周 亮，戶 鯤，楊益嘉，羅建軍

（1.中國航天科工集團智能科技研究院有限公司，北京，100043；2.航天防務智能系統(tǒng)與技術科研重點實驗室，北京，100043；3.中國運載火箭技術研究院，北京，100076；4.中國航空規(guī)劃設計研究總院有限公司，北京，100120；5.西北工業(yè)大學航天學院，西安，710072）

0 引 言

隨著衛(wèi)星小型化和模塊化技術的發(fā)展，具有資源共享和信息傳遞能力的集群飛行衛(wèi)星［1-2］，相比于傳統(tǒng)的單一的衛(wèi)星，快速性和靈活性等優(yōu)勢越來越凸顯。歐洲航天局的PRⅠSMA 任務［3-4］、以色列理工大學的SAMSON 計劃［5］、德國維爾茨堡大學Netsat 項目［6］、英國的BAE 系統(tǒng)［7］，以及美國國防部高級研究計劃局（Defense Advanced Research Projects Agency，DARPA）的F6 系統(tǒng)［8］（由于經(jīng)費等問題，該項目已停止，其關鍵技術轉移到鳳凰計劃等項目中）是衛(wèi)星集群飛行的典型演示驗證項目。

衛(wèi)星集群飛行對精確的幾何構型沒有特定的要求，而是通過位置保持控制和重構機動來維持一種松散的集群結構，同時保證燃料消耗較少。本文針對衛(wèi)星長期集群飛行任務，提出了一種使用相對軌道要素（Relative Orbital Elements，ROEs）描述的集群穩(wěn)定性與靈活性的分析方法，相對于動力學描述的衛(wèi)星集群相對運動具有幾何關系明確、便于分析等特點。

1 相對軌道要素表示的集群飛行

1.1 相對軌道要素與相對運動

相對軌道要素由相對偏心率矢量（Eccentricity，e矢量）和相對傾角矢量（Ⅰnclination，Ⅰ矢量）組成［2-3，6］。偏心率矢量e可表示為

式中ω為軌道六要素中的近地點幅角。

兩衛(wèi)星的相對偏心率矢量Δe可定義為

式中φ為該矢量的相位角；δe為該矢量的模值。

相對傾角矢量Δi可定義為

式中δi為兩軌道平面夾角；θ為衛(wèi)星S2穿過衛(wèi)星S1的軌道平面時S1的緯度幅角，其正方向為相對于升交點的上升方向。

對于傾角i與升交點赤經(jīng)Ω均相差較小的情況，式（3）可以簡化為

兩衛(wèi)星的相對位置矢量Δr在軌道坐標系Oxyz中的徑向（R向）、切向（T向）和法向（N向）分量可以近似表示為

式中a為軌道半長軸，Δa=a2-a1；u為平緯度幅角；u0為平緯度幅角的初值，Δu=u2-u1；Δl表示u的變化帶來的切向位置漂移，Δl≈Δu+ cosi?ΔΩ。

由式（5）可得，使用相對軌道要素表示的衛(wèi)星相對運動方程如下：

式中v為半徑為a的圓軌道上的衛(wèi)星速度大小。Δa和Δu影響很小，可忽略。使用相對軌道要素表示的相對運動方程可以簡化為

S2與S1的相對運動在參考軌道面內為橢圓。其半長軸為2aδe，沿T向；半短軸為aδe，沿N向。由上可知，使用相對軌道要素描述的衛(wèi)星相對運動，可以通過較少的軌道要素，表述明確的幾何關系，從而簡化集群的構型設計。

1.2 集群的被動安全

集群中的衛(wèi)星在任務期間，不與其他衛(wèi)星產(chǎn)生碰撞，可定義為集群的被動安全［3］。

根據(jù)軌道力學和軌道中常見的干擾因素，衛(wèi)星相對運動的不確定性主要集中在沿軌跡方向，隨著時間變化會產(chǎn)生長期的漂移。徑向和法向則呈現(xiàn)出周期變化，嚴格有界。由于這種不確定性的分布，在集群中僅保證沿軌跡方向的分離距離是無法保證衛(wèi)星安全性的，可能在隨后的軌道中發(fā)生碰撞。

因此，集群中兩顆衛(wèi)星，為保證被動安全可以不考慮其沿軌跡方向的相對漂移，僅保證在RN（徑法）平面內的安全距離d RNsafe。

1.3 集群的通信保持

集群的通信保持指的是集群中的衛(wèi)星可獲得其他衛(wèi)星的狀態(tài)，本文假設集群中的衛(wèi)星都可以接收或計算出其他衛(wèi)星的狀態(tài)。

為了滿足通信要求，集群衛(wèi)星的最大相對距離不能超過設定的通信范圍dmax。因此，將以dmax為半徑的球作為約束邊界。

集群的被動安全和通信要求，可由幾何方式表示，如圖1 所示。其內外邊界分別為以軌跡方向為軸，以投影安全距離d RNsafe為半徑的圓柱體外表面和以通信范圍dmax為半徑的球體內表面。內外邊界之間的區(qū)域為集群自由飛行區(qū)。

圖1 集群自由飛行區(qū)Fig.1 Free flying region of cluster

2 集群的穩(wěn)定性與靈活性

穩(wěn)定性、靈活性是衛(wèi)星集群的主要性能。本節(jié)通過集群成員的狀態(tài)間轉換和集群的漂移等方面來定義和分析集群的穩(wěn)定性；通過集群的尺度、最優(yōu)填充和擴展性等問題來定義和分析集群的靈活性。集群的性能結構如圖2所示。

圖2 集群的性能Fig.2 Performance of cluster

2.1 集群成員的狀態(tài)轉換

集群狀態(tài)轉換可通過自主模式或地面指令實現(xiàn)，其相互關系如圖3所示。

圖3 集群成員的狀態(tài)轉換Fig.3 Cluster member state transitions

集群計劃是初始狀態(tài)，集群內保持是一種穩(wěn)定狀態(tài)，脫離集群是一種結束狀態(tài)，集群外圍和集群重構為過渡狀態(tài)。結束狀態(tài)能夠再次循環(huán)切換為初始狀態(tài)。

2.2 集群的漂移

由式（7）可得，衛(wèi)星相對運動存在兩種周期性行為：a）RT（軌道）平面內的橢圓形周期振蕩，受到相對偏心率矢量的大小和相位影響；b）垂直于軌道面的法向正弦振蕩，受到相對傾角矢量的大小和相位影響。相對軌道要素中α=θ-φ表示相對傾角矢量和相對偏心率矢量的相位差。圖4 為典型α值對應的RN平面相對運動。

圖4 典型α值對應的RN平面相對運動Fig.4 Relative motion in RN plane for typical α

由圖4 可以看出，當α=0°或α=180°時，RN平面的相對運動能夠保證一定的相對距離min｛aδe，aδi｝。反之，當α=±90°時，RN平面的相對距離在某些時刻會減小到0，此時衛(wèi)星沿T向的相對運動也可能在不確定性的影響下減小到一定值，衛(wèi)星存在碰撞危險。

考慮J2項攝動，α的變化率與軌道傾角有關：

二者關系如圖5所示。

圖5 α?與軌道傾角的關系Fig.5 Relationship between α? and inclination

由圖5 可得，α的變化率隨傾角的變化周期為180°。臨界傾角為63.43°和116.57°。在［0°，180°］范圍內，當集群衛(wèi)星的傾角在臨界傾角之間時，變化率為正；當集群衛(wèi)星的傾角在臨界傾角以外時，變化率為負。

對于低軌運行的衛(wèi)星集群，大氣阻力攝動影響也非常明顯，其切向加速度可表示為［3］

式中ρ為大氣密度；β為彈道系數(shù)，β=CD(AS/m)，其中CD為大氣阻力系數(shù)；(AS/m)為面質比。大氣阻力差的影響是非周期的。

2.3 集群的尺度

集群的尺度是為了更好地描述集群在空間中相對運動的范圍，是衡量集群規(guī)模的一種標準。集群尺度根據(jù)通信拓撲方式的不同主要分為兩類：全局通信拓撲的集群尺度、局部通信拓撲存在有向生成樹的集群尺度。本文主要研究全局通信拓撲的集群尺度，即衛(wèi)星相互之間能夠互相傳遞信息或能量的集群尺度。

對于全局信息拓撲，每個衛(wèi)星都滿足傳感器最遠通信距離的要求。也就是說，一個集群中相距最遠的兩個衛(wèi)星的相對距離不大于傳感器的最大通信距離能力dmax。同時，要使衛(wèi)星之間不產(chǎn)生相互碰撞，距離最近的兩個衛(wèi)星的相對距離不小于衛(wèi)星的安全距離d RNsafe。在最大通信距離和安全距離之間的空間稱為集群飛行區(qū)。這樣，全局通信拓撲的集群尺度模型就可以簡化為一種以虛擬參考衛(wèi)星為中心的空心球體模型，見圖6。

圖6 空心球模型Fig.6 Hollow sphere model

使用相對軌道要素描述，dij由式（10）可得：

全局拓撲集群的尺度表示為矢量[RsafeRmax]T。其中，Rsafe和Rmax分別為d RNsafe和dmax的一半，即：

2.4 集群的最優(yōu)填充

在徑法平面內，填充比pr可定義為最大相對距離與徑法平面安全距離之比：

通過最小化填充比，可以得到保證被動安全性的最緊密集群狀態(tài)。

若N個全等圓填充在一個單位圓內，且有N′個全等圓與單位圓相切且兩兩相切（N′≤N，N′不恒等于N），則最小填充比可由式（13）表示：

當2 ≤N≤9 時，式（13）適用于圖7 所示的幾種情況。

圖7 2 ≤N ≤9，RN平面的最優(yōu)填充Fig.7 Optimal packing in RN plane for 2 ≤N ≤9

對于N= 10時，不存在N′個既與單位圓相切又與相鄰圓相切的全等圓，如圖8所示。

圖8 N = 10，RN平面的最優(yōu)填充Fig.8 Optimal packing in RN plane for N = 10

當2 ≤N≤10時，最優(yōu)填充比如表1所示。

表1 集群的最優(yōu)填充比Tab.1 Cluster optimal packing ratio

2.5 集群的擴展性

集群的擴展性指的是已有的集群中增加新成員或原有多個集群合并為一個更大規(guī)模的集群。

對于不同的初始集群構型，其擴展性不同。如果可在不改變集群構型和原有成員配置的情況下加入新的成員，則集群具有強擴展性；如果需要重新配置原有成員但新成員數(shù)量限制較少，則集群具有較強的擴展性；如果需要重新配置原有成員，并且新成員數(shù)量有限制，則集群具有較弱的擴展性。對集群的擴展性進行綜合仿真分析。

3 綜合仿真與分析

3.1 仿真參數(shù)設置

為了直觀地分析衛(wèi)星長期集群飛行的性能，設計了4 類初始集群構型，包括：同心環(huán)構型、循環(huán)構型、同心循環(huán)構型、同心交叉構型。4 類集群均包含了8 個衛(wèi)星成員，軌道傾角設為臨界傾角63.43°，軌道高度設為500 km，α設定為0°。4類集群的ROEs分別如表2～5所示。

表2 同心環(huán)構型的ROEsTab.2 ROEs for concentric ring configuration

表3 循環(huán)構型的ROEsTab.3 ROEs for cycle configuration

表4 同心循環(huán)構型的ROEsTab.4 ROEs for concentric cycle configuration

表5 同心交叉構型的ROEsTab.5 ROEs for concentric cross configuration

3.2 仿真結果與分析

4 種初始集群構型的軌道分別如圖9～12 所示，4種類型集群的填充比如圖13所示。

圖10 8成員集群循環(huán)構型Fig.10 Cycle cluster configuration for 8 members

圖11 8成員集群同心循環(huán)構型Fig.11 Concentric cycle cluster configuration for 8 members

圖13 4種類型集群填充比的比較Fig.13 Comparisons of four cluster packing ratio

續(xù)圖10

由圖9～12可得，4類集群均滿足集群的安全性和通信要求，在空間中存在簡單而有規(guī)律的相對運動，且集群均能在J2項攝動的影響下保持穩(wěn)定。

由圖13 可得，同心環(huán)構型與同心交叉構型填充比較大，循環(huán)構型與同心循環(huán)構型填充比較小，且針對8成員集群，同心循環(huán)構型的填充比最優(yōu)。

結合第2.5 節(jié)可知，同心環(huán)構型下，集群的新成員可以不改變集群構型和配置，具有強擴展性；循環(huán)構型下，集群的新成員需重新配置構型，且可擴展的成員數(shù)量明顯受限，具有較弱擴展性；同心循環(huán)構型下，集群可加入新成員的數(shù)量比循環(huán)構型多，具有較強擴展性；同心交叉構型下，集群的新成員需重新配置集群構型，具有較強擴展性。

4 結束語

本文提出了一種基于相對軌道要素的衛(wèi)星在軌長期集群飛行穩(wěn)定性與靈活性分析方法。使用相對軌道要素描述了集群的被動安全和通信保持需求。討論了集群成員的狀態(tài)轉換、漂移、尺度、最優(yōu)填充、擴展性等關鍵性問題，一步步分析了集群飛行的穩(wěn)定性和靈活性。在數(shù)值仿真中，設計了同心環(huán)、循環(huán)、同心循環(huán)、同心交叉4類初始構型，比較了不同構型在穩(wěn)定性、最優(yōu)填充、擴展性等指標下的優(yōu)缺點，為衛(wèi)星集群飛行的頂層規(guī)劃、任務分析和工程實踐提供了重要理論依據(jù)。