翟鳳晨, 于慎波, 何慶橈

(沈陽工業(yè)大學 機械工程學院,遼寧 沈陽 110870)

0 引 言

近年來,內(nèi)置式永磁同步電機(interior permanent magnet synchronous motor,IPMSM)由于其優(yōu)越的性能,如恒定功率調(diào)速范圍寬,高功率密度,優(yōu)秀的過載能力和運行效率[1]而被廣泛應用于電動汽車、航空航天等領(lǐng)域。根據(jù)永磁體在轉(zhuǎn)子結(jié)構(gòu)的不同位置,IPMSM又分為U型、V型和“一”字型等結(jié)構(gòu)的內(nèi)置式永磁同步電機,其中,V型IPMSM具有最高的凸極率和更寬的恒定功率調(diào)速范圍[2]。

由于V型IPMSM的轉(zhuǎn)子結(jié)構(gòu)復雜,目前主要用有限元法對其進行電磁場分析。有限元法是目前應用最廣泛的一種數(shù)值分析方法,能夠分析結(jié)構(gòu)復雜的電機,計算電機鐵心的飽和等影響,但是該方法計算速度慢、建模復雜,難以得到設計參數(shù)與電磁性能之間的關(guān)系。等效磁網(wǎng)絡法根據(jù)磁場流通路徑對電機進行精密的磁網(wǎng)絡劃分和等效,可以計算IPMSM這類磁路結(jié)構(gòu)復雜的電機磁場問題[3-5]。文獻[3-5]分別建立了“一”字型IPMSM、多層內(nèi)置式電機和V型混合永磁電機的等效磁網(wǎng)絡模型,計算了電機的電磁性能。與解析法相比等效磁網(wǎng)絡法的計算速度較慢,電機的結(jié)構(gòu)尺寸改變會導致其計算模型也隨之改變,在電機的初始設計的應用中較為困難。

解析法是以麥克斯韋方程組為基礎(chǔ),建立偏微分方程對電機磁場進行計算求解,計算速度快,能夠方便地研究各個參數(shù)和電機性能之間的關(guān)系,適用于電機的初期設計。充分地了解電機氣隙內(nèi)發(fā)生的磁場現(xiàn)象,是精確計算電機感應電壓、電樞反映場[6]、電磁轉(zhuǎn)矩[7-8]和齒槽轉(zhuǎn)矩[9-10]的前提條件,對有效預測定子齒和軛上的電磁力以及隨后產(chǎn)生的振動和噪聲起著關(guān)鍵作用。電機的磁場分布也受一些重要的結(jié)構(gòu)參數(shù)的影響,包括轉(zhuǎn)子偏心、定子槽[11-12]和定子槽槽口[13]等幾何性質(zhì)的影響。目前,已經(jīng)有學者提出了幾種基于二維子域劃分模型的精確解析解,用來計算表貼式和表面嵌入式永磁電機的氣隙磁密,從而計算電機的電磁性能[14-18];文獻[14]提出了適用于具有分段斜極和磁性槽楔的表貼式永磁電機的計算方法,分析了電機的空載反電動勢和電磁轉(zhuǎn)矩,但是該模型沒有考慮定子槽槽口的影響;文獻[15]建立了一種表貼式永磁電機的子域分析模型,在考慮齒尖和開槽效應下計算了表貼式電機的空載、電樞和負載磁場分布;文獻[16]建立了無槽偏心表貼式永磁電機的精確子域分析模型,但該模型僅適用于無槽表貼式電機;文獻[17-18]建立的表面嵌入式永磁電機精確子域模型,通過求解矢量磁位進而完成了空載磁場和電樞磁場的解析計算。通過建立精確子域分析模型還能夠計算矩形輻式內(nèi)置式永磁電機的電磁性能[19-20]。然而,對于邊界形狀復雜的電機來說,難以建立和求解各個求解域的磁場偏微分方程,用子域法直接建立其電機磁場的解析模型較為困難,需要將原始電機等效為形狀規(guī)則,可以直接計算偏微分方程的解析模型[21]。文獻[21]對無槽U型內(nèi)置式永磁電機進行了等效,建立了等效電機的二維子域模型,通過求解泊松方程和拉普拉斯方程計算了電機的氣隙磁密分布,同時說明了該等效方法也適用于V型IPMSM,但是該模型沒有考慮齒尖和開槽效應對電機磁場的影響。

本文建立二維極坐標下V型內(nèi)置式永磁電機的空載氣隙磁場解析計算模型。提出V型內(nèi)置式永磁電機的五條等效原則,按此原則對電機等效使其各區(qū)域能夠建立具有明確邊界的偏微分方程;以矢量磁位為求解變量建立各個區(qū)域的泊松方程或拉普拉斯方程;根據(jù)各個區(qū)域的邊界條件和交界條件求解出磁密表達式中未知的系數(shù)。最后用有限元法驗證所建立的V型內(nèi)置式永磁電機解析計算模型的可行性和有效性。

1 解析模型

本文基于精確子域法對V型內(nèi)置式永磁同步電機的空載氣隙磁場進行解析計算,如圖1所示是V型IPMSM簡化模型的二分之一橫截面示意圖。

圖1 V型內(nèi)置式永磁電機簡化模型Fig.1 Simplified model of V-shaped interior permanent magnet motor

圖1中:δ和γ分別為定子槽寬角和定子槽槽口寬角;Rsl、Rso分別為定子槽底面半徑和定子槽開口處半徑;Rr、Rs是轉(zhuǎn)子外表面半徑和定子內(nèi)表面半徑;w、h分別是永磁體的寬度和高度;α1是兩塊永磁體所占的圓心角;u、v分別是隔磁橋?qū)挾群秃穸?β是隔磁橋?qū)捊?θi為V型永磁體的安裝中心角;θj為定子槽口中心角。

1.1 等效解析電機模型

由于V型IPMSM的永磁體在轉(zhuǎn)子內(nèi)的結(jié)構(gòu)分布對電機進行解析計算時永磁體區(qū)域不能夠直接明確地列寫出磁場偏微分方程,即以V型IPMSM原模型進行解析計算不符合計算條件。為了實現(xiàn)對電機磁場的解析計算,將V型磁體電機模型等效為滿足五個關(guān)鍵準則的等效磁體解析電機模型[21],如圖2所示,對該模型進行解析計算。

圖2 等效解析電機模型橫截面示意圖Fig.2 Cross-section schematic diagram of equivalent analytical motor model

1)將兩塊永磁體兩側(cè)的隔磁橋等效為兩個扇形,扇形沿徑向有一個恒定的寬度角。

2)等效模型中,每個扇形的寬度角等于隔磁橋?qū)挾冉铅?一極下兩塊扇形之間的夾角等于兩塊永磁體所占的圓心角α1。

3)將兩塊永磁體等效為一個環(huán)形,環(huán)形區(qū)域沿周向具有一個恒定的厚度,其兩端的直線分別與兩個扇形的邊界處于一條直線上。

4)等效模型中,環(huán)形區(qū)域的厚度等于原始電機中一塊永磁體的高度h。

5)確定環(huán)形區(qū)域的半徑,使得等效解析電機模型的磁通量等于V型磁體電機模型的磁通量。

在V型磁體電機模型中,考慮隔磁橋邊緣的漏磁影響,一極下兩塊永磁體產(chǎn)生的磁通量為

Φ=BrS1=2xwBrlc。

(1)

其中

(2)

式中:Br為永磁體的剩余磁感應強度;lc為電樞長度;x為漏磁修正系數(shù)。根據(jù)等效前后磁通量不變的原則,可以分別求出等效解析磁體電機模型中環(huán)形區(qū)域的外徑和內(nèi)徑,分別為

(3)

Rsh=Rh-h。

(4)

為了便于解析求解,做出幾個以下的基本假設:在二維的極坐標下進行求解,忽略電機的端部效應;定子、轉(zhuǎn)子鐵心具有無窮大的磁導率;將定子槽結(jié)構(gòu)簡化為如圖2所示的槽型結(jié)構(gòu);永磁體的退磁曲線是線性的;材料的電導率為零。

根據(jù)等效電機的不同結(jié)構(gòu),將等效解析電機模型劃分為5個子域進行解析:定子槽區(qū)域定義為子域1,定子槽槽口區(qū)域為子域2,氣隙區(qū)域為子域3,扇形區(qū)域為子域4,環(huán)形區(qū)域為子域5。每個子域的磁場都可以用拉普拉斯方程或泊松方程進行表述。等效解析電機模型中的扇形部分是切向磁化,環(huán)形部分是徑向磁化。如圖3所示是等效解析電機的磁化方向和子域劃分模型。

圖3 等效解析電機的磁化方式和子域劃分模型Fig.3 Equivalent analysis of magnetization pattern and subdomain division model of the rotor

1.2 定子槽子域通解

定子槽子域1中的矢量磁位可以用拉普拉斯方程表達為如下:

(5)

定子槽子域的邊界條件可表示為

(6)

在滿足邊界條件的情況下,由分離變量法可以求得定子槽子域的矢量磁位通解

cos(En(θ-θj+δ/2))。

(7)

其中:

G1=(Rso/Rsl)En;

(8)

En=nπ/δ。

(9)

1.3 定子槽槽口子域通解

定子槽槽口子域2中的矢量磁位同樣可以用拉普拉斯方程描述為如下:

(10)

其邊界條件可表示為

(11)

在滿足邊界條件的情況下,求得定子槽槽口子域的矢量磁位通解為

(12)

其中

Fu=uπ/γ。

(13)

1.4 氣隙子域通解

氣隙子域3中的矢量磁位同樣可以用拉普拉斯方程描述為如下:

(14)

在滿足邊界條件的情況下,求得氣隙子域的矢量磁位通解為

(15)

1.5 扇形子域通解

扇形子域4中存在磁場激勵,其矢量磁位可以用泊松方程描述為如下:

(16)

式中:μ0是真空磁導率;M4θ是扇形子域磁化強度的切向分量;M4r是扇形子域磁化強度的徑向分量。

第k個扇形部分磁化強度的徑向、切向分量分別為

(17)

(18)

其邊界條件可表示為

(19)

在滿足邊界條件的情況下,求得扇形子域的矢量磁位通解為

(20)

其中:

xn=nπ/β。

(21)

1.6 環(huán)形子域通解

環(huán)形子域5中同樣存在磁場激勵,其矢量磁位可以用泊松方程描述為如下:

(22)

式中:M5θ是環(huán)形子域磁化強度的切向分量;M5r是環(huán)形子域磁化強度的徑向分量。用傅里葉級數(shù)的形式表達第i個環(huán)形部分磁化強度的徑向、切向分量分別為:

(23)

(24)

(25)

(26)

其邊界條件可表示為:

(27)

求得環(huán)形子域的矢量磁位通解為

cos(yu(θ-θi+α/2))。

(28)

其中:

yu=uπ/α;

(29)

(30)

根據(jù)環(huán)形子域在r=Rsh處的鐵磁邊界條件可得

(31)

2 諧波系數(shù)求解

2.1 定子槽槽口與氣隙交界位置

在定子槽槽口子域2與氣隙子域3的交界面處,即在定子內(nèi)表面半徑處,根據(jù)磁場連續(xù)性定理可得磁場強度的切向分量連續(xù),根據(jù)磁矢位連續(xù)性定理可得矢量磁位連續(xù),則子域2和子域3的交界條件

(32)

(33)

由于子域2和子域3的分布區(qū)間不同,需要通過傅里葉變換,使兩者統(tǒng)一到相同的區(qū)間。將定子槽槽口子域2磁場強度的切向分量統(tǒng)一到區(qū)間[0,2π]上,可得方程:

(34)

G3=(Rr/Rs)v。

(35)

由式(33)將氣隙子域3的矢量磁位統(tǒng)一到區(qū)間[θj-γ/2,θj+γ/2]上,可得方程:

(36)

(37)

G2=(Rs/Rso)Fu。

(38)

2.2 氣隙與扇形交界位置

在氣隙子域3與扇形子域4的交界面處,即在轉(zhuǎn)子外表面半徑處,磁場強度的切向分量連續(xù)和矢量磁位同樣連續(xù),則子域3和子域4的交界條件為

(39)

(40)

通過傅里葉變換將扇形子域4的磁場強度切向分量統(tǒng)一到區(qū)間[0,2π]上,可得方程:

(41)

將氣隙子域3的矢量磁位沿扇形子域4進行傅里葉展開,使其統(tǒng)一到區(qū)間[θk-β/2,θk+β/2]上,可得方程:

(42)

(43)

G4=(Rh/Rr)xn。

(44)

2.3 定子槽與定子槽槽口交界位置

在定子槽子域1與定子槽槽口子域2的交界面處,即在半徑r=Rso處,根據(jù)磁場連續(xù)性定理可得磁場強度的切向分量連續(xù),根據(jù)磁矢位連續(xù)性定理可得矢量磁位連續(xù),則子域1和子域2的交界條件為:

(45)

(46)

由于子域1和子域2的分布區(qū)間同樣不同,需要通過傅里葉變換,使其統(tǒng)一到相同的區(qū)間。將定子槽槽口子域2的磁場強度切向分量統(tǒng)一到定子槽子域1的分布區(qū)間上,由式(45)可得方程:

(47)

將定子槽子域1的矢量磁位沿子域2進行傅里葉展開,使其統(tǒng)一到定子槽槽口的分布區(qū)間上,由式(46)可得方程:

(48)

(49)

2.4 扇形與環(huán)形交界位置

在扇形子域4與環(huán)形子域5的交界面處,即在半徑r=Rh處,磁場強度的切向分量連續(xù)和矢量磁位同樣連續(xù),則子域4和子域5的交界條件為

(50)

(51)

通過傅里葉變換將扇形子域4磁場強度的切向分量統(tǒng)一到區(qū)間[θi-α/2,θi+α/2]上,可得方程:

(52)

G5=(Rsh/Rh)yu。

(53)

將環(huán)形子域5的矢量磁位沿扇形子域4進行傅里葉展開,使其統(tǒng)一到扇形區(qū)域的分布區(qū)間上,由式(51)可得方程:

(54)

(55)

將上述的關(guān)系式(34)～式(38)、式(41)～式(44)、式(47)～式(49)和式(52)～式(55)組成一個線性方程組,求解時將線性方程組轉(zhuǎn)化成系數(shù)矩陣和常數(shù)列向量,通過計算矩陣方程可以得到各個子域矢量磁位表達式中未知的諧波系數(shù)。各矢量磁位的諧波系數(shù)分別為:

(56)

(57)

(58)

(59)

(60)

(61)

(62)

(63)

(64)

(65)

(66)

(67)

在解析計算模型中,氣隙子域磁感應強度的徑向分量和切向分量表達式分別為:

(68)

(69)

3 磁場解析計算與有限元驗證

3.1 樣機參數(shù)

為了驗證本文所提出的等效磁體解析計算模型是否能對V型內(nèi)置式永磁電機的空載氣隙磁場進行解析計算,本文針對一臺6極36槽V型內(nèi)置式永磁同步電機樣機分別進行了磁場解析計算和有限元仿真計算,電機的主要尺寸參數(shù)如表1所示。

用基于有限元法的MAXWELL軟件對解析計算結(jié)果進行驗證,同時對在設定半徑下解析計算結(jié)果與仿真計算結(jié)果進行對比,得出二者的百分比誤差,并且預估其計算結(jié)果的可用性。首先建立該樣機模型的模擬二維瞬態(tài)場,設定對樣機的空載磁場進行仿真求解的相應的參數(shù),后通過場計算器求解出該樣機氣隙中心位置處的空載氣隙磁場,即選取半徑r=(Rs+Rr)/2處氣隙磁密的徑向分量和切向分量作為計算參量。

3.2 有限元驗證

由所建立的等效電機模型計算出的磁場分布如圖4所示,據(jù)此可提取徑向和切向氣隙磁密。

圖4 等效分析模型中的磁通密度分布Fig.4 Magnetic flux density in the equivalent analytical model

圖5和圖6分別是電機空載磁場下二分之一圓周范圍內(nèi),氣隙中心位置處的徑向磁感應強度、切向磁感應強度計算結(jié)果對比圖。

圖5 空載徑向磁感應強度對比圖Fig.5 No-load radial magnetic induction intensity comparison chart

圖6 空載切向磁感應強度對比圖Fig.6 No-load tangential magnetic induction intensity comparison chart

由圖5和圖6的波形可以看出,本文提出的解析方法所計算的空載氣隙徑向磁感應強度和切向磁感應強度與有限元計算結(jié)果具有較高的吻合度,證明了該等效磁體的解析計算方法可以用來模擬計算V型內(nèi)置式永磁同步電機的空載氣隙磁場。

圖7是電機空載氣隙徑向磁密的諧波頻譜對比圖,從圖中可以看出,解析計算的諧波幅值與有限元計算結(jié)果較為貼近,其中氣隙徑向磁密基波幅值的計算結(jié)果誤差為0.97%。

4 結(jié) 論

本文提出了V型內(nèi)置式永磁同步電機的五條等效關(guān)鍵準則,用等效磁體解析電機模型代替初始的V型磁體電機模型進行空載氣隙磁場的解析計算。在二維極坐標下,對等效磁體解析模型的定子槽、定子槽槽口、氣隙、扇形和環(huán)形區(qū)域建立磁矢位方程,根據(jù)各子域的邊界條件和各子域之間的交界條件求出矢量磁位的表達式和諧波系數(shù)。

通過與有限元仿真結(jié)果對照表明,本文提出的等效磁體解析模型計算結(jié)果與有限元法空載氣隙磁場計算結(jié)果基本吻合,氣隙徑向磁密基波幅值的計算結(jié)果誤差為0.97%,證明本文所提出的等效磁體解析建模方法可以合理有效地對V型內(nèi)置式永磁同步電機的空載氣隙磁場進行計算,為V型內(nèi)置式永磁同步電機的初期設計和優(yōu)化工作提供了一種更加簡便快捷的方法。