吳祖沖, 余厚云, 許曉偉, 游嘉凱, 孫 筱

(南京航空航天大學(xué) 機(jī)電學(xué)院, 江蘇 南京 210016)

車床主要由床身、 主軸箱、 尾座、 溜板和導(dǎo)軌等組成[1-2], 如圖1 所示。 在加工過程中, 由于車床振動(dòng)會(huì)造成尾座與床身的連接螺栓發(fā)生松動(dòng)[3], 同時(shí)刀具和人為因素產(chǎn)生的徑向力也會(huì)引起尾座的平移和傾斜, 從而形成車床尾座與主軸之間產(chǎn)生較大的同軸度誤差, 導(dǎo)致軸類零件加工時(shí), 兩端圓柱面直徑超差, 難以控制零件的直線度和圓柱度, 從而嚴(yán)重影響鉆孔、 擴(kuò)孔、 攻絲的精度, 最終降低車床的加工精度[4]。 因此, 在車床使用過程中, 必須嚴(yán)格控制車床尾座與主軸間的同軸度。

圖1 車床尾座同軸度測(cè)量原理示意圖Fig.1 Schematic diagram of lathe tailstock coaxiality measurement principle

目前, 可用于車床尾座同軸度誤差測(cè)量的方法主要有打表法[5-6]和移動(dòng)關(guān)節(jié)臂測(cè)量[7-8]等。 受制于表?xiàng)U的長度, 打表法無法測(cè)量長距離尾座的同軸度, 并且測(cè)量效率低下, 測(cè)量過程易受表?xiàng)U形變的影響, 測(cè)量精度低。 移動(dòng)關(guān)節(jié)臂雖然測(cè)量過程較為簡便, 但該方法通過三爪卡盤夾持標(biāo)準(zhǔn)軸來模擬基準(zhǔn)軸線。 卡盤夾持存在較大誤差, 且標(biāo)準(zhǔn)軸的長度有限, 因此, 該測(cè)量方法也難以達(dá)到較高精度。 同時(shí), 該方法成本較高, 受限于關(guān)節(jié)臂長度也無法滿足大跨度同軸度測(cè)量要求[9]。

本文利用激光良好的準(zhǔn)直特性, 提出以激光束作為媒介, 由PSD測(cè)量各截面處的激光光斑中心坐標(biāo), 通過測(cè)量擬合的方法分別得到車床主軸軸線和尾座軸線, 在此基礎(chǔ)上, 計(jì)算出車床尾座的同軸度誤差[10-11]。 相對(duì)于傳統(tǒng)打表法, 本測(cè)量方法將一組同軸度實(shí)驗(yàn)的測(cè)量時(shí)間縮短至10 min左右。

1 系統(tǒng)測(cè)量坐標(biāo)系的建立

如引言中圖1 所示, 車床尾座同軸度測(cè)量系統(tǒng)主要由準(zhǔn)直激光器、 激光測(cè)距傳感器和光電測(cè)頭組成。 激光器裝夾于車床主軸的三爪卡盤內(nèi), 光電測(cè)頭則安裝在尾座上, 測(cè)量激光束投射在測(cè)頭PSD傳感器上的光斑坐標(biāo)。 激光測(cè)距傳感器則用于測(cè)量光電測(cè)頭沿車床導(dǎo)軌移動(dòng)的軸向位置。 其中光電測(cè)頭結(jié)構(gòu)如圖2 所示。

圖2 光電測(cè)頭結(jié)構(gòu)圖Fig.2 Structure of photoelectric probe

首先, 光電測(cè)頭保持不動(dòng), 激光器繞車床主軸旋轉(zhuǎn)一周, 光電測(cè)頭測(cè)量這一周的激光光斑坐標(biāo)并擬合得到中心點(diǎn), 即為車床主軸軸線與當(dāng)前測(cè)量截面的交點(diǎn)。 移動(dòng)尾座的套筒測(cè)量多個(gè)截面, 可進(jìn)一步擬合得到車床主軸軸線; 然后, 保持激光器不動(dòng), 光電測(cè)頭繞車床尾座孔軸線旋轉(zhuǎn)一周, 測(cè)量并擬合得到尾座孔軸線與當(dāng)前測(cè)量截面的交點(diǎn)。 軸向移動(dòng)尾座的套筒并測(cè)量多個(gè)截面后, 可評(píng)定出車床尾座相對(duì)于主軸的同軸度誤差。

由上所述, 被測(cè)軸線與基準(zhǔn)軸線是分別測(cè)量并擬合得到的, 在評(píng)定同軸度誤差時(shí)需要將二者統(tǒng)一到同一個(gè)坐標(biāo)系下。 為此, 本系統(tǒng)建立了世界坐標(biāo)系和測(cè)頭坐標(biāo)系。

如圖1 所示, 將車床尾座固定于導(dǎo)軌上的測(cè)量位置, 根據(jù)激光測(cè)距傳感器讀數(shù)設(shè)置光電測(cè)頭的初始位置。 令PSD的二維坐標(biāo)系為oxy, 測(cè)頭坐標(biāo)系OXYZ以PSD二維坐標(biāo)系原點(diǎn)o為原點(diǎn)O, 測(cè)頭坐標(biāo)系OX與OY軸平行于PSD的二維坐標(biāo)系, 為ox與oy軸, 指向三爪卡盤的方向定義為OZ軸的正方向, 此時(shí), 雙軸傾角傳感器測(cè)得的初始旋轉(zhuǎn)角為α0。 以在光電測(cè)頭初始位置的測(cè)頭坐標(biāo)系為世界坐標(biāo)系。

測(cè)量過程中, 由于PSD傳感器通過安裝夾具使其光敏面與尾座軸線垂直且光電測(cè)頭是通過尾座的套筒移動(dòng), 所以, 光電測(cè)頭是沿著尾座軸線即世界坐標(biāo)系Z軸移動(dòng)的。 所以, 測(cè)頭坐標(biāo)系在運(yùn)動(dòng)中只存在相對(duì)于世界坐標(biāo)系Z軸的旋轉(zhuǎn)和平移, 因此, 需要確定任意時(shí)刻兩坐標(biāo)系之間的旋轉(zhuǎn)角和平移量。 如圖3 所示, 在任意測(cè)量位置i處, 傾角傳感器測(cè)得的旋轉(zhuǎn)角為αi, 激光位移傳感器測(cè)得的距離值為di(i>0), 即測(cè)頭坐標(biāo)系相對(duì)于世界坐標(biāo)系存在繞Z軸的旋轉(zhuǎn)角Δα和沿Z軸的平移量di, 其中Δα=αi-α0。

圖3 系統(tǒng)坐標(biāo)系與測(cè)頭坐標(biāo)系位置關(guān)系示意圖Fig.3 Schematic diagram of position relationship between system coordinate system and probe coordinate system

(1)

2 同軸度誤差測(cè)量

2.1 光斑軌跡中心坐標(biāo)測(cè)量

PSD測(cè)量的激光光斑中心是光斑的能量中心, 與光斑的形狀和尺寸無關(guān)。 激光光斑的中心提取精度影響光斑軌跡中心坐標(biāo)精度, 即影響主軸軸線或者尾座軸線與PSD所在截面的交點(diǎn)坐標(biāo)精度, 由于需要一圈軌跡點(diǎn)擬合光斑軌跡中心, 因此, 激光光斑中心的提取精度對(duì)光斑軌跡中心的坐標(biāo)影響較小。 由于激光器裝夾于車床主軸三爪卡盤上時(shí)難免會(huì)存在激光束與主軸軸線之間的偏移和傾斜, 從而導(dǎo)致在激光器繞車床主軸旋轉(zhuǎn)的過程中, 激光束所形成的空間軌跡是以主軸軸線為中心的一個(gè)圓錐或單葉雙曲面, 其中異面直線和其繞主軸軸線旋轉(zhuǎn)形成單葉雙曲面軌跡, 如圖4 和圖5 所示。

圖4 準(zhǔn)直光束與主軸軸線的位置關(guān)系圖Fig.4 Position relationship between collimated beam and main axis

圖5 準(zhǔn)直光束繞主軸軸線旋轉(zhuǎn)軌跡圖Fig.5 Track of collimated beam rotating around the main axis

不論是圓錐還是單葉雙曲面, 任意正截面均為封閉圓形, 其圓心也落在旋轉(zhuǎn)軸線上, 圓心即為主軸軸線與某一截面的交點(diǎn), 因此, 準(zhǔn)直激光只作為測(cè)量媒介, 三爪卡盤的夾持精度不影響同軸度測(cè)量結(jié)果。 本文采用PSD傳感器測(cè)量任意測(cè)量截面的光斑軌跡, 即PSD感光面與圓錐面或單葉雙曲面的相貫線; 針對(duì)旋轉(zhuǎn)軌跡為圓錐的情況進(jìn)行理論仿真, 單葉雙曲面類似。 由于PSD傳感器的感光面與基準(zhǔn)軸線并不垂直, 因此, 傳感器實(shí)際測(cè)量的是圓錐或單葉雙曲面的斜截面, 此時(shí)截面軌跡應(yīng)為封閉橢圓, 且橢圓中心并不落在旋轉(zhuǎn)軸線上, 如圖6 和圖7 所示。

圖6 基準(zhǔn)軸線測(cè)量誤差仿真三維圖Fig.6 3D simulation diagram of datum axis measurement error

圖7 基準(zhǔn)軸線測(cè)量誤差仿真二維圖Fig.7 2D simulation diagram of datum axis measurement error

因此, 理論上利用多個(gè)斜截面的中心去擬合軸線, 存在一定的誤差, 但是根據(jù)實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn), 激光與車床主軸軸線的夾角一般在1°以內(nèi), PSD感光面與車床主軸軸線基本垂直, 其誤差也在1°以內(nèi), 被測(cè)截面的位置與車床三爪卡盤之間距離小于1 000 mm, 測(cè)量位置處圓錐正截面的光斑軌跡圓半徑r小于3 mm。 在此實(shí)驗(yàn)條件下, 仿真得到光斑軌跡中心坐標(biāo)與對(duì)應(yīng)位置正截面圓心坐標(biāo)相差在1 μm以內(nèi), 所以, 將實(shí)際光斑軌跡的中心坐標(biāo)直接作為正截面圓心坐標(biāo)。

本文采用基于隨機(jī)抽樣一致性(RANSAC)[12-14]的最小二乘橢圓擬合算法, 擬合截面中心坐標(biāo)。 RANSAC隨機(jī)抽樣一致性算法是一種參數(shù)估計(jì)法。 根據(jù)RANSAC算法的基本思想, 利用RANSAC算法改進(jìn)了直接最小二乘擬合橢圓的方法, 具體實(shí)現(xiàn)步驟如下:

1) 設(shè)置迭代次數(shù)m與內(nèi)點(diǎn)(誤差在閾值內(nèi)的點(diǎn))個(gè)數(shù)最大值t。 定義模型中的距離, 并設(shè)置其閾值為d;

2) 在PSD傳感器測(cè)得的所有光斑重心坐標(biāo)點(diǎn)中, 隨機(jī)抽取6個(gè)坐標(biāo)點(diǎn), 并利用最小二乘法LSA進(jìn)行橢圓擬合;

3) 根據(jù)定義的距離模型, 遍歷剩下的所有坐標(biāo)點(diǎn), 求各點(diǎn)到擬合的橢圓之間的距離, 若距離小于閾值d, 則標(biāo)記為內(nèi)點(diǎn), 遍歷完成后, 統(tǒng)計(jì)內(nèi)點(diǎn)的總個(gè)數(shù)c;

4) 比較內(nèi)點(diǎn)總個(gè)數(shù)c與理想內(nèi)點(diǎn)個(gè)數(shù)最大值t, 當(dāng)c>t時(shí), 結(jié)束迭代過程并記錄所有內(nèi)點(diǎn), 再利用最小二乘法對(duì)最優(yōu)內(nèi)點(diǎn)集合重新進(jìn)行橢圓擬合, 得到最終需要的橢圓參數(shù);

5) 若ct或迭代次數(shù)達(dá)到設(shè)定值m, 結(jié)束建模。 若由于迭代次數(shù)達(dá)到設(shè)定值m而結(jié)束建模, 那么取m次迭代中內(nèi)點(diǎn)個(gè)數(shù)最多的集合重新進(jìn)行擬合, 得到最終需要的橢圓參數(shù)。

算法流程圖如圖8 所示。

圖8 橢圓擬合改進(jìn)算法流程Fig.8 Flow chart of improved ellipse fitting algorithm

對(duì)于本系統(tǒng)而言, 距離模型的定義如圖9 所示。 設(shè)橢圓O為從數(shù)據(jù)集中隨機(jī)抽取的6個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn), 是經(jīng)最小二乘法擬合得到的, 點(diǎn)A為數(shù)據(jù)集中任意點(diǎn), 連接AO與橢圓交于點(diǎn)B, 定義線段AB為本模型中的距離, 并將距離閾值d設(shè)為0.02 mm。

圖9 距離模型的定義Fig.9 Definition of distance model

2.2 主軸軸線測(cè)量與同軸度誤差評(píng)定

通過移動(dòng)尾座的套筒, 將光電測(cè)頭移到不同測(cè)量截面, 測(cè)得多個(gè)截面的光斑軌跡中心坐標(biāo)。 主軸部分測(cè)得的軌跡中心坐標(biāo)依據(jù)最小二乘原理得到的一條主軸軸線[15]。 根據(jù)國標(biāo)《GB/T 1182-2018》和機(jī)械行業(yè)標(biāo)準(zhǔn)《JB/T 7557-1994》, 同軸度誤差采用最小包容區(qū)域法評(píng)定。 如圖10 所示, 尾座部分截面中心點(diǎn)分布在主軸軸線附近, 最小包容區(qū)域即以主軸軸線為中心線, 包圍空間分布的尾座孔各截面中心點(diǎn)的最小圓柱體, 該圓柱體的直徑為同軸度誤差。

圖10 最小包容區(qū)域示意圖Fig.10 Schematic diagram of minimum containment area

通過計(jì)算尾座部分各測(cè)量截面交點(diǎn)到主軸軸線的距離, 本文取所有距離中最大距離的兩倍作為同軸度誤差值, 其中尾座孔任意測(cè)量截面的交點(diǎn)Ci(xi,yi,zi)到主軸軸線的距離

(2)

式中:P=(x0,y0,z0), 表示主軸軸線經(jīng)過的基點(diǎn)坐標(biāo),Q=(m,n,p), 表示主軸軸線的方向向量。 則系統(tǒng)所求的同軸度誤差為

f=2×max{di}。

(3)

3 實(shí)驗(yàn)與分析

3.1 橢圓擬合算法驗(yàn)證實(shí)驗(yàn)與分析

為驗(yàn)證2.1節(jié)中的基于RANSAC的最小二乘法擬合橢圓的擬合效果, 采用原始光斑軌跡坐標(biāo)的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù), 通過在原始數(shù)據(jù)的基礎(chǔ)上分別添加隨機(jī)誤差為±0.05 mm, ±0.1 mm, ±0.15 mm, ±0.2 mm, ±0.25 mm, ±0.3 mm, ±0.35 mm, ±0.4 mm的誤差點(diǎn)。 針對(duì)上述添加不同誤差值的數(shù)據(jù)集, 分別采用兩種算法擬合得到的橢圓中心坐標(biāo)分布結(jié)果如表1 所示。

表1 兩種橢圓擬合方法得到的中心坐標(biāo)Tab.1 Central coordinates obtained by two ellipse fitting methods

由表1 可以清晰看出, 基于RANSAC的最小二乘算法可以根據(jù)設(shè)定的距離閾值將大于閾值的外點(diǎn)剔除, 從而提高橢圓擬合的精度。

3.2 同軸度測(cè)量實(shí)驗(yàn)與分析

根據(jù)上述測(cè)量原理和測(cè)量系統(tǒng)坐標(biāo)系的建立, 本系統(tǒng)擬定的基本測(cè)量流程如圖11 所示。 將激光準(zhǔn)直模塊和光電測(cè)頭分別裝夾于車床三爪卡盤和尾座套筒內(nèi), 如圖12 所示。

圖11 同軸度測(cè)量流程Fig.11 Flow chart of coaxiality measurement

圖12 車床尾座同軸度測(cè)量系統(tǒng)主要部件實(shí)物組成圖Fig.12 Physical composition of main components of lathe tailstock coaxiality measuring system

調(diào)節(jié)尾座位置, 使光電測(cè)頭分別位于距激光準(zhǔn)直模塊500 mm和750 mm位置。 在每個(gè)位置處, 選取5個(gè)測(cè)量截面, 相鄰截面間距離為25 mm, 測(cè)量范圍0～100 mm。 在兩個(gè)測(cè)量位置分別進(jìn)行10組同軸度測(cè)量實(shí)驗(yàn), 實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)如表2 所示。 500 mm處和750 mm處的擬合軸線為圖13(a)和圖13(b)所示。 以750 mm處的主軸軸線為例, 10組主軸軸線的直線方程參數(shù)如表2 所示。 表2 中x0,y0,z0為直線經(jīng)過的基點(diǎn)的坐標(biāo),m,n,p為直線方向向量。 從數(shù)據(jù)可得, 主軸軸線重復(fù)性誤差小于0.01 mm。

表2 同軸度測(cè)量實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)Tab.2 Experimental data of coaxiality measurement

根據(jù)表2 測(cè)量結(jié)果, 繪制同軸度誤差曲線, 如圖14 所示。

圖14 不同位置處10組同軸度誤差變化曲線Fig.14 Variation curve of 10 groups of coaxiality errors at different positions

兩個(gè)位置的同軸度誤差不一致, 這是因?yàn)檐嚧仓鬏S與尾座不同軸, 兩者之間距離變化導(dǎo)致兩個(gè)異面直線距離變化。 在兩個(gè)位置處的10組實(shí)驗(yàn)中, 同軸度測(cè)量結(jié)果的極差均小于0.01 mm, 兩組測(cè)量結(jié)果的標(biāo)準(zhǔn)偏差s為0.002 2 mm和0.001 mm。 根據(jù)萊以特準(zhǔn)則, 測(cè)量結(jié)果中未出現(xiàn)異常值, 則測(cè)量系統(tǒng)的A類不確定度優(yōu)于0.003 mm。

計(jì)算同軸度誤差測(cè)量不確定度的關(guān)鍵在于基準(zhǔn)軸線和尾座孔截面中心的位置變動(dòng)量。 系統(tǒng)不確定度主要來源于PSD的誤差、 傾角傳感器測(cè)量誤差、 主軸和光電測(cè)頭的徑向跳動(dòng)誤差、 尾座套筒移動(dòng)的直線度和激光位移傳感器測(cè)量誤差。 根據(jù)資料, PSD傳感器誤差為0.001 mm, 該誤差的概率分布近似于正態(tài)分布; 根據(jù)資料, 傾角傳感器分辨率為0.005 5°, 精度0.01°, 實(shí)際使用中旋轉(zhuǎn)角的測(cè)量值存在±0.01°的波動(dòng), 且概率分布近似于均勻分布; 對(duì)于普通級(jí)車床, 其定心軸頸的徑向跳動(dòng)為0.01 mm, 對(duì)于本系統(tǒng)所用的光電測(cè)頭, 經(jīng)過打表測(cè)量, 其徑向跳動(dòng)為0.003 mm; 根據(jù)同軸度實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)來看, 尾座套筒移動(dòng)直線度為±0.003 2 mm, 假定該誤差的概率分布為均勻分布; 根據(jù)資料, 激光位移傳感器測(cè)量誤差為±0.8 mm, 且測(cè)量值服從均勻分布。

基于測(cè)量模型和上述輸入量的概率密度, 采用蒙特卡洛法對(duì)系統(tǒng)的測(cè)量不確定度進(jìn)行評(píng)定。 評(píng)定過程基于Matlab平臺(tái), 分別對(duì)500 mm和750 mm位置處測(cè)得的第1組同軸度數(shù)據(jù)分別進(jìn)行不確定度模擬計(jì)算, 試驗(yàn)次數(shù)為100 000次, 得到的概率密度分布直方圖分別如圖15(a)和圖15(b)所示。 對(duì)于500 mm處的仿真計(jì)算結(jié)果, 同軸度誤差的平均值為0.191 mm, 標(biāo)準(zhǔn)不確定度為0.002 7 mm, 包含概率為95%的置信區(qū)間為 [0.185 7,0.196 2]; 對(duì)于750 mm處的仿真計(jì)算結(jié)果, 同軸度誤差的平均值為0.289 mm, 標(biāo)準(zhǔn)不確定度為0.003 2 mm, 包含概率為95%的置信區(qū)間為 [0.282 8,0.295 2]。 這為系統(tǒng)測(cè)量結(jié)果的可信度及可靠性提供了理論依據(jù)。

(a) 500 mm處

4 結(jié) 論

1) 提出了一種基于激光準(zhǔn)直和光電檢測(cè)的車床尾座同軸度誤差快速高精度測(cè)量方法。 適用于能夠旋轉(zhuǎn)的軸系同軸度的測(cè)量, 對(duì)于測(cè)量時(shí)不能轉(zhuǎn)動(dòng)的軸系, 尚未找到理想的測(cè)量方法。 設(shè)計(jì)了相應(yīng)的測(cè)量裝置并進(jìn)行實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證。 測(cè)量裝置的A類不確定度優(yōu)于0.003 mm, 每組實(shí)驗(yàn)的同軸度誤差的極差在0.01 mm以內(nèi), 解決了高精度、 高效率檢測(cè)車床主軸與尾座的同軸度誤差問題。

2) 利用隨機(jī)抽樣一致性算法改進(jìn)最小二乘擬合橢圓算法, 通過隨機(jī)抽取樣本點(diǎn)進(jìn)行擬合并標(biāo)記誤差點(diǎn)的方法, 構(gòu)建了誤差點(diǎn)檢測(cè)和剔除機(jī)制, 實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明, 該方法能夠很好地剔除誤差點(diǎn), 大大降低了測(cè)量中的隨機(jī)誤差, 并提升了擬合速度, 提高了橢圓擬合的抗干擾能力, 實(shí)現(xiàn)了橢圓中心點(diǎn)快速高精度擬合。