王 強, 汪 偉

(景德鎮(zhèn)陶瓷大學(xué) 機械電子工程學(xué)院，江西 景德鎮(zhèn) 333403)

1 引 言

在工程領(lǐng)域,產(chǎn)品幾何技術(shù)規(guī)范(GPS)形位誤差評定標(biāo)準(zhǔn)[1]指出圓柱度誤差是指理想圓柱面與實際圓柱面輪廓之間的差異,它是評定工程零件的重要幾何特征之一,也是衡量機械零件和裝配產(chǎn)品精度的一個重要質(zhì)量指標(biāo)。圓柱度誤差的數(shù)值對機械零件的耐磨性、旋轉(zhuǎn)和裝配精度有很大影響[2]。評定圓柱度誤差常用方法有4種[3～5]:最小二乘法、最小外接圓柱法、最大內(nèi)接圓柱法和最小區(qū)域法。其中最小二乘法(LSC)具有算法簡單理論完善等優(yōu)點,因此得到廣泛應(yīng)用[6]。但最小二乘法違背了評定圓柱度誤差的最小條件定義,存在原理誤差,故LSC方法評定結(jié)果通常不是最優(yōu)解[7～9]。相對于其他3種方法[10],最小區(qū)域法評定結(jié)果最優(yōu),符合ISO 17450—2—2012[11]定義的圓柱度評定方法,其評定原理是找到具有包含所有測量點且具有最小半徑差的同軸圓柱面。

為了提高誤差評定的精確性,最小區(qū)域法受到相關(guān)學(xué)者的廣泛關(guān)注。Mao J等[12]提出一種基于粒子群算法(PSO)的最小區(qū)域圓柱度誤差評定方法,舉例表明;該方法適用于非線性優(yōu)化問題,例如在圓柱度誤差評定方面,PSO的計算精度在最小區(qū)域條件下比LSC方法更好; Liu D等[13]提出一種基于增量-單純形算法的圓柱度誤差評估新方法,通過對圓截面進行理論分析,逐步轉(zhuǎn)接到圓柱面。Zhang X等[14]將優(yōu)化過程分為2個階段,利用混合粒子群和差分進化方法相結(jié)合,在一定程度上提高了圓柱度誤差的求解穩(wěn)定性。雖然上述方法都能得到滿足最小區(qū)域評定標(biāo)準(zhǔn)的解,但都是求解固定位置(待測零件擺放位置)和少采樣點數(shù)據(jù)的圓柱度誤差,仍存在著局部最優(yōu)解的風(fēng)險。對于任意位置和多測點數(shù)據(jù)的最小區(qū)域判定,缺少一種簡單快速的判定方法。

針對存在的問題,本文研究了最小區(qū)域評定模型,提出一種可以適用于任何位置和多測量數(shù)據(jù)點的評定算法。首先,建立了最小區(qū)域評定數(shù)學(xué)模型;然后,通過坐標(biāo)變換將任意位置轉(zhuǎn)換為固定位置,采用坐標(biāo)投影將空間圓柱面轉(zhuǎn)換為平面圓面,從而對多測點數(shù)據(jù)進行特征數(shù)據(jù)點提取降低樣本空間,排除無效數(shù)據(jù)點;最后,通過內(nèi)外掃描區(qū)域建立,不斷坐標(biāo)變換和更替掃描區(qū)域,逐步逼近符合最小區(qū)域評定的圓柱度誤差值。采取復(fù)核操作,防止出現(xiàn)局部最優(yōu)解,相比于其他方法,具有很高的求解穩(wěn)定性和準(zhǔn)確性。

2 最小區(qū)域圓柱度評定模型

最小區(qū)域法評定幾何原理圖如圖1所示。假定Pi(xi,yi,zi)為圓柱體在空間固定坐標(biāo)系上{O0;i,j,k}的測量點,在對圓柱度誤差評定時,需要把實際輪廓面C和理想圓柱面Σ進行對比,Σ是最小區(qū)域法評定下的空間理想圓柱面,Σ滿足實際輪廓面上的所有點到曲面Σ最大法向誤差最小這一幾何意義。

(1)

3 圓柱度誤差評定步驟

3.1 初始軸線的確立

在空間固定坐標(biāo)系{O0;i,j,k}中,先對離散采樣點Pi(xi,yi,zi)采用最小二乘法評估得到初始軸線L1。設(shè)L1的方向矢量為(m,n,1),軸線與平面iOj的截面點為L0(lx0,ly0,0),設(shè)軸線L1上點的坐標(biāo)為(lxi,lyi,lzi),其中l(wèi)xi=lx0+mzi,lyi=ly0+nzi。R為最小二乘圓柱面半徑。離散坐標(biāo)點到L1的法向距離為

(2)

根據(jù)LSC評定原理,則優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)Q為

(3)

3.2 坐標(biāo)變換投影

1) 空間坐標(biāo)變換

(4)

依據(jù)向量PiT垂直于直線L1和公式(4),解出

(5)

(6)

式中:C為3×3矩陣,即C是固定坐標(biāo)系用運動坐標(biāo)系表示的空間坐標(biāo)變換矩陣。

2) 空間坐標(biāo)投影

3.3 特征點提取

1) 投影數(shù)據(jù)點排序

特征點提取如圖2所示。經(jīng)過上述步驟空間坐標(biāo)變換和坐標(biāo)投影后,投影點在下邊界平面S組成一個閉環(huán)區(qū)域。為便于外包容投影點的凸集構(gòu)造,需要將投影點按照順時針或逆時針進行排序。通過軸線Omim將閉環(huán)區(qū)域劃分為上下兩個子區(qū)域,分別計算上下子區(qū)域向量OmPmi與軸線Omim的夾角cosθ,夾角公式為

圖2 特征點提取Fig.2 Feature point extraction

(7)

根據(jù)余弦在(0,π)區(qū)間的幾何性質(zhì),利用cosθ值判斷出夾角θ的大小,按照θ角從小到大的順序?qū)⑸舷聟^(qū)域兩個部分的離散點進行排序。排序完成后,將下區(qū)域的序號按照逆序由大到小依次接續(xù)到上部分序號末端,由此完成整個投影點逆時針排序。

2) 外包容特征點

對于經(jīng)過數(shù)據(jù)點排序連接后的外包容輪廓曲線特征點的提取,主要有2種方式:① 間隔差值法,對平面中的離散點使用最小二乘找到初始圓心O1的坐標(biāo),通過對比離散點到O1的水平間隔,找出距離最遠(yuǎn)的一組點;雖然間隔差值法具有簡單快速的特點,但對初始值的選取具有較強的依賴性。② 凸殼構(gòu)造法,通過連接平面離散點,并判斷相鄰3點的位置關(guān)系,使離散點逐層向外擴從而找到外包容輪廓曲線;采取坐標(biāo)變換投影,將三維空間離散點問題轉(zhuǎn)換為二維平面離散點,投影點的位置對初始軸線的選取具有依賴性,存在一定的誤差。因此采用將間隔差值法和凸殼構(gòu)造法相結(jié)合的方法,來消除空間轉(zhuǎn)換為平面投影時的原理誤差。

根據(jù)平面幾何學(xué)知識空間中的任意3點,可以計算第3點與第2點連線相對于第1點和第2點連線的位置。

如圖2(a)所示P1(x1,y1),P2(x2,y2)和P3(x3,y3)為任意的3個點,連接向量P1P2和P2P3,假定方向為逆時針,則由點P1、P2、P3構(gòu)成的三角形面積S為

S=0.5[(x2-x1)(y1-y3)-(y2-y1)(x1-x3)]

(8)

當(dāng)△P1P2P3為逆時針時S為正數(shù),反之為順時針時S為負(fù)數(shù)。當(dāng)S>0時,點P3位于向量P1P2的右側(cè);當(dāng)S<0時,點P3位于向量P1P2的左側(cè)。對于外包容特征點的提取采用凸集構(gòu)造的思想,將點P1和點P2按照逆時針進行連線,判斷第3點P3是否位于P1P2的右側(cè)。如果點P3位于線段的右側(cè),則連接P1P3,排除無效點P2;如果點P3位于線段的左側(cè),則保持不變。按照以上思路,如圖2(b)所示,逐點排除相鄰3點之間第3點位于第1點和第2點連線線段右側(cè)的第2個坐標(biāo)點,最后使第3點全部位與線段右側(cè),從而使包容輪廓線逐層向外擴,達(dá)到找到外包容輪廓線的目的,并記錄外包容輪廓投影點對應(yīng)離散點坐標(biāo)集合A和外包容特征點個數(shù)N1。以N1為初始值采用間隔插值法,通過對比離散點Pi到初始圓心O1的水平間隔,找出其中距離最遠(yuǎn)的一組點集B,選取點的個數(shù)同樣為N1,則外包容特征點集合為I=A∪B,此時記錄集合I的特征點個數(shù)N2。

3) 內(nèi)包容特征點

對于內(nèi)包容特征點,如果直接采用反向凸集構(gòu)造即凹集構(gòu)造的思想,容易出現(xiàn)局部點位收斂等問題。因此,對于內(nèi)包容特征點選取只能通過間隔差值法,通過對比離散點Pi到初始圓心O1的水平間隔,找出其中距離最近的一組點,選取點的個數(shù)依據(jù)外包容特征點得到的數(shù)目同樣為N2。

3.4 內(nèi)外掃描區(qū)域

采用上述步驟對離散采樣點進行坐標(biāo)變換投影和特征點處理后,進行底面內(nèi)外掃描區(qū)域建立,如圖3所示。

圖3 底面內(nèi)外掃描區(qū)域Fig.3 Scanning area inside and outside the bottom surface

以中心點O為參考點,以R=2f為掃描半徑(f為最小二乘法得到圓柱度誤差)對底面S進行掃描區(qū)域劃分。其中P1,P2,…,Pn為底面投影點坐標(biāo)(經(jīng)過特征點提取后的剩余坐標(biāo));S1,S2,…,S8是以O(shè)為圓心,半徑R=2f內(nèi)接正八邊形的掃描端點;S9,S10,S11,S12是以O(shè)為圓心,半徑0.5R內(nèi)接正四邊形的掃描端點。對于上邊界平面U采用同樣的方式進行選點,則下平面端點Sg(xsg,ysg,zsg)和上平面端點Un(xun,yun,zun)為

(9)

通過將端點Sg與Un依次連接,共有144條軸線,空間軸線方程為

(10)

式中:g,n為端點序號。

分別計算經(jīng)過特征點提取后的在運動坐標(biāo)系下的離散點Pi(xi,yi,zi)到軸線lc的水平距離di:

(11)

其中(xc,yc,zc)為點Pi到軸線lc的垂點坐標(biāo),通過公式(4)可以求得。分別找出144條空間軸線對應(yīng)的圓柱度誤差:

fc=max(di)-min(di),

c=1,2,…,144

(12)

3.5 算法流程

具體算法流程步驟如下:

第1步 通過最小二乘法對離散數(shù)據(jù)進行預(yù)處理,找出初始軸線l1和初始圓柱度誤差f。

第2步 根據(jù)第1步得到的初始軸線l1進行坐標(biāo)變換投影。

第3步 對采樣點總數(shù)進行判斷,如果采樣點數(shù)目總數(shù)小于1 000進行第4步,反之通過上文第3.3節(jié)進行離散特征點提取(從而提高計算效率)后再進行第4步。

為方便理解,繪制了如圖4所示的算法流程圖。

圖4 圓柱度誤差算法流程圖Fig.4 Flow chart of cylindricity error algorithm

4 仿真及實例驗證

4.1 少采樣數(shù)據(jù)點

采取多組圓柱度測量數(shù)據(jù)并利用Matlab進行實例驗證,分別采用少采樣數(shù)據(jù)點,用表1和文獻[15,16]中的采樣數(shù)據(jù)點來計算各參數(shù),其結(jié)果見表2。在表2中優(yōu)化后圓柱軸線上一點為(x0,y0,z0)軸線的方向向量為(m,n,p)圓柱度誤差為f。

表1 采樣點數(shù)據(jù)Tab.1 Sampling point data mm

對表1數(shù)據(jù)點分別采用本文算法和最小二乘法(LSC)進行評定,本文圓柱度誤差f=0.184 2,LSC評定結(jié)果f=0.214 6,從優(yōu)化結(jié)果可以看出本文方法優(yōu)于LSC。

由表2可知,采取本文算法分別計算出的圓柱度誤差和文獻[16]優(yōu)化的結(jié)果相同且與文獻[15]相比具有較高的精度,證明該算法具有較好的優(yōu)化性能。

通過上文內(nèi)外多邊形掃描區(qū)域劃分和對坐標(biāo)軸線和掃描區(qū)域的更替,具有較高的求解穩(wěn)定性,且采用坐標(biāo)投影變換,對圓柱采樣點的初始位置沒有約束,具有很好的普適性。

將表1數(shù)據(jù)可視化,圓柱度評定結(jié)果如圖5所示?？梢缘贸鲈摂?shù)據(jù)擬合圓柱面非固定零件中心軸位置靠近z軸擺放采樣,待采樣零件擺放為任意位置。

圖5 圓柱度評定結(jié)果可視化Fig.5 Cylindricality assessment results visualization

分別對表1和文獻[15,16]中的數(shù)據(jù)繪制主算法數(shù)據(jù)迭代曲線圖,如圖6所示,x軸為迭代次數(shù),y左軸表示表格1數(shù)據(jù)對應(yīng)的圓柱度誤差,y右軸表示文獻[15,16]數(shù)據(jù)對應(yīng)的圓柱度誤差。

圖6 數(shù)據(jù)迭代曲線Fig.6 Data iteration curve

由圖6可以看出:曲線波動整體逐漸趨于最優(yōu)解,在部分迭代過程中會出現(xiàn)拐點,采用上文約束條件在下次迭代時,使曲線波動回歸主線,避免出現(xiàn)局部最優(yōu)解,且只需要通過幾10次迭代就可以快速趨于平穩(wěn)找到符合最小區(qū)域評定的圓柱度誤差值。

4.2 多數(shù)據(jù)點

采用三坐標(biāo)測量機對同一工件進行多組測量如圖7所示,采樣點數(shù)據(jù)總數(shù)分別為1 000,1 500,…,6 000;通過坐標(biāo)變換投影與特征點提取對原始采樣點數(shù)據(jù)進行預(yù)處理。圖7(a)為數(shù)據(jù)提取實驗臺;圖7(b)為對6 000采樣點經(jīng)過節(jié)3.2～3.3坐標(biāo)投影和特征點提取后的下邊界平面數(shù)據(jù)點可視化。為了能清晰看到特征點提取效果,將圖像分為主、副兩個坐標(biāo)軸,其中副圖是對坐標(biāo)區(qū)域x∈(-12.4,-12.2),y∈(8.4,8.75)進行放大,圖中兩條曲線分別由外包容特征點和內(nèi)包容特征點構(gòu)成,曲線包容環(huán)域內(nèi)星號點表示無效點,圓圈點表示特征點。

圖7 多數(shù)據(jù)點特征點提取Fig.7 Most data points feature point extraction

圖8為11組數(shù)據(jù)特征點提取結(jié)果,x軸表示11組測量數(shù)據(jù)點,y軸表示數(shù)據(jù)點個數(shù),f軸表示誤差評定結(jié)果,其中“◆”形符號為優(yōu)化前采樣數(shù)據(jù)點總數(shù),“●”形符號為優(yōu)化后的數(shù)據(jù)點總數(shù),“■”形符號為優(yōu)化后的圓柱度誤差。從圖8可看出:隨著數(shù)據(jù)采樣點總數(shù)的增加,經(jīng)過特征點提取后,優(yōu)化后的采樣點總數(shù)比優(yōu)化前的采樣點總數(shù)的比值從1.689 2逐漸增高到5.424 1,且對于在計算6 000采樣點時,優(yōu)化前后計算時間值差為1.623 8 s,即優(yōu)化前后計算效率提升1.5倍(優(yōu)化前后計算時間的比值)。證明在同一工件上多組選點,隨著采樣點總數(shù)的增加特征點提取效果越好,且通過實例檢驗證明特征點提取前后的圓柱度誤差數(shù)值相近,具有較高的穩(wěn)定性。

圖8 11組數(shù)據(jù)特征點提取結(jié)果Fig.8 Eleven sets of data feature point extraction results

5 結(jié) 論

(1) 建立了最小區(qū)域評定圓柱度誤差的數(shù)學(xué)模型,通過坐標(biāo)變換與投影,得到一種可以克服零件的擺放位置對優(yōu)化結(jié)果影響的最小區(qū)域圓柱度誤差評定的新方法。

(2) 針對局部最優(yōu)解等問題,采取對上下邊界平面建立內(nèi)外掃描點,且通過不斷更替中心軸線和進行坐標(biāo)變換,逐步約束縮小搜索范圍不斷移動掃描中心,向最優(yōu)解靠攏,最后通過對圓柱度誤差值進行復(fù)核,得出全局最優(yōu)解。

(3) 對于采樣數(shù)據(jù)點總數(shù)多于1 000的數(shù)據(jù)集,采用間隔差值法和凸殼構(gòu)造法相結(jié)合的特征點提取方法。對采樣點數(shù)據(jù)樣本進行優(yōu)化,排除無效采樣點,實例結(jié)果表明:對數(shù)據(jù)樣本最多的數(shù)據(jù)集,計算效率提高了1.5倍,且通過和原數(shù)據(jù)優(yōu)化結(jié)果進行對比,優(yōu)化結(jié)果相同具有較高的求解穩(wěn)定性,可在生產(chǎn)實踐中廣泛推廣。