張丹丹
(安徽開放大學安慶分校,安徽 安慶 246001)
在計算機輔助幾何設計(CAGD)中,隨著幾何造型設計的發(fā)展,Bézier曲線、B樣條曲線等傳統(tǒng)曲線得到廣泛應用.Ball曲線[1-3]最早由英國數(shù)學家BALL在CONSURF機身曲面造型中提出.Ball曲線曲面具有 Bézier曲線曲面的一些幾何特性,如凸包性、保形性等.因此在造型設計中,Ball曲線應用廣泛,其中,王國謹與SAID將Ball曲線推廣到高次曲線,將其命名為Wang-Ball曲線[4]與Said-Ball曲線[5]. 鄔弘毅[6]提出了兩種廣義的Ball曲線,為分別介于王國謹、SAID的廣義Ball曲線和Bézier、Said曲線之間,并給出了升階公式和遞推算法.王成偉[7]和嚴蘭蘭[8]對三次Ball曲線進行擴展,通過增加t的次數(shù),引入形狀參數(shù),并證明了該方法的有效性.嚴蘭蘭[9-10]構造了兩種帶一個參數(shù)的曲線,為分別介于四次、五次Wang-Ball和Said-Ball曲線之間,以及四次、五次Said-Ball和Bézier曲線之間的中間曲線.劉華勇[11]和王成偉[12]介紹了帶兩個參數(shù)的四次、五次Ball曲線,曲線的形狀具有更強的表現(xiàn)力.李軍成等[13]討論了三次Ball曲線的擴展,并擴展到了任意的n次Ball曲線.胡國勝等[14]構造了帶參數(shù)的2m+2次Ball曲線,其具有Said-Ball曲線的基本性質,并給出了應用實例.
本文在傳統(tǒng)四次Wang-Ball基函數(shù)的基礎上,將定義區(qū)間由[0,1]擴展到動態(tài)區(qū)間[0,α],通過引入?yún)?shù)α,對曲線的形狀進行調整.
傳統(tǒng)四次Wang-Ball基函數(shù)表示為
(1)
其中,0≤t≤1.
在端點處滿足:
現(xiàn)將式(1)中t的取值區(qū)間[0,1]變?yōu)閯討B(tài)區(qū)間[0,α], 0<α≤ 1,這樣就構造了一組帶參數(shù)的四次Wang-Ball基函數(shù).設新的四次Wang-Ball基函數(shù)為
(B0,4B1,4B2,4B3,4B4,4)=(1tt2t3t4)C,
(2)
其中,0≤t≤ 1, 0<α≤ 1,C為一個待定的4×4矩陣.
對式(2)兩邊求導得到
使構造的新的四次Wang-Ball基函數(shù)與傳統(tǒng)的四次Wang-Ball曲線具有相同的端點性質,即
可得
由基函數(shù)的權性得到
B0,4(t)+B1,4(t)+B2,4(t)+B3,4(t)+B4,4(t)=1.
(3)
則有
由式(3)可得方程組:
由非負性Bi,4(t)≥0 (i=0,1,2,3,4)可得
(4)
對于式(4),令t=αω(0≤ω≤1, 0<α≤1),整理后得到如下定義.
定義1 對于0≤ω≤1, 0<α≤1,稱關于變量ω的函數(shù)
(5)
為帶參數(shù)α的四次Wang-Ball基函數(shù),簡稱為四次α-Wang-Ball基函數(shù).
α取不同參數(shù)值0.3、0.5、0.8、1.0時的α-Wang-Ball基函數(shù)圖像如圖1所示.
(a)α=0.3
該基函數(shù)具有以下性質:
(ii)非負性:Bi,4(ω)≥0,i=0,1,2,3,4.
(iii)端點性質:
(6)
(iv)對稱性:Bi,4(ω)=B4-i,4(1-ω),i=0,1,2,3,4.
(v)單調性:當變量ω(0≤ω≤1)固定時,對α求導,可得B0,4(ω)與B4,4(ω)是關于α的減函數(shù),B1,4(ω)、B2,4(ω)與B3,4(ω)是關于α的增函數(shù).
證明 (i)由式(5)可得
(ii)當0≤ω≤1, 0<α≤1時,有
B0,4(ω)≥0,B1,4(ω)≥0,B2,4(ω)≥0,B3,4(ω)≥0,B4,4(ω)≥0.
(iii)對變量ω進行求導,其一階導數(shù)為
由此,可得端點性質的(6)式.
(iv)B0,4(ω)=B4,4(1-ω),B1,4=B3,4(1-ω),因此,Bi,4(ω)=B4-i,4(1-ω),i=0,1,2,3,4.
(v)變量ω固定,對α進行求導,得到
因此,B0,4(ω)與B4,4(ω)是關于α的減函數(shù),B1,4(ω)、B2,4(ω)與B3,4(ω)是關于α的增函數(shù).
定義2 當0≤ω≤1, 0<α≤1時,對于給定的控制定點pi∈Rd(i=0,1,2,3,4,d=2,3),曲線
稱為四次α-Wang-Ball曲線.其中Bi,4(ω)為式(4)中定義的基函數(shù).
該曲線有以下性質:
(i)端點性質:S(0)=p0,S(1)=p4,S′(0)=2α(p1-p0),S′(1)=2α(p4-p3).
(iii)退化性:當ω=1時,該曲線退化為傳統(tǒng)四次Wang-Ball曲線.
(iv)形狀可調性:當形狀參數(shù)α取不同值時,四次α-Wang-Ball曲線在控制頂點不變的情況下能夠對形狀進行靈活調整.
圖2 給出了α取不同值時的四次α-Wang-Ball曲線,α=0.5時為虛線,α=0.8時為實線,α=1時為點線.
(a)開曲線
設兩條四次α-Wang-Ball曲線分別為
其中,p0、p1、p2、p3、p4為曲線S1(ω)的控制頂點,r0、r1、r2、r3、r4為曲線S2(ω)的控制頂點,曲線S1(ω)、S2(ω)的形狀參數(shù)分別為α1、α2.
定理1 若0≤ω≤1, 0<α1≤1, 0<α2≤1,兩條四次α-Wang-Ball曲線滿足:
(7)
則兩條曲線G1連續(xù).
證明 由式(5)可得
若兩曲線G1連續(xù),則
定理2 若0≤ω≤1, 0<α1≤1, 0<α2≤1,兩條四次α-Wang-Ball曲線滿足:
(8)
則兩條曲線滿足G2連續(xù).
證明S′1(1)=2α1(p4-p3),S′2(0)=2α2(r1-r0),
S″1(1)=2(-4+5α1)p4-12α1p3+4(1+α1)p2+2(2-α1)p0,
S″2(0)=2(-4+5α2)r0-12α2r1+4(1+α2)r2+2(2-α2)r4.
若兩曲線滿足G2連續(xù),則S2(0)=S1(1),S′2(0)=δS′1(1),S″2(0)=δ2S″1(1)+τS′1(1).
2(-4+5α2)r0-12α2r1+4(1+α2)r2+2(2-α2)r4=
δ2(2(-4+5α1)p4-12α1p3+4(1+α1)p2+
2(2-α1)p0)+2τα1(p4-p3).
當滿足式(8)時,兩條曲線G2連續(xù).
圖3 兩曲線G1連續(xù)
圖4 兩曲線G2連續(xù)
為了構造形狀可改變的Wang-Ball曲線,將四次Wang-Ball基函數(shù)定義區(qū)間由[0,1]擴展到動態(tài)區(qū)間[0,α],構造新的帶參數(shù)的Wang-Ball曲線,通過改變參數(shù)α值可對曲線形狀進行改變.下一步工作可以將該曲線推廣到曲面形式,探索更高級的Ball擴展形式.