劉偉佳,趙旭奇

(吉林師范大學(xué)數(shù)學(xué)與計算機學(xué)院,吉林 四平136000)

0 引言

本文討論一類非線性常微分方程的初值問題:

(1)

從物理學(xué)上講,這個方程描述了注入等離子體管的電子束中電子所走路徑的粗略模型[1].研究者用很多方法研究了上述方程的解析近似解,例如,同倫攝動法[2]、諧波平衡法[3-5]、Linstedt-Poincaré方法[6]、牛頓諧波平衡法[7]、橢圓平衡法[8]等.GADELLA和LARA[9]證明了上述系統(tǒng)不可能存在周期解.盡管在已有的工作中[7,9]使用第一積分方法構(gòu)造了精確解,然而精確解依賴于正態(tài)分布積分函數(shù)erf的逆函數(shù),這個函數(shù)不是顯式形式,不容易被應(yīng)用.

諧波平衡法的突出特點是不要求所求解的非線性振動問題的非線性項是小量,但難以構(gòu)造更高精度的近似解.根據(jù)上述問題,WU等[10]基于預(yù)估-校正的思想,結(jié)合牛頓法對諧波平衡法進行改進.本文用預(yù)估-校正諧波平衡法求解方程(1),僅應(yīng)用一次預(yù)估-校正迭代便可得到顯式的、簡潔的、高精度的近似周期與周期解.

1 求解過程

上述非線性系統(tǒng)(1)的精確周期和相應(yīng)的周期解為

(2)

(3)

(4)

基于新的變量τ=ωt,方程(4)可以寫成:

(5)

其中,Ω=ω2,根據(jù)單項諧波平衡近似,設(shè)初始近似為

u0(τ)=Acosτ.

(6)

將式(6)代入方程(5),將所得結(jié)果展成Fourier級數(shù),并設(shè)cosτ的系數(shù)為零,即可得到Ω關(guān)于A的表達式:

(7)

因此,非線性振動的一階近似值為

(8)

(9)

根據(jù)前述的推導(dǎo),周期解和頻率的平方值可表示為

u=u0+Δu10, Ω=Ω0+ΔΩ10.

(10)

將式(10)代入方程(5),并忽略Δu10和ΔΩ10的二次及更高次項,得到

(11)

上式中的Δu10是關(guān)于變量τ的周期為2π的周期函數(shù),Δu10和ΔΩ10都為待求量.式(11)的解析解可以通過將Δu10(τ)設(shè)成滿足方程(11)的初始條件的下述形式推導(dǎo)出.

Δu10(τ)=x10(cosτ-cos3τ).

(12)

將式(6)和式(12)代入式(11),將結(jié)果展成三角級數(shù),并分別設(shè)cosτ和cos3τ的系數(shù)為零,解出未知量x10和ΔΩ10:

因此,非線性振動的預(yù)估近似周期和周期解可以寫成:

(13)

(14)

基于上述預(yù)測,方程組(4)的周期解和頻率進一步表示為

u=up+Δu20, Ω=Ωp+ΔΩ20.

(15)

將式(15)代入式(5)中,并關(guān)于修正項Δu20和ΔΩ20在u=u0,Ω=Ω0處線性化,得到方程組:

(16)

為了改進近似值的精確性,Δu20取滿足方程組(16)的初值條件的形式:

Δu20=y1(cosτ-cos3τ)+y2(cos3τ-cos5τ)+y3(cos5τ-cos7τ).

(17)

將式(7)(8)(9)(13)(14)(17)代入方程組(16),結(jié)果展成三角級數(shù)后分別設(shè)cosτ, cos3τ, cos5τ,cos7τ的系數(shù)為零,即可解得未知量y1,y2,y3和 ΔΩ20:

最后,得到校正后的周期和周期解的表達式:

(18)

(19)

2 數(shù)值結(jié)果及討論

表1所示為近似周期T0,Tp,Tc和精確周期Te的比值,這個比值與振幅A無關(guān).可以清楚地看出,Tc給出了與精確值逼近得很好的近似值.

表1 振子中近似值和精確值的比值

對于A=1,由表達式(3)所表述的數(shù)值解ue(t),分別由式(9)(14)(19)求得的近似周期解u0(t),up(t),uc(t),以及上述周期解的絕對誤差均如圖1和圖2所示.由圖中曲線可知,校正后的近似值和數(shù)值解逼近得很好.

圖1 A=1情況下解析近似周期解和數(shù)值解的對比

圖2 A=1情況下解析近似周期解和數(shù)值解絕對誤差的對比

3 結(jié)語

本文提出了一個構(gòu)造非線性偽振子單自由度系統(tǒng)解析近似解的迭代法,該方法由預(yù)估-校正技術(shù)和諧波平衡法組成.利用預(yù)估-校正步驟,對控制方程的線性化只需要做一次.通過這個方法可以得到簡單的代數(shù)方程組,而不是沒有解析解的非線性方程組,另外也不需要系統(tǒng)中存在小參數(shù).從結(jié)論可以看出,僅應(yīng)用一步預(yù)估-校正步驟即可保證在相當(dāng)大的振幅范圍內(nèi)(包含無限振幅的極限情況)得到系統(tǒng)的、顯式的、簡潔的,同時也很精確的解析逼近解.上述結(jié)論表明了本文方法用于求解非線性偽振子的有效性.