文/孔秀云
眾所周知,數(shù)學(xué)是數(shù)量關(guān)系與空間形式緊密結(jié)合的一門(mén)學(xué)科,是以研究“數(shù)”與“形”為主的學(xué)科。小學(xué)數(shù)學(xué)的四大領(lǐng)域均以“數(shù)”與“形”為基礎(chǔ)。同時(shí),數(shù)學(xué)是由抽象、概括客觀現(xiàn)象而形成的一種語(yǔ)言和工具。數(shù)學(xué)學(xué)科的如此特點(diǎn),證明了數(shù)形結(jié)合思想的重要性,驅(qū)動(dòng)教師在數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想。數(shù)形結(jié)合思想是依據(jù)“數(shù)”(抽象的數(shù)量關(guān)系)“形”(直觀的空間形式)的對(duì)應(yīng)關(guān)系與互補(bǔ)優(yōu)勢(shì),通過(guò)相互轉(zhuǎn)化解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的思想方法,具體表現(xiàn)為以形助數(shù)和以數(shù)解形[1]。實(shí)踐證明,“數(shù)”與“形”的結(jié)合,可以化抽象為具體,化復(fù)雜為簡(jiǎn)單,降低數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)難度;使學(xué)生透過(guò)問(wèn)題表述和形式,感知問(wèn)題內(nèi)在含義,增強(qiáng)數(shù)學(xué)認(rèn)知;可以使學(xué)生在互換“數(shù)”“形”的過(guò)程中,發(fā)展觀察能力、思維能力等?;诖耍谛W(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中,教師應(yīng)從以形助數(shù)和以數(shù)解形入手,通過(guò)多樣策略應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想,助力學(xué)生建構(gòu)數(shù)學(xué)認(rèn)知,掌握數(shù)學(xué)思想方法,發(fā)展數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力,提高數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)效率。
以形助數(shù)是指用“形”解決“數(shù)”的問(wèn)題,促使學(xué)生直觀地認(rèn)知“數(shù)”[2]?!靶巍钡男问蕉喾N多樣,如生活實(shí)物、線段圖、數(shù)學(xué)模型等。在應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想時(shí),教師要依據(jù)課堂教學(xué)需要,選用不同的“形”,助力學(xué)生學(xué)習(xí)“數(shù)”。
數(shù)的概念是數(shù)學(xué)學(xué)科的基礎(chǔ)內(nèi)容,具有抽象性。學(xué)生借助各種“形”,如生活實(shí)物,可以直觀地認(rèn)知數(shù)字,理解數(shù)字的含義,學(xué)會(huì)用數(shù)字表示事物的數(shù)量。如利用數(shù)學(xué)小棒或計(jì)算器,直觀地了解不同數(shù)位上的數(shù)字所表示的意義;借助正方形、圓形等,直觀地感受小數(shù)、分?jǐn)?shù)的性質(zhì)。因此,在數(shù)學(xué)課堂上,教師要聯(lián)系教學(xué)需要,用“形”引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識(shí)“數(shù)”。
例如,在“時(shí)、分、秒”的課堂教學(xué)中,為使學(xué)生認(rèn)知“1 秒”,教師呈現(xiàn)時(shí)鐘,引導(dǎo)學(xué)生閉上眼睛,靜靜地聽(tīng)。當(dāng)聽(tīng)到“滴嗒”一聲時(shí),學(xué)生感受到了“1 秒”。為了使學(xué)生增強(qiáng)感受,教師提出要求:“在聽(tīng)的過(guò)程中,一聽(tīng)到‘滴答’聲就拍一下手?!庇谑?,學(xué)生邊傾聽(tīng)邊拍手,由此直觀地感受到1 秒有多長(zhǎng)。接著,教師按照如此方式,鼓勵(lì)學(xué)生發(fā)散思維,用其他方式表示1 秒。在已有數(shù)學(xué)認(rèn)知和生活經(jīng)驗(yàn)的作用下,學(xué)生聯(lián)想到了多樣的表示方法,如眨眼睛、踏腳等。在應(yīng)用這些方法的過(guò)程中,學(xué)生繼續(xù)直觀地感知1 秒。然后,教師沿用此方式,使用不同的“形”引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識(shí)“1 分鐘”和“1 小時(shí)”。
實(shí)踐證明,在直觀的“形”的作用下,學(xué)生輕松地學(xué)習(xí)和掌握了數(shù)學(xué)知識(shí)。同時(shí),一些學(xué)生因此感受到“數(shù)”與“形”的關(guān)系,便于自主地借助“形”認(rèn)識(shí)“數(shù)”,提高數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)效率。
運(yùn)算是以“數(shù)”的認(rèn)識(shí)為基礎(chǔ)的活動(dòng),是數(shù)學(xué)教學(xué)中不可或缺的一部分。算理是學(xué)生進(jìn)行運(yùn)算的“工具”。學(xué)生借助各種“形”可以理解運(yùn)算背后的算理[3]。如借助小棒、紙片等進(jìn)行整數(shù)運(yùn)算,理解運(yùn)算定律;借助正方形、圓形等進(jìn)行平均分割,理解分?jǐn)?shù)背后的運(yùn)算法則。由此,在數(shù)學(xué)教學(xué)中,教師可用“形”引導(dǎo)學(xué)生探究算理。
例如,在“同分母分?jǐn)?shù)加減法”的課堂教學(xué)中,教師向?qū)W生提出如此問(wèn)題:“有一塊月餅,媽媽把它平均分為八份。爸爸吃了三份,媽媽吃了一份。請(qǐng)問(wèn),爸爸和媽媽一共吃了多少塊月餅?”借助此問(wèn)題,學(xué)生遷移已有認(rèn)知,列出算式。對(duì)此,教師追問(wèn):“如何計(jì)算出結(jié)果呢?”同時(shí),為了使學(xué)生順利地解決問(wèn)題,教師引導(dǎo)學(xué)生在紙張上畫(huà)圖,表示出。在畫(huà)圖的過(guò)程中,大部分學(xué)生將一個(gè)圓平均分為8 份,為其中的4 份涂色。此時(shí),學(xué)生直觀地得出結(jié)果:。教師就此進(jìn)行贊賞,并提問(wèn):“。為什么分母沒(méi)變?分子是如何得到的?”在問(wèn)題的作用下,學(xué)生審視畫(huà)圖內(nèi)容,積極思維,有所發(fā)現(xiàn),分母相同,可以直接用分子相加。立足于此,教師在交互式電子白板上演示計(jì)算過(guò)程,并結(jié)合此過(guò)程,歸納算理:計(jì)數(shù)單位相同的數(shù)可以直接相加。
由此可見(jiàn),在“形”的助力下,學(xué)生一步步地探究到算理,便于做到知其然,知其所以然,提高運(yùn)算水平。
整理數(shù)據(jù)是以數(shù)字為基礎(chǔ)的活動(dòng)。在整理數(shù)據(jù)的過(guò)程中,學(xué)生會(huì)有規(guī)律地呈現(xiàn)數(shù)據(jù),為分析數(shù)據(jù)做好準(zhǔn)備;還會(huì)梳理、發(fā)現(xiàn)數(shù)與數(shù)之間的邏輯關(guān)系,為認(rèn)識(shí)數(shù)、運(yùn)用數(shù)奠定堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。“形”是學(xué)生整理“數(shù)”的助力。如學(xué)生可以利用條形統(tǒng)計(jì)圖、扇形統(tǒng)計(jì)圖等,清晰地展現(xiàn)雜亂的數(shù)據(jù),由此輕松地發(fā)現(xiàn)數(shù)量多少或數(shù)量所占的比重等。因此,在數(shù)學(xué)課堂上,教師應(yīng)依據(jù)教學(xué)需要,借助“形”引導(dǎo)學(xué)生整理“數(shù)”。
例如,在“條形統(tǒng)計(jì)圖”這節(jié)課上,教師向?qū)W生呈現(xiàn)了本地上月的天氣情況。在學(xué)生觀察時(shí),教師提出問(wèn)題:“上個(gè)月有多少種天氣?每種天氣有多少天?”在問(wèn)題的作用下,學(xué)生數(shù)出天氣的種類及其對(duì)應(yīng)天數(shù),并積極思維,聯(lián)想到不同的表示方法,有的學(xué)生繪制統(tǒng)計(jì)表,有的學(xué)生繪制條形統(tǒng)計(jì)圖。然后,教師挑選統(tǒng)計(jì)表和條形統(tǒng)計(jì)圖,并提問(wèn):“請(qǐng)對(duì)比這兩種統(tǒng)計(jì)方式,判斷哪一種可以更加直觀地展現(xiàn)信息?”受到任務(wù)的驅(qū)動(dòng),學(xué)生認(rèn)真對(duì)比,直觀地發(fā)現(xiàn)條形統(tǒng)計(jì)圖的優(yōu)勢(shì),并主動(dòng)進(jìn)行描述。立足學(xué)生的描述情況,教師做出總結(jié):“條形統(tǒng)計(jì)圖用一個(gè)單位長(zhǎng)度直觀地展現(xiàn)了一定的數(shù)量,并按照一定的順序排列不同長(zhǎng)短的條形,借此表示出數(shù)量的多少?!庇纱?,學(xué)生增強(qiáng)了認(rèn)知,增強(qiáng)了課堂學(xué)習(xí)效果。
實(shí)踐表明,學(xué)生通過(guò)“數(shù)據(jù)—表格—條形統(tǒng)計(jì)圖”直觀地了解了條形統(tǒng)計(jì)圖,扎實(shí)掌握了課堂所學(xué)。
解決“數(shù)”是指解決數(shù)的問(wèn)題。數(shù)的問(wèn)題具有抽象性。小學(xué)生的形象思維較為發(fā)達(dá),但抽象思維能力不強(qiáng)?!靶巍笨梢灾庇^展現(xiàn)“數(shù)”,助力學(xué)生獲取解決問(wèn)題的思路和方法。例如,學(xué)生在閱讀數(shù)學(xué)問(wèn)題后,將問(wèn)題中的條件呈現(xiàn)在線段圖上,可以直觀地厘清條件關(guān)系,由此解決問(wèn)題。對(duì)此,在數(shù)學(xué)教學(xué)中,教師可借助“形”,引導(dǎo)學(xué)生解決“數(shù)”。
例如,在課堂上,教師向?qū)W生呈現(xiàn)以下應(yīng)用題:“早上,明明和紅紅同時(shí)從家里出發(fā)上學(xué)。他們相向而行。已知,明明每分鐘走70 米,紅紅每分鐘走60 米。兩人走在3 分鐘后相遇。請(qǐng)問(wèn),他們兩家相距多少米?”讀題后,大部分學(xué)生陷入迷茫。于是,教師把握時(shí)機(jī),向?qū)W生提出畫(huà)圖要求:“請(qǐng)根據(jù)問(wèn)題條件,畫(huà)出線段圖?!痹诖艘蟮尿?qū)使下,學(xué)生積極思維,分析問(wèn)題條件,精心繪制線段圖(如圖1)。
這樣的線段圖直觀地展現(xiàn)了已知條件、未知問(wèn)題以及二者間的關(guān)系。在線段圖的助力下,學(xué)生歸納出其中蘊(yùn)含的數(shù)量關(guān)系:紅紅家和明明家的距離=紅紅走的路程+明明走的路程。根據(jù)如此數(shù)量關(guān)系,學(xué)生輕松地列出算式,計(jì)算出結(jié)果。
由此可見(jiàn),借助“形”引導(dǎo)學(xué)生解決數(shù)的問(wèn)題,不但可以使學(xué)生直觀地理解題意,明確解題思路,獲得解題方法,還可以使學(xué)生建構(gòu)形象思維與抽象思維之間的聯(lián)系,便于向抽象思維過(guò)渡,提高抽象思維能力。
以數(shù)解形是指用“數(shù)”來(lái)解釋圖形的性質(zhì),促使學(xué)生精準(zhǔn)地認(rèn)知圖形。“數(shù)”的形式多種多樣,如數(shù)學(xué)符號(hào)、數(shù)學(xué)語(yǔ)言等。在應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想時(shí),教師應(yīng)根據(jù)教學(xué)內(nèi)容,選擇適宜的“數(shù)”,引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)知圖形。
盡管圖形本身具有直觀性,但表達(dá)過(guò)于直白,學(xué)生難以了解特征與性質(zhì)。如學(xué)生無(wú)法直接借由長(zhǎng)方形、正方形等,認(rèn)知到圖形的共同特征。又如,學(xué)生無(wú)法借助直角三角形、銳角三角形等,了解底、高、角等特征,尤其難以用這些特征描述不同三角形之間的關(guān)系?!皵?shù)”具有精準(zhǔn)性,可以輔助學(xué)生準(zhǔn)確認(rèn)知“形”的特征。所以,在課堂教學(xué)中,教師應(yīng)立足“數(shù)”的優(yōu)勢(shì),結(jié)合教學(xué)需要,引導(dǎo)學(xué)生利用“數(shù)”認(rèn)識(shí)圖形。
例如,在“長(zhǎng)方形的初步認(rèn)識(shí)”的課堂教學(xué)中,教師為學(xué)生發(fā)放大小不同的長(zhǎng)方形模具。接著,教師提出觀察任務(wù):“觀察這些長(zhǎng)方形模具,你能發(fā)現(xiàn)它是由什么構(gòu)成的?”帶著任務(wù),學(xué)生認(rèn)真觀察,積極思考,直觀地發(fā)現(xiàn)長(zhǎng)方形由面、頂點(diǎn)和邊構(gòu)成。據(jù)此,教師追問(wèn):“數(shù)一數(shù),長(zhǎng)方形有多少個(gè)面?多少個(gè)頂點(diǎn)?多少條邊?”通過(guò)數(shù)數(shù),學(xué)生進(jìn)一步認(rèn)知長(zhǎng)方形的特征:“長(zhǎng)方形有1 個(gè)面,4 個(gè)頂點(diǎn),4 條邊?!痹谶@樣的特征的支撐下,學(xué)生很容易在腦海中浮現(xiàn)出一個(gè)長(zhǎng)方形,加深記憶。為了使學(xué)生探究長(zhǎng)方形的更多特征,教師繼續(xù)提出任務(wù),如“量一量長(zhǎng)方形模具,你能發(fā)現(xiàn)邊、角有什么關(guān)系?”在測(cè)量的過(guò)程中,學(xué)生獲取數(shù)據(jù),由此精準(zhǔn)地認(rèn)知長(zhǎng)方形的特征,如長(zhǎng)方形的對(duì)邊相等,四個(gè)角都是直角。由此可見(jiàn),學(xué)生通過(guò)觀察、測(cè)量,發(fā)現(xiàn)了一個(gè)個(gè)“數(shù)”,由此精準(zhǔn)地認(rèn)知了長(zhǎng)方形的特征,便于形成長(zhǎng)方形表象,為學(xué)習(xí)長(zhǎng)方體的表面積奠定堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。
圖形的位置和運(yùn)動(dòng)是數(shù)學(xué)學(xué)科的基礎(chǔ)內(nèi)容。應(yīng)用“數(shù)”描述圖形的位置和運(yùn)動(dòng),可以使學(xué)生對(duì)圖形做出精準(zhǔn)“定位”,由此建構(gòu)數(shù)學(xué)認(rèn)知。如學(xué)生用前、后、左、右、上、下,東、西、南、北等方向進(jìn)行描述,可以精準(zhǔn)定位事物的位置。又如,學(xué)生用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言描述圖形的平移、旋轉(zhuǎn)軌跡,可以對(duì)平移、旋轉(zhuǎn)建構(gòu)認(rèn)知。因此,在數(shù)學(xué)課堂上,教師應(yīng)聯(lián)系課堂教學(xué)內(nèi)容,引導(dǎo)學(xué)生用“數(shù)”描述圖形的位置和運(yùn)動(dòng)。
例如,在“位置與方向(二)”的課堂教學(xué)中,學(xué)生要依據(jù)參照點(diǎn)建立坐標(biāo)系,了解事物所在角度;還要根據(jù)圖中的比例尺判斷事物的距離。了解事物角度、判斷事物距離的過(guò)程,正是學(xué)生用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言描述事物位置與方向的過(guò)程。在描述的過(guò)程中,“數(shù)”是不可或缺的,否則所描述的內(nèi)容毫無(wú)意義。所以,教師以教材中的插圖為“工具”,直觀地向?qū)W生展示平面圖,呈現(xiàn)具體數(shù)據(jù),借此引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言進(jìn)行描述。如教師引導(dǎo)學(xué)生觀察“做一做3”中的平面圖,用“臺(tái)風(fēng)沿著______方向移動(dòng)了______米”的句式進(jìn)行描述。在描述之際,學(xué)生將視線集中在數(shù)據(jù)上,發(fā)揮思維作用,判斷臺(tái)風(fēng)的移動(dòng)方向和距離。如此做法,不僅使學(xué)生借助“數(shù)”,精準(zhǔn)地了解了物體的位置和方向,認(rèn)知了所學(xué)內(nèi)容,還使學(xué)生順其自然地鍛煉了數(shù)學(xué)表達(dá)能力,有利于學(xué)生學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言表達(dá)數(shù)學(xué),提高數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)效率。
遷移“形”是學(xué)生用“數(shù)”的具體表現(xiàn)。例如,學(xué)生可以在把握數(shù)量關(guān)系的同時(shí),遷移對(duì)“形”的認(rèn)知,精準(zhǔn)認(rèn)知圖形的周長(zhǎng)、面積,尤其是掌握具體方法。又如,學(xué)生可以應(yīng)用數(shù)量,探究立體圖形的特點(diǎn)、概念等,由此遷移“形”,發(fā)現(xiàn)相同或不同之處,進(jìn)而增強(qiáng)認(rèn)知。由此可見(jiàn),在數(shù)學(xué)課堂上,教師應(yīng)立足學(xué)生“形”的學(xué)習(xí)情況,引導(dǎo)學(xué)生用“數(shù)”,遷移已有認(rèn)知,積極探究“形”。
例如,在“三角形的面積”的課堂教學(xué)中,教師將探究三角形面積計(jì)算公式的權(quán)利還給學(xué)生。學(xué)生在此之前,早已學(xué)習(xí)了長(zhǎng)方形、正方形、平行四邊形的面積計(jì)算公式,積累了“形”與“數(shù)”的經(jīng)驗(yàn),所以,在探究三角形面積計(jì)算公式的過(guò)程中,學(xué)生會(huì)遷移已有經(jīng)驗(yàn),動(dòng)手操作,使用不同的方法,如數(shù)格子法、轉(zhuǎn)化法等,得出“數(shù)”,由此推導(dǎo)出面積計(jì)算公式。這樣不僅使學(xué)生成為數(shù)學(xué)課堂的“主人”,還使學(xué)生實(shí)現(xiàn)了正遷移,便于掌握數(shù)學(xué)知識(shí)與數(shù)形結(jié)合思想方法。
綜上所述,在應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想時(shí),教師可以從以形助數(shù),以數(shù)解形入手,聯(lián)系數(shù)學(xué)教學(xué)的實(shí)際需要,運(yùn)用多樣的策略,如用“形”認(rèn)識(shí)“數(shù)”、用“形”運(yùn)算“數(shù)”、用“形”整理“數(shù)”、用“數(shù)”認(rèn)識(shí)“形”、用“數(shù)”描述“形”等,引導(dǎo)學(xué)生互換“數(shù)”與“形”,以此掌握數(shù)形結(jié)合的思想和方法,發(fā)展多樣能力,進(jìn)而增強(qiáng)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)效果。