朱江輝,林華剛,張雪莉,常曉通

(1. 西北工業(yè)大學 自動化學院,西安 710072;2. 中國飛行試驗研究院,西安 710089;3. 西北工業(yè)大學 力學與土木建筑學院,西安 710072)

功能梯度材料(FGMs)是一種專門為極限環(huán)境下工作而設計,具有理想性能的復合材料,因此廣泛地應用在航空航天領域。FGMs的優(yōu)點是它們可以在高熱梯度環(huán)境中生存,同時能保持結構完整性。Jha[1]指出,用于特定應用的FGMs材料必須同時滿足抗熱載荷和機械載荷的能力。

很多學者對FGMs板的熱彈性、靜態(tài)和動態(tài)特性進行了研究。Loy等[2]利用3階剪切變形板理論研究了FGMs殼、圓板在熱、機械載荷耦合作用下的靜、動力學響應。Woo等[3]研究了FGMs板殼在機械載荷和溫度場作用下的大撓度問題,結果表明,熱-力耦合效應是決定系統(tǒng)響應的主要因素。Ng等[4]選取了兩個截斷模態(tài)來研究FGMs板在平面內和周期激勵下的穩(wěn)定性,發(fā)現(xiàn)材料組成可以顯著改變穩(wěn)定區(qū)域的大小和范圍。Javaheri等[5]在熱場中討論了FGMs板在面內載荷作用下的屈曲問題,給出了FGMs板的屈曲載荷和臨界溫度。夏賢坤等[6]對人環(huán)境中功能梯度材料剪切板屈曲后的自由振動進行了分析,討論了材料組分指數(shù)、溫度場等參數(shù)變化所帶來的影響。燕秀發(fā)等[7]采用了半解析數(shù)值方法對線性梯度和指數(shù)梯度功能材料板分別受恒定位移、均勻拉伸載荷和彎曲載荷作用進行了分析。吳曉等[8]討論分析了中性面位置、梯度指數(shù)、溫度等因素對功能梯度材料圓板非線性振動及屈曲的影響。黃小林等[9]研究了軸向運動功能梯度材料板的自由振動與屈曲特性。

Hao等[10]研究了功能梯度板非線性動力響應,重點研究了橫向荷載和面內激勵作用下平板的1∶1內共振和參數(shù)共振。Kazemirad等[11]研究了軸向彎曲運動梁的熱-力學非線性動力響應,特別考慮了3∶1內共振的特性。Yang等[12]研究了縱向循環(huán)載荷作用下不同邊界的FGMs圓柱板的熱場參數(shù)激勵問題。Hamed[13]利用頻率響應方程、相平面技術和Lyapunov方法研究了FGMs平板在混合激勵下的非線性振蕩和混沌動力學,分析了系統(tǒng)解的穩(wěn)定性。郝育新等[14]研究了兩對邊簡支另兩對邊自由的功能梯度板材料的周期與混沌運動。田建輝等[15]采用混合數(shù)值方法分析了功能梯度材料板中瞬態(tài)熱響應問題。針對外載荷和溫度載荷同時作用下,FGMs結構非線性主共振的動力學特性研究較少。

本文針對FGMs板非線性振動進行了研究,首先建立系統(tǒng)的非線性動力學模型,利用伽遼金方法將偏微分方程截斷為常微分方程;采用多尺度法得到了系統(tǒng)的近似解析解和幅頻響應;然后,研究了FGMs板在不同溫度場下固有頻率的變化及熱屈曲問題,討論了不同參數(shù)對FGMs板幅頻響應的影響,當激勵頻率接近固有頻率時系統(tǒng)的幅值急劇增大,系統(tǒng)呈現(xiàn)出硬特性,且存在多值和跳躍現(xiàn)象。通過數(shù)值解與解析解的比較,驗證了分析的有效性。

1 理論分析

1.1 功能梯度材料

假設由陶瓷和金屬材料組成的FGMs板,示意圖如圖1所示,在熱環(huán)境下受到均勻分布的橫向激勵作用。板的寬度、長度和厚度分別為a,b,和h,陶瓷和金屬的體積分數(shù)沿厚度方向分布為

圖1 功能梯度板示意圖Fig.1 Schematic diagram of a functional gradient plate

(1)

FGMs通過逐漸地改變材料成分的體積百分比含量而不使其在界面上產生突變,由于這種特殊的微觀組織特征,從而使它的物理性能可以從低溫側的金屬到高溫側的陶瓷進行平滑而連續(xù)的變化,可在極高溫度梯度下工作。冪率公式用來計算FGMs的有效參數(shù)P(z,T)為

(2)

式中:PU,PL分別為FGMs板上表面和下表面的有效參數(shù)。FGMs有效材料屬性:彈性模量E,泊松比ν,密度ρ和熱膨脹系數(shù)α可以表示為溫度的函數(shù),即

P=P0(P-1T-1+1+P1T+P2T2+P3T3)

(3)

式中:T=T0+ΔT(z), ΔT(z)為厚度方向的溫度增量;P0,P-1,P1,P2,P3是溫度T(K)的系數(shù)。

E,ρ,α和ν可以進一步表示為:

(4)

1.2 運動微分方程

FGMs板的位移場可以用Reddy的3階剪切變形理論來表示,即

(5)

根據(jù)Von-Karman理論,非線性應變-位移關系為

(6)

將式(5)代入式(6),可以得到

(7)

其中:

當溫度升高ΔT(z),FGMs板在熱載荷作用下會產生熱應變,則

(8)

根據(jù)胡克定律,考慮到溫度的影響,FGMs的應力-應變關系最終可以表示為:

(9)

其中:

根據(jù)哈密頓原理,可以建立運動方程為

(10)

其中,應變能的變化δU可以表示為

τyzδγyz+τzxδγzx)dzdxdy=

(11)

板的內力可表示為:

(12)

(13)

板的面內彎矩為:

(14)

(15)

(16)

外荷載的虛功為

(17)

將式(11)、式(16)和式(17)代入式(10),可以得到:

(18c)

(18d)

(18e)

四邊簡支壁板的位移函數(shù)可以表示為:

(19)

由于面內運動和旋轉的慣量與橫向運動的慣量相比很小,可忽略不計,因此平面內運動和旋轉的位移可以用橫向位移來表示。uij,vij,φxij和φyij可以通過式(18a)～(18e)由wij表達。將結果代入式(18c),得到FGMs板的控制方程為

ξ3w3(t)=k0p0cosωt

(20)

式中:Pz=p0cosωt,p0為外載荷的幅值;ω0為系統(tǒng)的固有頻率;ξ1,ξ2和ξ3分別為系統(tǒng)的非線性系數(shù)。

1.3 熱載荷

假定FGMs板在一個溫度恒定的熱環(huán)境中,溫度只沿厚度方向變化。這是一維熱傳導問題,沿厚度方向的熱傳導方程為

(21)

熱力學邊界條件為

(22)

式中:ΔTU和ΔTL分別為上層和下層變化的溫度。

式(21)的解為

T(z)=T0+ΔT(z)

(23)

對于 FGMs 板,則有

(24)

2 主共振分析

(25)

其中:

對于主共振問題,引入小參數(shù)ε,令η1=2με2,η2=α2ε,η3=α3ε2,k=Kε2。式(25)可以改寫為

(26)

采用多尺度法求解式(26),得到2階近似解。引入調諧參數(shù)σ,Ω=1+ε2σ。式(26)的近似解為

(27)

將式(27)代入式(26),可得:

(28)

式(28)中第一個方程的解為

(29)

式中cc為共軛項。將式(29)代入式(28)中第二個式子,則

(30)

D1A=0 orA=A(T2)

(31)

則式(30)的解為

(32)

將式(32)代入式(28)中的第三個式子,有

eiT0+cc+NST

(33)

NST包含e±3iT0的比例項,消除久期項,則

(34)

式(31)可以表示為復合函數(shù)的形式,則

(35)

將式(35)代入式(34),將實部與虛部分離,則:

(36)

令(σT2-β)=γ,對應于系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)運動,α′=0,γ′=0,則:

(37)

消除γ,可以得到系統(tǒng)頻率響應方程為

(38)

3 解的穩(wěn)定性分析

考慮系統(tǒng)在穩(wěn)態(tài)運動中的穩(wěn)定性問題,則

α=α0+α1,γ=γ0+γ1

(39)

對小擾動α1和γ1進行泰勒展開,得到1階線性近似為:

(40)

將原系統(tǒng)周期解的穩(wěn)定性分析轉化為系統(tǒng)零解的穩(wěn)定性分析。式(40)的特征方程為

(41)

可以寫為

λ2+c1λ+c2=0

(42)

其中:

式(42)的特征值可以表示為

(43)

根據(jù)Routh-Hurwitz準則,當μ>0時,可以得到系統(tǒng)穩(wěn)定的重要條件

(44)

4 數(shù)值結果

以簡支FGMs平板為例,對結構進行屈曲和非線性振動分析。隨溫度變化的彈性模量E, 泊松比為ν, 密度為ρ,熱膨脹系數(shù)為α,導熱系數(shù)為k,具體參數(shù)見表1。

表1 FGMs材料參數(shù)Tab.1 Material parameters of FGMs

4.1 參數(shù)分析

首先對3種工況下溫度對FGMs板性能的影響研究。工況1:室溫(300 K, 圖2a));工況2:ΔTL=0,ΔTU=300 K(圖2b));工況3:ΔTL=ΔTU=300 K(圖2c))。發(fā)現(xiàn),彈性模量不再是沿厚度方向的固定值,高溫使材料的彈性模量顯著降低。當板結構上下表面存在溫度差時,彈性模量逐漸減小,當體積分數(shù)小于1時,彈性模量在中間位置出現(xiàn)峰值。

圖2 彈性模量沿厚度方向的變化Fig.2 Changes of elastic modulus along thickness direction

FGMs板中當p=2時不同熱環(huán)境下彈性模量和熱膨脹系數(shù)的變化曲線(圖3,圖4)。溫度越高,彈性模量越小。在圖4中,對于金屬材料,溫度越高,熱膨脹系數(shù)越大,而對于陶瓷材料,結果恰恰相反。對于熱膨脹系數(shù),在中間位置有一個交點。

圖4 不同熱環(huán)境下熱膨脹系數(shù)的變化Fig.4 Changes of thermal expansion coefficient under different thermal environments

4.2 模型驗證

簡支平板的頻率方程為

當p分別為0和100%時,陶瓷和金屬材料平板的頻率如表2所示。

表2 平板的頻率 Tab.2 Frequency of the plate Hz

Ansys計算的系統(tǒng)固有頻率與理論值吻合,隨著階數(shù)的增加,相對誤差略有增加,但不超過1 %。表3顯示,FGMs板頻率隨著金屬體積分數(shù)的增加,前兩階頻率逐漸減小。當體積分數(shù)達到10%時,頻率變化很小。

表3 不同體積分數(shù)的FGMs板頻率Tab.3 Frequency of FGMs boards with different volume fractions

4.3 溫度對結構特性的影響

當熱環(huán)境設置為ΔTL=0,ΔTU≠0,FGMs板的頻率列于表4和表5。發(fā)現(xiàn),隨著溫度的升高,結構的固有頻率降低,這主要是由于結構的彈性模量降低引起的。當溫差達到735 K,最高溫度達到1 035 K(室溫為300 K)時,結構發(fā)生熱屈曲。當p=2時,頻率顯著降低,屈曲溫差為456 K,低于單一材料壁板在p=0時的屈曲溫差。

表4 FGMs平板頻率隨溫度變化(p=0)Tab.4 Variation of FGMs plate frequency with temperature (p=0,ΔTL=0,ΔTU≠0)

表5 FGMs平板頻率隨溫度變化(p=2,ΔTL=0,ΔTU≠0)Tab.5 Variation of FGMs plate frequency with temperature(p=2)

當熱環(huán)境為ΔTL=ΔTU時,板的頻率如表6與表7所示。在相同體積分數(shù)下,結構熱屈曲溫度明顯小于ΔTL=0工況。當ΔTL=0,ΔTU≠0時,屈曲溫度隨體積分數(shù)的變化如表8所示,屈曲溫度隨金屬體積分數(shù)的增加而降低。

表6 FGMs平板頻率隨溫度變化(p=0,ΔTL=ΔTU)Tab.6 Variation of FGMs plate frequency with temperature(p=0)

表7 FGMs平板頻率隨溫度變化(p=2,ΔTL=ΔTU)Tab.7 Variation of FGMs plate frequency with temperature(p=2)

4.4 系統(tǒng)參數(shù)對幅頻響應的影響

激勵幅值、阻尼、體積分數(shù)和厚度對幅值頻響的影響如圖5所示。

圖5中,黑色粗線為穩(wěn)定解,紅色線為不穩(wěn)定解。當激勵頻率接近固有頻率時,幅值迅速增大,支撐曲線族的骨架向著頻率增大的方向彎曲,表現(xiàn)出硬特性,而且存在多值和跳躍現(xiàn)象,表現(xiàn)出典型的非線性動力學特征。當激勵幅值增大時,阻尼減小,體積分數(shù)增大或厚度減小,相同激勵頻率下穩(wěn)定解明顯增大。隨著厚度的減小,共振區(qū)域逐漸變寬,而對應相同的頻率,且共振被激發(fā)的條件下,穩(wěn)定解的幅值隨板厚度的減小有明顯的增加。以h=0.012 m的幅頻曲線為例,當激勵頻率達到一定值時,曲線存在著多值和跳躍現(xiàn)象。在激勵頻率遠離固有頻率的情況下,系統(tǒng)頻率與振幅存在一一對應的關系,也就是說,系統(tǒng)只有唯一解,且由解的穩(wěn)定性判別條件可知,這個解是穩(wěn)定的。

4.5 溫度對幅頻響應的影響

隨著溫度的升高,結構響應的共振區(qū)域會變寬,如圖6所示。溫差越大,穩(wěn)定解的最大振幅越大。ΔTL=ΔTU=100 K狀態(tài)下的幅值大于ΔTL=0,ΔTU=100 K狀態(tài)下幅值,表現(xiàn)出硬特征,響應曲線存在著多值和跳躍現(xiàn)象。在共振頻率處,頻率響應幅值顯著增大,溫度的變化帶來了顯著的非線性現(xiàn)象。

圖6 不同溫度條件下幅值頻率響應曲線Fig.6 Amplitude frequency response curves under different temperature conditions

結構的幅頻響應數(shù)值解如圖7所示。當激勵頻率從低到高掃描時,系統(tǒng)響應幅值隨著頻率升高逐漸增大。當頻率進一步升高時,曲線會從A點跳到B點,振幅會突然減小。響應幅值隨Ω的增加而減小。振動的幅值隨著激勵頻率的增加,在A點處的幅值最大。當激勵頻率由高向低反向掃描,剛開始時的響應幅值增大,然后從C點到D點發(fā)生跳變。在D點出現(xiàn)拐點,振幅減小。使用本文方法的解析結果與數(shù)值結果吻合較好,證明了主共振頻響方程的正確性。圖8可以看出,穩(wěn)態(tài)響應幅值接近于平板的厚度,而體積分數(shù)對周期運動幅值影響不大。

圖7 幅頻響應Fig.7 Amplitude-frequency response

圖8 時程曲線 Fig.8 Time history curve

6 結束語

本文研究了橫向激勵和熱載荷作用下FGMs板的主共振和穩(wěn)定性。采用多尺度法得到了系統(tǒng)的主共振和幅頻響應方程。通過數(shù)值解與解析解的比較,說明了主共振幅頻響應方程的正確性。結果表明,在溫度載荷作用下,結構的固有頻率減小,屈曲溫度隨金屬體積分數(shù)的增加而降低。當激勵頻率接近固有頻率時系統(tǒng)的幅值急劇增大,支撐曲線族的骨架朝頻率增大的方向彎曲,呈現(xiàn)出硬特性,而且存在多值和跳躍現(xiàn)象,表現(xiàn)出典型的非線性運動學特征。