陳秋媛，賓紅華，黃振坤

(集美大學(xué)理學(xué)院，福建 廈門(mén) 361021)

0 引言

眾所周知，同步在安全通信、人工智能和圖像處理等[1-10]的實(shí)際應(yīng)用非常廣泛。近年來(lái)，越來(lái)越多的學(xué)者研究神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的同步問(wèn)題，如投影同步[1]、滯后同步[2]、量化同步[3]、自同步[6]和指數(shù)同步[7]等。

高階神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)作為低階神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的擴(kuò)展，比低階神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)具有更強(qiáng)的收斂性和更大的存儲(chǔ)容量，因而成為一個(gè)新的研究熱點(diǎn)。高階神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)包括高階中立型細(xì)胞神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)、高階Cohen-Grossberg神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)、高階Hopfield神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)和高階遞歸神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)等[6-20]。Hopfield神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)[9-10]最先由Hopfield提出，它基于由電容、電阻和放大器組成的模擬電路，建立了一個(gè)常微分方程組。文獻(xiàn)[8]提出了一種具有線性項(xiàng)和間斷項(xiàng)的新型控制方案，解決了時(shí)變時(shí)滯記憶型高階競(jìng)爭(zhēng)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的同步問(wèn)題。文獻(xiàn)[16]研究了一類(lèi)雙向聯(lián)想記憶高階神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的有限時(shí)間穩(wěn)定和固定時(shí)間穩(wěn)定問(wèn)題。特別地，文獻(xiàn)[12]分析了脈沖高階Hopfield神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)穩(wěn)定性，通過(guò)構(gòu)造李雅普諾夫函數(shù)和應(yīng)用線性矩陣不等式，給出了平衡點(diǎn)達(dá)到全局漸近穩(wěn)定的充分條件。

許多關(guān)于微分方程的結(jié)果很容易轉(zhuǎn)化為差分方程的相應(yīng)結(jié)果，而這些結(jié)果與連續(xù)的結(jié)果在性質(zhì)上完全不同。時(shí)標(biāo)是研究連續(xù)系統(tǒng)和離散系統(tǒng)的有效手段，對(duì)時(shí)標(biāo)上的動(dòng)力學(xué)方程的研究揭示了這種差異，并有助于避免對(duì)微分方程和差分方程的結(jié)果進(jìn)行兩次證明。上述文獻(xiàn)大都在連續(xù)系統(tǒng)上研究高階神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的穩(wěn)定性，對(duì)離散系統(tǒng)的關(guān)注較少。因此，在時(shí)標(biāo)理論基礎(chǔ)上研究高階神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的同步問(wèn)題很有必要。經(jīng)過(guò)多年的研究，Hilger提出的時(shí)標(biāo)理論已經(jīng)取得了很多成果[21-24]，但時(shí)標(biāo)上高階神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的同步尚未得到研究。因此，本文在文獻(xiàn)[12]和時(shí)標(biāo)微積分理論的基礎(chǔ)上，討論時(shí)標(biāo)上高階神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)驅(qū)動(dòng)-響應(yīng)系統(tǒng)在脈沖控制下達(dá)到同步的充分條件，為時(shí)標(biāo)上高階神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的同步研究提供了理論基礎(chǔ)。

1 預(yù)備知識(shí)

時(shí)標(biāo)T為實(shí)數(shù)集R的任意非空閉子集，其拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)繼承自R。時(shí)標(biāo)上的跳躍算子σ(t)和ρ(t)的定義分別為：σ(t)=inf{s∈T：s>t}，ρ(t)=sup{s∈T：st(ρ(t)0，那么p∈R+。對(duì)實(shí)數(shù)集R上的任意區(qū)間[a，b]，[a，b]T表示區(qū)間[a，b]和時(shí)標(biāo)T的交集，即[a，b]T=[a，b]∩T。

定義1[24]給定函數(shù)f：T→R且t∈Tk。對(duì)任意ε>0，若存在f△(t)，對(duì)于t的某個(gè)鄰域U，使得|f(σ(t))-f(s)-f△(t)(σ(t)-s)|≤ε|σ(t)-s|，?s∈U，那么稱(chēng)它為f在t處的△-導(dǎo)數(shù)。

引理1[24]若f和g是兩個(gè)在時(shí)標(biāo)T上△可導(dǎo)的函數(shù)，則：i)(f±g)△(t)=f△(t)±g△(t)；ii)(fg)△(t)=f△(t)g(t)+f(σ(t))g△(t)=g△(t)f(t)+g(σ(t))f△(t)。若f在t點(diǎn)可導(dǎo)，則f(σ(t))=f(t)+μ(t)f△(t)。

引理2[24]對(duì)于p，q∈R，有：i)ep(σ(t)，s)=(1+μ(t)p(t))ep(t，s)；ii)ep(t，s)ep(s，r)=ep(t，r)；iii)若p∈R+，則ep(t，t0)>0，?t∈T。

引理3[24]設(shè)y∈Crd，且p∈R+，若y△(t)≤p(t)y(t)，t∈T成立，則y(t)≤y(t0)ep(t，t0)。

2 模型描述

考慮由n個(gè)節(jié)點(diǎn)構(gòu)成的高階神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，其驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)為

(1)

其中：i=1，2，…，n；t∈T；xi(t)是時(shí)間t第i個(gè)神經(jīng)元的狀態(tài)量；gi(xi(t))和hi(xi(t))是神經(jīng)激活函數(shù)；Ci>0和Ii分別表示第i個(gè)節(jié)點(diǎn)的自反饋權(quán)重和外部輸入量；Aij、Wij和Aijl、Wijl分別表示神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的一階和二階神經(jīng)元的權(quán)重。

對(duì)應(yīng)的響應(yīng)系統(tǒng)為

(2)

假設(shè)1 假定系統(tǒng)(1)的神經(jīng)激活函數(shù)gi(xi)和hi(xi)(i=1，2，…，n)是連續(xù)的，且滿足以下條件，即

(3)

設(shè)ei(t)=yi(t)-xi(t)，i=1，2，…，n，可得

gj(xj(t))gl(xl(t))-gj(yj(t))gl(xl(t))+gj(yj(t))gl(xl(t))]}=-Ciei(t)+

故系統(tǒng)(1)和(2)的誤差系統(tǒng)為

(4)

其中：i=1，2，…，n；t∈T；fi(ei(t))=fi(gi(t))-gi(xi(t))；φi(ei(t))=hi(yi(t))-hi(xi(t))；ζj介于gj(xj(t))和gj(yj(t))之間；ξj介于hj(xj(t))和hj(yj(t))之間。

注1 根據(jù)函數(shù)的凸性和Aijl/(Aijl+Ailj)+Ailj/(Aijl+Ailj)=1，存在ζj介于gj(xj(t))和gj(yj(t))之間，使得Aijlgj(xj(t))+Ailjgj(yj(t))=(Aijl+Ailj)ζj成立。

相應(yīng)地，假設(shè)1可改寫(xiě)成：

(5)

(6)

這里，對(duì)于矩陣P，λmin(P)和λmax(P)分別表示方陣P的最小和最大特征值。范數(shù)‖·‖是歐幾里得范數(shù)，e表示單位矩陣。

3 主要結(jié)果

定理1 在假設(shè)1的條件下，如果

(7)

證明構(gòu)造Lyapunov函數(shù)為V(t)=eT(t)e(t)/2。利用引理1得：V△(t)=[eT△(t)e(t)+eT(σ(t))e△(t)]/2=[eT(t)+eT(σ(t))]e△(t)/2=[2eT(t)+μ(t)eT△(t)]e△(t)/2=eT(t)e△(t)+μ(t)eT△(t)e△(t)/2。當(dāng)t∈[tk-1，tk)T(k∈N+)時(shí)，對(duì)V(t)沿系統(tǒng)(6)的軌道求導(dǎo)。由2uTv≤uTu+vTv、ΓT?！堋啤?I和‖ζ‖≤‖M‖可得

eT(t)e△(t)=eT(t)(-Ce(t)+Af(e(t))+FT(e(t))AHζ)=-eT(t)Ce(t)+eT(t)Af(e(t))+

eT(t)FT(e(t))AHζ≤-eT(t)Ce(t)+eT(t)AKe(t)+eT(t)ΓTAHf(e(t))≤-eT(t)Ce(t)+

eT(t)(AK+KAT)e(t)/2+eT(t)ΓTΓe(t)/2+fT(e(t))ATAHf(e(t))/2≤-eT(t)Ce(t)+

eT(t)(AK+KAT)e(t)/2+‖M‖2eT(t)e(t)/2+eT(t)KATAHKe(t)/2=eT(t)(-2C+AK+KAT+

(8)

且有

eT(t)C2e(t)-eT(t)CAf(e(t))-eT(t)CFT(e(t))AHζ-fT(e(t))ATCe(t)+fT(e(t))ATAf(e(t))+

(3/2+‖M‖2/2)KATAK]e(t)≤λmax[(1+‖M‖2)C2-(CAK+KATC)+(3/2+

(9)

于是有

(10)

因此，由式(8)和式(10)有

(11)

(12)

當(dāng)t=tk(k∈N+)時(shí)，有

ΦT(e(tk))Ξξ]/2≤eT(tk)[(1+‖N‖2)(E+D)2+LWT(E+D)+(E+D)WL+(3/2+

3/2‖N‖2)LΞTΞL+(3/2+‖N‖2/2)LWTWL]e(tk)/2≤λmax[(1+‖N‖2)(E+D)2+LWT(E+D)

+(E+D)WL+(3/2+3/2‖N‖2)LΞTΞL+(3/2+‖N‖2/2)LWTWL]V(tk)=V(tk)。

(13)

由引理2、式(12)～式(13)有

(14)

所以，V(t)≤Nγ(t0，t)eλ(t，t0)V(t)。因?yàn)镹γ(t0，t)eλ(t，t0)=0，故系統(tǒng)(1)和(2)在脈沖控制下達(dá)到同步。

注2hZ不僅包含普通的差分方程形式(h=1)，也包含非特殊的差分形式(h≠1)。當(dāng)h=1時(shí)，系統(tǒng)(1)可改寫(xiě)成

本文可以得到類(lèi)似定理1的結(jié)果，此結(jié)果是對(duì)文獻(xiàn)[15]的補(bǔ)充。文獻(xiàn)[15]研究了具有時(shí)滯和脈沖的離散高階神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的穩(wěn)定性。文獻(xiàn)[17]提出了時(shí)標(biāo)上一類(lèi)中立型高階Hopfield神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，討論其概周期解的全局指數(shù)穩(wěn)定性。不同的是，本文加入脈沖控制器來(lái)研究時(shí)標(biāo)上高階神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的同步，結(jié)果更具一般性。當(dāng)T=R時(shí)，可以參考文獻(xiàn)[12]在連續(xù)情形上研究脈沖高階Hopfield型神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的穩(wěn)定性。

4 數(shù)據(jù)模擬結(jié)果

考慮高階神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)

(15)

和

(16)

其中：i=1，2，3；g1(z)=tanh(0.16z)；g2(z)=tanh(0.14z)；g3(z)=tanh(0.16z)；h1(z)=tanh(0.2z)；h2(z)=tanh(0.6z)；h3(z)=tanh(0.5z)；C=diag(1.6，1.5，1.3)；D=diag(-0.21，-0.78，-0.69)；

注3 上述例子是在混合時(shí)域下進(jìn)行數(shù)值模擬，包含了離散和連續(xù)的結(jié)果。

5 結(jié)論