文／朱月紅

“有理數(shù)”是初中數(shù)學學習的起點。同學們在小學學習的運算法則、運算性質(zhì)，在有理數(shù)范圍內(nèi)仍然成立。當然，初中的要求會有所提高。初步學習數(shù)系擴充的方法，掌握研究一類數(shù)的基本方法，會讓數(shù)學學習更輕松、有趣。

一、初識“數(shù)系擴充”的必要性

我們學過各種各樣的數(shù)。為了表示物體的個數(shù)或者順序，產(chǎn)生了整數(shù)1、2、3 等；為了表示“沒有”，引入了數(shù)0；有時分配、測量的結果不是整數(shù)，需要用分數(shù)（小數(shù)）表示；為了表示具有相反意義的量，我們又引進了負數(shù)……總之，數(shù)是為了滿足生產(chǎn)和生活的需要而產(chǎn)生、發(fā)展起來的（如圖1）。

圖1 數(shù)系的擴充路徑

二、類比自然數(shù)，再識有理數(shù)

同學們還記得小學是怎么研究自然數(shù)的嗎？先回憶一下，將你的想法與圖2進行對比。

圖2 自然數(shù)的學習路徑

有理數(shù)是兩個整數(shù)的比，是一種具有統(tǒng)一模式（規(guī)律）的數(shù)，這種模式就是有理數(shù)的本質(zhì)屬性。我們可以類比自然數(shù)（分數(shù)）的學習內(nèi)容和學習路徑來學習有理數(shù)?！坝欣頂?shù)”這一章的主要內(nèi)容包括有理數(shù)的概念、性質(zhì)和運算，如圖3；研究路徑是：引入負數(shù)→有理數(shù)集→概念→在數(shù)軸上的表示（數(shù)形結合）→相反數(shù)、絕對值→性質(zhì)→運算。

【小貼士】同學們可以自主建構自己所理解的知識結構圖，并將其完善和優(yōu)化，也可由此流程圖想得更遠一些，比如，易考點是什么？易錯點是什么？創(chuàng)新點在哪兒？未來將繼續(xù)研究什么？

三、拓展應用，合理運算

數(shù)學是講道理的，數(shù)學的計算、證明過程要嚴謹、有理有據(jù)?！坝欣頂?shù)”這一章要求的核心能力是運算能力。同學們在學習時，要學會設計運算程序，做到算有方法，算有規(guī)矩；探究運算思路，做到算得合理，算得簡潔。也就是說，除了會算，同學們還要進一步學習“優(yōu)算”。

1.明晰運算對象，有序進行計算

學習有理數(shù)的運算時，我們可類比小學學過的規(guī)則。如分層歸納有理數(shù)的加法：第一層按照“正數(shù)加正數(shù)，正數(shù)加負數(shù)，負數(shù)加正數(shù)，負數(shù)加負數(shù)，負數(shù)加0，0 加負數(shù)”進行分類歸納；第二層把第一次的歸納結果進一步簡約化，并與數(shù)軸上點的運動規(guī)律建立聯(lián)系，得到教材上的加法運算法則。依據(jù)運算次序、運算法則和運算律進行運算，說明運算步驟的依據(jù)，可以培養(yǎng)同學們的推理能力。我們先看一個簡單例子。

例1計算：

第一步：觀察式子的結構，明確式子中有哪些運算？

第二步：按照運算順序進行運算。

解：原式=

【小貼士】我們分析算式的運算結構，從有理數(shù)的運算法則和運算律出發(fā)，通過推理，可以得到有理數(shù)混合運算的運算順序：先算乘方，再算乘除，最后算加減，有括號的先算括號內(nèi)的式子，能用運算律的盡量用運算律簡化運算，從而達到簡算、優(yōu)算的目的。

2.拓展應用，提升學習能力

數(shù)學思想是數(shù)學知識、數(shù)學技能、數(shù)學方法的本質(zhì)體現(xiàn)，是形成數(shù)學能力、數(shù)學意識的橋梁，是靈活運用數(shù)學知識、方法的靈魂。有理數(shù)運算主要涉及數(shù)形結合、從特殊到一般、分類等數(shù)學思想方法。

例2綜合運用：學習了“有理數(shù)”一章后，小奇對運算產(chǎn)生了濃厚的興趣。他借助有理數(shù)的運算，對于有理數(shù)a、b，定義了一種新運算*，滿足a*b=a2+b2-|a-b|+1。

（1）分別計算2*（-1）和（-1）*2的值。

（2）試探索這種新定義運算“*”是否滿足交換律？請說明理由。

（3）當a=b時，若a*b=3，求出a的值。

解：（1）2*（-1）=22+（-1）2-|2 -（-1）|+1=3；（-1）*2=（-1）2+22-（|-1）- 2|+1=3。

（2）滿足交換律。

因為a*b=a2+b2-|a-b|+1，b*a=b2+a2-|b-a|+1= a2+b2-|a-b|+1，所 以a*b=b*a。

（3）因為a*b=3，所以a2+b2-|a-b|+1=3。因為a=b，所以a2+a2-|a-a|+1=3。所以a=±1。

【小貼士】我們可以體會從特殊到一般的思想，感受代數(shù)的核心思想，即“引入一種新數(shù)，就要研究相應的運算；定義一種運算，就要研究相應的運算律”。

“有理數(shù)”這一章涉及的概念較多，同學們可以嘗試通過建構數(shù)學概念結構圖，加深對數(shù)學概念的理解，感悟概念的本質(zhì)，領悟數(shù)學研究方法，形成數(shù)學學習的一般觀念。這樣，同學們的學習便能實現(xiàn)從0 到1（從無到有），從1 到n（從有到所有）的蛻變，以及從n到n+1的創(chuàng)造。