.1 刀刃運動軌跡

在經典銑削力模型中，刀齒切削軌跡近似為圓弧軌跡，如圖2(a)所示。

圖2 刀齒切削軌跡示意

圖2(a)中，φ為刀齒徑向接觸角，fc為每齒進給量，Ω為主軸旋轉角速度，三者滿足以下關系：

(3)

式中：t為刀具轉動時間；c為刀具進給速度，mm/min；N為刀齒數；n為主軸轉速，r/min。

在刀齒圓弧軌跡假設下，刀具的瞬時切屑厚度為

h(φ)=fcsinφ

(4)

然而，實際切削過程中，由于刀具的轉動和進給運動同時存在，刀齒的真實運動軌跡應為余擺線軌跡，如圖2(b)所示。刀齒的真實切削軌跡方程為

(5)

式中：R為刀具半徑，mm。

根據相鄰2個刀齒的真實運動軌跡即可確定刀具的瞬時切屑厚度。為避免繁復的迭代計算，文中采用幾何法計算瞬時切屑厚度，其過程如圖3所示。

圖3 真實刀具軌跡下的瞬時切屑厚度

圖3中，點M為刀具第j+1個刀齒軌跡上任意一點，其對應的刀具中心為OM，刀齒徑向接觸角為φM。點N為點M在刀具第j個刀齒軌跡上的對應點，其對應刀具中心為ON，刀齒徑向接觸角為φN。其中，M、N、OM3點共線，則刀具真實軌跡下的瞬時銑削厚度為

dMN=R-dNOM

(6)

根據余弦定理，可得

(7)

式中：θ=∠ONOMN=φM+π/2。

根據圖3所示幾何關系，易知：dMOM=dNON=R，dOOM=dQM=fc，dOON=cΔt，Δt為刀具中心由點O運動至點ON的時間。鑒于刀具半徑在一般切削條件下遠大于每齒進給量fc，由式(7)可解得：

(8)

因此，刀具真實軌跡下的瞬時銑屑厚度可表示為

dMN=R-(fc-cΔt)cosθ-

(9)

刀具中心由點O運動至點ON的時間正好為刀齒從點Q沿圓弧軌跡運動至點N′的時間，即存在Δt=φ′/Ω。由圖3所示幾何關系可知：

(10)

式中：dOB=dOOMcosφ0=fccosφM；dON′=R。

整理式(9)和式(10)可得，刀具真實軌跡下，第j刀齒切削產生的瞬時切屑厚度為

hc(φj)=dMN=R-(fc-cΔt)cos(φj+π/2)-

(11)

式中：Δt=[15π-30arccos(fccosφj/R)]/(πn)，φj為第j刀齒的徑向接觸角。

2.2 刀軸運動軌跡

五軸銑削中，刀具軌跡由若干微小直線段組成。在每一直線段內，刀具的線速度和角速度為常數，速度的變化僅發(fā)生在相鄰兩段直線軌跡的節(jié)點處。在任意微小直線軌跡內，刀具的位姿變化如圖4所示。

圖4 五軸銑削中刀具位姿定義

圖4中，O-xwywzw為工件坐標系，P-xtytzt為刀具坐標系。在工件坐標系下，刀具在第i個位姿下的位置矢量和姿態(tài)矢量分別為pi和qi。當刀具從第i個位姿以線速度fi和角速度ωi變換至第i+1個位姿時，刀具中心移動位移和單位速度矢量分別為

di=pi+1-pi

(12)

(13)

刀具變換位姿的時間為

(14)

式中：fi為刀具進給速度，mm/s。

在位姿變化過程中，刀具除了坐標中心的線性移動，其位姿矢量同時繞空間某一矢量轉動。由空間向量的旋轉變換關系可知，刀具位姿矢量的旋轉軸單位矢量為

(15)

刀具從位姿i變換至位姿i+1，繞矢量ki旋轉的角度為

(16)

刀具轉動角速度為

(17)

在刀具坐標系下，刀具的實際進給速度包括移動進給和轉動進給，即

ci,z=fivi+ωiki×zqi

(18)

式中：z為切削微元在刀具坐標系下的高度。

在各切削微元處建立進給坐標系，高度z處各坐標方向為

(19)

刀具實際進給方向與坐標軸xc，z的夾角為

(20)

在高度z處，進給速度沿xc，z和zc，z的分量分別為

ccx=|ci,z|cosμi,z

(21)

ccz=(-1)ξ|ci,z-ccx·xc,z|

(22)

式中：ξ為切削微元的移動方向判定系數。當切削微元向上移動，ξ=1；當切削微元向下移動，ξ=2。

由上述可知，刀具在水平和垂直方向上的每齒進給量分別為

(23)

將水平進給量代入式(11)，可得沿刀具橫向進給方向的真實切屑厚度為

hcx(φj)=R-(fcx-ccxΔt)cos(φj+π/2)-

(24)

鑒于刀具在移動過程中同時存在橫向進給和縱向進給，故刀具的真實切屑厚度應為包含橫向和縱向切屑厚度的復合切屑厚度，如圖5所示。

圖5 五軸銑削中的刀具復合切屑厚度

由圖5中的幾何關系可知，刀具的復合切屑厚度為

h(φj)=hx+hz

(25)

式中：hx和hz分別為刀具橫向切屑厚度和縱向切屑厚度在實際切屑厚度方向的投影分量，可由下式得

hx=hcx(φj)sinε

(26)

hz=ccz·Δti·cosε

(27)

式中：ε為切削點對應的軸向接觸角。

3 銑削力模型

鑒于五軸銑削中刀具與工件接觸域的復雜性，文中將刀具沿軸線方向等分成若干切削微元，通過對每個切削微元產生的切削力進行計算和積分，最終得到五軸銑削力。

3.1 螺旋切削刃微元建模

假設立銑刀參與切削的總長度為H，沿刀具軸線均等分為M個切削微元，則每個切削微元高度為dz。立銑刀中任意切削刃微元如圖6所示。

圖6 刀具螺旋切削刃微元

圖6中，db為切削刃微元的切削寬度，φj為第j個齒上切削微元的徑向接觸角，h(φj，z)為高度z上對應的切削微元瞬時切屑厚度。根據前文對刀具的幾何定義，則存在以下關系

H=H0+Rc

(28)

dz=H/M

(29)

db=dz/sinε

(30)

切削微元長度ds在刀身(圓柱段)和刀頭的計算方式則略有差異，如圖7所示。

圖7 刀具螺旋切削刃微元長度

由圖7可知，當切削刃微元位于刀具圓柱段上時，切削刃微元長度為

(31)

當切削刃微元位于刀頭上時，切削刃微元長度近似等于微元長方體對角線，則有：

(32)

式中：Δψ為切削刃微元角度，Δψ=(2dztanβ)/D；β為刀具螺旋角；R(z)和R(z+dz)分別為高度z和z+dz時對應的刀具回轉半徑。

3.2 切削刃微元銑削力

刀具切削刃微元銑削力如圖8所示。

圖8 刀具切削刃微元銑削力

基于線性銑削力模型[8]，刀具切削刃微元上沿刀具徑向、切向和軸向的切削力分量dFr，j、dFt，j、dFa，j分別為

(33)

式中：Ktc、Krc和Kac分別為切向、徑向和軸向剪切力系數；Kte、Kre和Kae分別為切向、徑向和軸向犁切力系數；h(φj,z)為切削刃微元的瞬時切屑厚度；db為切削刃微元的切削寬度；ds為切削刃微元長度。

由于每個切削微元等高，基于螺旋切削刃等導程假設，第k個切削微元相對于刀尖點的徑向滯后角為

ψk=k·Δψ

(34)

式中：Δψ為切削刃微元角度。

以第一個刀齒刀尖點為參考點，當第j個刀齒上第k個切削微元切削時，其徑向接觸角為

φjk=φ10+(j-1)φp-ψk,j=1,2,…,N

(35)

式中：N為刀具齒數；φ10為第一個刀齒在刀尖點的徑向接觸角；φp為兩齒之間的齒間角，對于等齒距銑刀，齒間角φp=2π/N；ψk是第k個切削微元的徑向滯后角。

當切削刃的徑向接觸角處于刀刃切入角和切出角之間時，切削刃微元才處于切削狀態(tài)，此時才存在切削力。記單位階躍函數為g(φjk)，用于判斷刀齒是否處于切削狀態(tài)，則

(36)

式中：φst和φex分別為切入和切出徑向接觸角，與刀具銑削方向有關。

順銑時，切入角和切出角可表示為

(37)

逆銑時，切入角和切出角可表示為

(38)

式中：ae(z)和R(z)分別為不同高度下的徑向切削深度和刀具回轉半徑。

因此，切削刃微元的徑向、切向、軸向切削力可進一步表示為

(39)

3.3 五軸銑削力

為便于描述五軸銑削產生的銑削力，需通過坐標變換將銑削力從局部坐標系轉換至工件坐標系中。首先，將圖8所示的微元銑削力變換至刀具坐標系P-xtytzt中，如下

[dFxt,jkdFyt,jkdFzt,jk]T=

(40)

(41)

式中：ε為切削刃微元的軸向接觸角，其中

(42)

其次，將刀具坐標下的銑削力通過坐標變換轉換至工件坐標下，如下

(43)

(44)

式中：θi和αi分別為刀具在第i個位姿下刀具坐標系繞工件坐標系xw軸和yw軸的轉角。

對工件坐標系下的銑削力微元進行積分，即可得作用在刀具上的總銑削力：

(45)

4 算例仿真

為驗證切削力模型的正確性，在新型混聯五軸數控加工實驗平臺上開展了銑削力測試，如圖9所示[12]。其中，毛坯材料為航空鋁7075-T651，測試刀具為硬質合金立銑刀，刀具直徑為16 mm，刀頭圓弧半徑1 mm，刀刃螺旋角30°，刀具總長120 mm，刀刃長50 mm，齒數為3。測試過程中，采用Kistler三向動態(tài)切削力測試儀(型號為9257A)采集銑削力信號，采樣頻率為3 000 Hz。

圖9 銑削力測試

為計算五軸銑削力，采用平均銑削力系數法[8]對銑削力系數進行了標定，標定結果如表1所示。

表1 切削力系數

不失一般性，任取一組銑削參數進行銑削力測試驗證。其中，取刀具軸向切深1 mm，徑向切深8 mm，進給速度1 080 mm/min，每齒進給量為0.12 mm，刀具姿態(tài)由(α，θ)=(0，15°)變換至姿態(tài)(α，θ)=(0，0)，刀尖移動距離15 mm。刀具銑削力實測值和仿真值分別如圖10所示。

圖10 銑削力模型驗證

由圖10可知：銑削力仿真值與實測結果基本一致。其中，刀具沿x、y、z的實測切削力均值分別為14.98、63.96、-21.39 N；3個方向的計算銑削力均值則分別為16.08、71.01、-23.10 N，相對誤差分別為7.3%、11.0%、8.0%。上述數據表明，文中所提銑削力計算方法正確、有效。

5 結論

面向銑削工藝參數優(yōu)選技術的工程需求，以復雜零部件多軸數控銑削為背景，文中提出了一種通用立銑刀真實切削軌跡下的五軸銑削力計算方法。

(1)建立了可同時表征球頭銑刀、圓環(huán)銑刀和平底銑刀的通用立銑刀幾何模型，計算得到不同類型立銑刀的切削微元長度和切削寬度。

(2)提出了一種快速求解刀齒真實軌跡瞬時切屑厚度的解析模型，并推導了五軸銑削條件下刀齒瞬時切屑厚度的建模方法，據此建立了五軸銑削力模型。

(3)開展了五軸混聯加工單元的銑削力實驗，驗證了所提銑削力計算方法的有效性。

(4)所提五軸銑削力計算方法，可作為后續(xù)銑削工藝參數優(yōu)選和銑削穩(wěn)定性研究的力學依據。