黃 健

數(shù)學(xué)文化包括數(shù)學(xué)史、數(shù)學(xué)美、數(shù)學(xué)與生活的交叉應(yīng)用，也包括數(shù)學(xué)思想、精神、方法、數(shù)學(xué)觀點(diǎn)、語言等。［1］美國(guó)哲學(xué)家保羅·卡盧斯說過：“沒有哪門學(xué)科能比數(shù)學(xué)更為清晰地闡明自然世界的和諧性?！弊⒅?cái)?shù)學(xué)文化滲透的數(shù)學(xué)教育，其價(jià)值在于通過引導(dǎo)學(xué)生感悟數(shù)學(xué)的科學(xué)價(jià)值、應(yīng)用價(jià)值、文化價(jià)值和審美價(jià)值，更深刻地把握數(shù)學(xué)本質(zhì)，激發(fā)學(xué)習(xí)潛能，從而產(chǎn)生服務(wù)于終身發(fā)展的創(chuàng)造和再創(chuàng)造能力。

如何在教研中有效滲透數(shù)學(xué)文化，提升區(qū)域?qū)W生的學(xué)科核心素養(yǎng)，是每一位教研工作者一直在思考的問題。很多時(shí)候，教師的教學(xué)理念與視角具有一定的局限性，缺少在整體視野下的宏觀設(shè)計(jì)，在日常教研活動(dòng)中，聽到最多的討論是“這個(gè)問題是什么”“用什么方法解決”，卻很少有談?wù)摗斑@個(gè)問題體現(xiàn)了怎樣的數(shù)學(xué)精神與數(shù)學(xué)思維”“有什么數(shù)學(xué)文化背景”“具有什么樣的科學(xué)應(yīng)用價(jià)值”，忽視了問題與其他問題之間邏輯的連貫性和思維的一致性。在教研工作中提倡數(shù)學(xué)文化教育，能夠更好地完善學(xué)生人格、培養(yǎng)理性精神，這也是新課標(biāo)背景下教研改革的一大方向。本文重點(diǎn)研究在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中如何進(jìn)行數(shù)學(xué)文化滲透，發(fā)展理性思維。

一、數(shù)學(xué)文化教育的實(shí)施原則

將數(shù)學(xué)文化引入課堂，旨在引導(dǎo)學(xué)生從多視角、多層次、多維度去發(fā)現(xiàn)問題、提出問題，并能用數(shù)學(xué)的思維去分析問題和解決問題。滲透數(shù)學(xué)文化的教學(xué)應(yīng)該遵循兩個(gè)原則：一是全方位育人，數(shù)學(xué)文化始終滲透在學(xué)生學(xué)習(xí)生活的方方面面；二是全過程育人，要將數(shù)學(xué)文化的傳播貫穿于“發(fā)現(xiàn)、分析、形成、完善、再創(chuàng)造”的課堂教學(xué)全過程。

從數(shù)學(xué)文化在高考題中的呈現(xiàn)背景及價(jià)值取向分析，高考試題常以傳統(tǒng)文化和數(shù)學(xué)史為背景，滲透審美價(jià)值；以數(shù)學(xué)著作中的經(jīng)典題目為載體，體現(xiàn)數(shù)學(xué)應(yīng)用價(jià)值；以國(guó)內(nèi)外數(shù)學(xué)家的優(yōu)秀成果為背景，體現(xiàn)數(shù)學(xué)人文價(jià)值；以實(shí)際生產(chǎn)生活的內(nèi)容為背景，體現(xiàn)數(shù)學(xué)文化價(jià)值；以跨學(xué)科知識(shí)為背景，體現(xiàn)數(shù)學(xué)科學(xué)價(jià)值。這些試題為學(xué)生提供了情境素材，引導(dǎo)學(xué)生了解數(shù)學(xué)的發(fā)展歷程，體會(huì)數(shù)學(xué)學(xué)科在社會(huì)發(fā)展、人類進(jìn)步中作出的重大貢獻(xiàn)，感悟?qū)W科價(jià)值，認(rèn)識(shí)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的重要性，提升學(xué)生的科學(xué)精神、應(yīng)用意識(shí)和人文素養(yǎng)。

在教學(xué)活動(dòng)中，從教學(xué)設(shè)計(jì)開始，教師就要注意數(shù)學(xué)的科學(xué)性與人文性、藝術(shù)性的和諧統(tǒng)一。數(shù)學(xué)文化的滲透在課堂教學(xué)中應(yīng)是連續(xù)的。數(shù)學(xué)符號(hào)的引入、數(shù)學(xué)語言的規(guī)范、圖形標(biāo)準(zhǔn)的設(shè)置、數(shù)學(xué)模型的建構(gòu)，無不體現(xiàn)了數(shù)學(xué)文化的傳播與傳承。教師應(yīng)善于在概念講解、認(rèn)知形成過程中引入生活化背景，幫助學(xué)生認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)元素的積累、完善過程，自然而然地理解、形成認(rèn)識(shí)概念。在問題難點(diǎn)的突破環(huán)節(jié)，教師應(yīng)抓住主要核心點(diǎn)，把難點(diǎn)通過生活化、通俗化的語言，轉(zhuǎn)化為學(xué)生通俗易懂的內(nèi)容，通過科學(xué)的指導(dǎo)和示范，幫助學(xué)生自主完成建構(gòu)，同時(shí)還要幫助學(xué)生積累處理同類問題的相關(guān)經(jīng)驗(yàn)，促使其形成數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)。總之，教師要處理好文化與數(shù)學(xué)教學(xué)的關(guān)系，透過數(shù)學(xué)課程豐富的文化內(nèi)涵，改變單調(diào)、枯燥的教學(xué)模式，激發(fā)學(xué)生科學(xué)理性的探究精神，體現(xiàn)數(shù)學(xué)課堂的本真。

二、數(shù)學(xué)文化教育的實(shí)施路徑

滲透數(shù)學(xué)文化的數(shù)學(xué)課堂教學(xué)模式能為培養(yǎng)通識(shí)人才提供必要的保障，但數(shù)學(xué)文化所涉內(nèi)容寬泛，如何在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中將其有效滲透，發(fā)揮其應(yīng)有的價(jià)值？筆者認(rèn)為，數(shù)學(xué)文化教育的實(shí)施路徑可以從以下三個(gè)方面著手。

1.聚焦文化素材，強(qiáng)化育人功能

2019 年版高中數(shù)學(xué)新教材新增了《閱讀與思考》《探究與發(fā)現(xiàn)》《文獻(xiàn)閱讀與數(shù)學(xué)寫作》等欄目，為師生提供了大量的文化素材。教師可以通過精選素材充分發(fā)揮教材功效，讓學(xué)生感受知識(shí)的直觀性、趣味性，激發(fā)其學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，進(jìn)而自然而然地投入到自主探索、合作交流之中。豐富的文化素材，能夠從不同角度給予學(xué)生自由選擇和探索的空間，讓學(xué)生成為自我管理、自我教育、自我發(fā)展的主體。有趣的問題情境，能夠激起學(xué)生思維認(rèn)知的沖突，讓學(xué)生在享受問題解決的過程和新認(rèn)知產(chǎn)生的過程中潛移默化地提升理性思維，強(qiáng)化數(shù)學(xué)能力。優(yōu)秀的數(shù)學(xué)成果，能夠讓學(xué)生充分感受數(shù)學(xué)的和諧統(tǒng)一之美，在感嘆前人偉大成就的基礎(chǔ)上產(chǎn)生進(jìn)一步研究發(fā)展的沖勁，激活內(nèi)心的創(chuàng)新意識(shí)，實(shí)現(xiàn)應(yīng)有的人生價(jià)值。

2.培育文化思想，發(fā)展理性精神

作為教師，我們應(yīng)該認(rèn)識(shí)到，每一個(gè)數(shù)學(xué)概念都不是獨(dú)立的，每一個(gè)數(shù)學(xué)公式都是經(jīng)過打磨、濃縮的精華，每一次解題過程的思想碰撞都是對(duì)認(rèn)知的逐步完善，每一處細(xì)節(jié)的觀察、分析、理解和感受都有可能是學(xué)生思維實(shí)現(xiàn)質(zhì)的飛躍的開始。因此，教師在課堂教學(xué)中要精心設(shè)計(jì)、有效引導(dǎo)，不斷激發(fā)學(xué)生的探究欲，深刻挖掘課堂活動(dòng)中蘊(yùn)涵的數(shù)學(xué)文化，精心梳理數(shù)學(xué)文化中體現(xiàn)的數(shù)學(xué)思想。教師應(yīng)教會(huì)學(xué)生“怎樣思考”“怎樣自然地想到”，讓學(xué)生經(jīng)歷探究、發(fā)現(xiàn)、質(zhì)疑的過程，體驗(yàn)、揭示知識(shí)發(fā)生、發(fā)展和形成的過程，并通過聯(lián)想、遷移幫助學(xué)生自主建構(gòu)認(rèn)知體系，促進(jìn)學(xué)生思維能力的發(fā)展，全方位激活數(shù)學(xué)思想對(duì)認(rèn)知和情感的雙效功能，培養(yǎng)理性精神。

3.把握數(shù)學(xué)靈魂，產(chǎn)生創(chuàng)造價(jià)值

數(shù)學(xué)思想是數(shù)學(xué)的靈魂，數(shù)學(xué)思維過程是促進(jìn)學(xué)生思維能力和數(shù)學(xué)思想方法的形成過程，而數(shù)學(xué)的思維訓(xùn)練不僅是邏輯思維訓(xùn)練，更是“數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)”意識(shí)的培養(yǎng)、應(yīng)用數(shù)學(xué)解決實(shí)際問題意識(shí)的培養(yǎng)。通過數(shù)學(xué)文化在課堂教學(xué)中潛移默化的滲透，學(xué)生能夠從復(fù)雜的事物結(jié)構(gòu)中抽象出一般的數(shù)學(xué)模型，站在更高的層次去進(jìn)行抽象與概括，甚至能夠站在另類的角度觀察和認(rèn)識(shí)世界，提出具有創(chuàng)造性和經(jīng)得起實(shí)踐檢驗(yàn)的新觀點(diǎn)、新思路和新方法，發(fā)現(xiàn)世人尚未發(fā)現(xiàn)的事物規(guī)律，這就是一種創(chuàng)造力。近年來，國(guó)家對(duì)拔尖創(chuàng)新人才的需求逐步加大，教師要通過滲透好數(shù)學(xué)文化，把握好數(shù)學(xué)靈魂，創(chuàng)造鼓勵(lì)探索的課堂氣氛，著力培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)與創(chuàng)新能力。

三、數(shù)學(xué)文化教育的實(shí)踐案例

數(shù)學(xué)文化教育如何落地，如何能更好地將數(shù)學(xué)文化滲透在日常教學(xué)中？新授課、專題復(fù)習(xí)課是高中數(shù)學(xué)課堂中的兩種主要形式。一般而言，新授課指向的數(shù)學(xué)文化更為廣泛，好的設(shè)計(jì)常能將數(shù)學(xué)史、數(shù)學(xué)美、人文地理等融入課堂，凸顯數(shù)學(xué)課堂的感性美；基于數(shù)學(xué)文化的專題復(fù)習(xí)課應(yīng)指向數(shù)學(xué)的理性精神［2］，在課堂體驗(yàn)過程中突出思維活動(dòng)，重視數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)精神、數(shù)學(xué)方法及數(shù)學(xué)觀點(diǎn)的形成與發(fā)展。下面以筆者開設(shè)的一節(jié)示范課為例談?wù)剬?duì)滲透數(shù)學(xué)文化課堂教學(xué)的實(shí)踐與思考。

課例：新授課“等差數(shù)列的前n項(xiàng)和”

本節(jié)課的難點(diǎn)是等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)過程和數(shù)學(xué)文化、數(shù)學(xué)方法的滲透，所以筆者前期查閱了諸多資料，如：高斯的首末求和法、印度泰姬陵的寶石背景等，同時(shí)考慮如何將奇偶分析法、倒序相加法、分組求和法、數(shù)形結(jié)合思想、類比猜想手段等巧妙地結(jié)合起來，從而拓展學(xué)生思路，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

1.引入人文情境，提升數(shù)學(xué)審美

世界聞名的印度泰姬陵，有“印度明珠”的美譽(yù)，建筑群總體布局和諧對(duì)稱，陵墓是唯一的構(gòu)圖中心。傳說陵寢中有一個(gè)三角形圖案，以相同大小的圓寶石鑲飾而成，共有100 層，奢靡之程度，可見一斑。你知道這個(gè)圖案一共花了多少顆寶石嗎？

【設(shè)計(jì)意圖】數(shù)學(xué)審美、數(shù)學(xué)應(yīng)用是本課的活動(dòng)特色。本情境既激起了學(xué)生對(duì)新知的探索欲，也讓學(xué)生感受古人的審美能力，感悟數(shù)學(xué)的對(duì)稱美。圖1 則是幫助學(xué)生將問題模型從復(fù)雜情境中剝離，指向核心問題“1+2+3+…+100=？”

2.融入數(shù)學(xué)史，體驗(yàn)數(shù)學(xué)家歷程

師：著名數(shù)學(xué)家高斯小時(shí)候就會(huì)算“1+2+3+…+100”，聞名于世，那么小高斯是如何快速地得出了答案的呢？

問題1：高斯采用的是什么方法？

問題2：為什么要首尾配對(duì)？“1+2+3+…+100”與“（1+100）+（2+99）+…+（50+51）”的區(qū)別是什么？

生：前者是求100 個(gè)不同數(shù)的和，后者是求50個(gè)相同數(shù)的和。

師：將不同數(shù)的求和化歸為相同數(shù)的求和是推導(dǎo)等差數(shù)列求和公式的精髓。

【設(shè)計(jì)意圖】融入數(shù)學(xué)史的教學(xué)旨在讓學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)家的智慧，感受其思維的巧妙。這個(gè)過程中，數(shù)學(xué)史是明線，暗線是感受數(shù)學(xué)的對(duì)稱美與和諧美，逐步發(fā)展學(xué)生的理性思維。在此過程中也讓學(xué)生初步感受了等差數(shù)列的重要性質(zhì)：若m+n=p+q（m，n，p，q∈N*），則am+an=ap+aq，加深對(duì)等差數(shù)列性質(zhì)的認(rèn)識(shí)。

3.引導(dǎo)思維拓展，滲透數(shù)學(xué)文化

問題3：從第1 層到99 層一共有多少顆寶石，即求“1+2+3+…+99=？”，高斯的辦法還行嗎？如何改進(jìn)，才能解決配不上對(duì)的問題？

從而引發(fā)如下思考。

問題4：從第1層到n層共有多少顆寶石？

法1：當(dāng)n為 偶 數(shù) 時(shí)，1+2+3+…+n=；當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，記Sn=1+2+…+n=0+1+2+…+n=。

受水區(qū)東部平原超采區(qū)適度開采利用地下咸水，在降低咸水層靜水位、減少農(nóng)田耕作層含鹽量的同時(shí)，也相應(yīng)減少咸水層和淡水層水位差，減緩咸水層向淡水層的越流補(bǔ)給速度，使咸水層不至于擴(kuò)散。

法2：當(dāng)n為 偶 數(shù) 時(shí)，1+2+3+…+n=。當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，記Sn=1+2+…+n，Sn=。

師：上面的兩種方法可以叫什么法？

生：奇偶分析法。

【設(shè)計(jì)意圖】上述探究旨在引入奇偶分析的數(shù)學(xué)思想方法，從貼近學(xué)生的一般思維高度出發(fā)，喚醒學(xué)生內(nèi)心潛藏的創(chuàng)造力、思考力和學(xué)習(xí)力，也為后續(xù)課堂進(jìn)一步優(yōu)化方法做鋪墊。

4.強(qiáng)化數(shù)形意識(shí)，感受和諧統(tǒng)一

問題5：是否一定要分類討論呢？怎樣避開分類討論，又能達(dá)到“配對(duì)”，從而將“不同數(shù)的求和”化歸為“相同數(shù)的求和”呢？

師：假如再給你同樣多的珠寶，你能設(shè)計(jì)出一個(gè)什么樣的圖案呢？

生：把“全等三角形”倒置（如圖1），與原圖構(gòu)成平行四邊形。平行四邊形中的每行寶石的個(gè)數(shù)均為n+1個(gè)，共n行。從而有如下思路。

法3：令Sn=1+2+…+n，又Sn=n+（n-1）+…+1，故，從而。

（圖1）

師：這種方法可以叫什么法呢？

生：倒序相加法。

練一練：某倉庫里整齊地堆放著一堆鋼管，最上面一層放了4 根，下面每一層都比上一層多1 根，最下面的一層有9 根。問：這堆鋼管一共有多少根？

問題6：一般的等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和公式是什么？請(qǐng)嘗試猜想和證明。

倒序相加法：

Sn=a1+a2+…+an，（1）

Sn=an+an-1+…+a1，（2）

因 為a1+an=a2+an-1=a3+an-2=…=an+a1，所 以（1）+（2）可得2Sn=n（a1+an），即。

數(shù)形結(jié)合法：受到上述練一練中的問題啟發(fā)，考慮將兩個(gè)全等的梯形拼接成平行四邊形，則。

【設(shè)計(jì)意圖】本過程再次回到問題情境，引導(dǎo)學(xué)生用“拼圖”的思想解決“配對(duì)”的問題，從數(shù)與形兩個(gè)角度發(fā)現(xiàn)、完善、創(chuàng)造出倒序相加法，體會(huì)數(shù)與形的美妙。設(shè)置“練一練”則是為后續(xù)推導(dǎo)一般結(jié)論做準(zhǔn)備，揭示了公式的本質(zhì)，也為公式的類比創(chuàng)造了條件。

四、數(shù)學(xué)文化教育的實(shí)踐感悟

立德樹人，文化育人，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)是新一輪課程改革賦予我們的教學(xué)使命。將數(shù)學(xué)文化進(jìn)一步融入課堂、融入課外活動(dòng)、融入課余生活是時(shí)代發(fā)展的新要求。作為一線教師，要體會(huì)數(shù)學(xué)文化在育人過程中的重要作用，要重視數(shù)學(xué)文化的傳承與滲透。

首先，教師需要提高對(duì)數(shù)學(xué)文化的理解水平，不能簡(jiǎn)單地認(rèn)為數(shù)學(xué)文化就是數(shù)學(xué)情境或數(shù)學(xué)史，也不能認(rèn)為數(shù)學(xué)文化可以簡(jiǎn)單地通過教材及課標(biāo)中的相關(guān)閱讀案例來滲透。數(shù)學(xué)文化教育不僅是教學(xué)內(nèi)容的傳授，更是一種精神的傳承。

其次，教師要善于挖掘數(shù)學(xué)史料，幫助學(xué)生加深對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的理解，新授課切不可上成“一個(gè)概念，兩個(gè)公式，三個(gè)注意點(diǎn)”的機(jī)械模式，要通過滲透數(shù)學(xué)文化，讓數(shù)學(xué)知識(shí)“自然化”，使學(xué)生理解概念的由來；讓學(xué)法“多樣化”，使學(xué)生多角度感受數(shù)學(xué)的和諧統(tǒng)一。

最后，教師教學(xué)中要有意識(shí)地培養(yǎng)學(xué)生多角度、多維度去發(fā)現(xiàn)問題、提出問題，引導(dǎo)學(xué)生“用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界”“用數(shù)學(xué)的思維思考世界”“用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)世界”，通過不斷地設(shè)問“是什么？解決什么？關(guān)鍵在哪？怎樣思考？為何這樣？能否拓展？”等，努力追求數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值和創(chuàng)造價(jià)值，促進(jìn)學(xué)生關(guān)鍵能力的提升，實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的提升。