朱榮坤，梁宗旗

(集美大學(xué)理學(xué)院，福建 廈門 361021)

0 引言

分數(shù)階微積分是現(xiàn)代數(shù)學(xué)理論和應(yīng)用研究的一個新的重要分支，它不僅是傳統(tǒng)整數(shù)階微積分理論的推廣，同時由于分數(shù)階微分算子的非局部性，分數(shù)階微分方程非常適合用來描述現(xiàn)實世界中具有記憶和遺傳性質(zhì)的材料，以及許多物理及動態(tài)系統(tǒng)過程，從而分數(shù)階微分方程在科學(xué)與工程的各個領(lǐng)域得到了廣泛的應(yīng)用，如光學(xué)、流體力學(xué)、化學(xué)、物理學(xué)、金融和其他自然科學(xué)[1-4]。分數(shù)階微分方程理論研究和數(shù)值計算方法[5-6]是當(dāng)今國內(nèi)外學(xué)術(shù)界的最熱門的研究課題之一。出現(xiàn)在科學(xué)和工程領(lǐng)域中的大量問題都是建立在無界區(qū)域上的，最終大部分可歸結(jié)為無界區(qū)域上分數(shù)階微分方程，如流體在無限長管道中的流動、波在空間中的傳播等。然而物理區(qū)域的無界性和分數(shù)階微積分算子的非局部性，給無界區(qū)域上問題尤其分數(shù)階微分方程的求解帶來了本質(zhì)性的困難和巨大的計算代價。如何設(shè)置人工邊界并高效求解成為求解無界區(qū)域上偏微分方程和分數(shù)階微分方程數(shù)值解的一個核心問題，人工邊界方法已逐步發(fā)展成為數(shù)值求解無界區(qū)域上偏微分方程的一個重要且高效方法，在科學(xué)技術(shù)的眾多領(lǐng)域中得到了廣泛應(yīng)用。

關(guān)于整數(shù)階偏微分方程人工邊界方法的研究，人們針對不同方程和物理區(qū)域的人工邊界應(yīng)用多種方法和技巧進行了大量研究，Han等[7]應(yīng)用Laplace變換得到了熱傳導(dǎo)方程的精確人工邊界條件；有文獻給出了二維Laplace方程外問題的一系列各種精度的局部人工邊界條件[8]、非線性KdV方程的透明人工邊界條件[9]、一維三次非線性Schr?dinger方程的精確非線性人工邊界條件[10]等。關(guān)于分數(shù)階微分方程的人工邊界條件的研究文獻很少，主要的原因是對整數(shù)階微分方程人工邊界條件本身需要較高的構(gòu)造技巧和理論分析，即使是簡單的線性微分方程構(gòu)造，其人工邊界條件也是困難的。分數(shù)階微分方程不僅具有全局性，而且分數(shù)階導(dǎo)數(shù)還存在奇異性，所以對無界區(qū)域上求得分數(shù)階微分方程的精確人工邊界條件或近似人工邊界條件是困難的。Gao等[11]研究了無界區(qū)域上時間分數(shù)階次擴散方程的精確人工邊界條件；Zhang等[12]利用降階法研究了無界區(qū)域上時間分數(shù)階線性KdV方程的人工邊界條件，得到了其精確人工邊界條件。為了克服物理區(qū)域的無界性、分數(shù)階導(dǎo)數(shù)的非局部性，減少計算代價，本文提出了一種利用人工邊界方法[11，13-15]和Lagrange插值[16]求解無界區(qū)域上分數(shù)階偏微分方程的新的方法，可將無界區(qū)域分數(shù)階微分方程近似轉(zhuǎn)化為有界區(qū)域上人工邊界條件下整數(shù)階偏微分方程的初邊值問題，從而達到計算代價小、簡單、高效的目的。

本文主要研究如下的無界區(qū)域上時間分數(shù)階Klein-Gordon方程為

(1)

u(x，0)=φ(x)，ut(x，0)=ψ(x)，x∈R，

(2)

u(x，t)→0，|x|→∞，t∈(0，T]。

(3)

1 人工邊界方法

1.1 預(yù)備知識

引理2I0、I1分別為0階和1階廣義的Bessel函數(shù)，則有I0′(x)=I1(x)。

引理3Iv為v(v≥1)階廣義的Bessel函數(shù)，則有遞推式2Iv′(x)=Iv-1(x)+Iv+1(x)。

1.2 人工邊界條件

Caputo分數(shù)階導(dǎo)數(shù)的非局部性，導(dǎo)致當(dāng)前時間層的計算需要存儲之前所有時間層的數(shù)據(jù)，這給分數(shù)階導(dǎo)數(shù)的計算帶來了巨大的存儲代價。為了克服這一困難，對Caputo分數(shù)階導(dǎo)數(shù)做Laplace變換，可得

(4)

對sα做Lagrange線性插值逼近，可得

sα≈(α-1)s2+(2-α)s。

(5)

將式(5)代入式(4)式中，可得

(6)

對式(6)做Laplace逆變換，可得

(7)

將式(7)代入方程(1)中，得到問題(1)～(3)的近似問題為

(8)

其中g(shù)(x，t)=(2-α)ψ(x)+f(x，t)。

現(xiàn)引入人工邊界∑r={(x，t)|x=xr}，∑l={(x，t)|x=xl}，人工邊界∑r、∑l將無界區(qū)域R=(-∞，+∞)分割為Ωi=[xl，xr]和Ωe=(-∞，xl)∪(xr，+∞)兩部分。

考慮無界區(qū)域上Ωe問題(8)的外問題

(9)

對方程(9)做Laplace變換，得到如下的常微分方程為

求解以上常微分得其解為

(10)

式(10)等價于

(11)

當(dāng)λ滿足不同的條件時，式(11)會得到所對應(yīng)的人工邊界條件，因此分3類情況討論。

情況1 當(dāng)λ=0，即b2=(2-α)2/(4(α-1))時，式(11)可寫為

(12)

對式(12)做Laplace逆變換，可得

即

從而，當(dāng)λ=0時，得到與問題(1)～(3)等價的人工邊界條件下的初邊值問題為：

(13)

情況2 當(dāng)λ>0，即b2>(2-α)2/(4(α-1))時，式(11)可寫為：

(14)

當(dāng)x∈(xr，+∞)時，式(14)等價于

(15)

對式(15)做Laplace逆變換，并利用引理1和Laplace逆變換的平移性及分部積分，得到：

即

(16)

情況3 當(dāng)λ<0，即b2<(2-α)2/(4(α-1))時，式(11)可寫為

(17)

即

(18)

對式(18)做Laplace逆變換，并利用引理1和Laplace逆變換的平移性，同理得到

(19)

利用引理2、引理3和分部積分，式(19)可寫為

同理得到當(dāng)x=xl時的人工邊界條件，當(dāng)λ<0時，從而得到與方程(1)～(3)等價的人工邊界條件的初邊值問題為

(20)

根據(jù)λ的正負，本節(jié)給出了無界區(qū)域上時間分數(shù)階Klein-Gordon方程(1)～(3)3類情況下的人工邊界條件。不失一般性，本文只研究人工邊界條件下初邊值問題(20)的穩(wěn)定性。

2 穩(wěn)定性分析

證明用ut(x，t)乘以方程組(20)的第一個式子，在[xl，xr]上積分，并利用式(20)的二、三個式子，得到

即

(21)

(22)

(23)

其中：Dr={(x，t)|1≤x<∞，0≤t≤T}；Dl={(x，t)|-∞≤x

用w(1)(x，t)、w(2)(x，t)分別乘以式(22)和式(23)，在[xr，+∞)，(-∞，xl]上積分，并利用式(20)的第二、三個式子，得到

(24)

(25)

將式(24)和式(25)代入式(21)，得到

(26)

令

(27)

(28)

3 有限差分格式與數(shù)值模擬

為了驗證利用Laplace變換與人工邊界方法來求解無界區(qū)域上時間分數(shù)階Klein-Gordon方程的有效性，本節(jié)僅對問題(13)做數(shù)值離散和模擬。

3.1 有限差分格式

記Λ：=[xl，xr]，I=[0，T]，Ω=Λ×I，將求解區(qū)域Ω={(x，t)|xl≤x≤xr，0≤t≤T}進行網(wǎng)格剖分。取正整數(shù)M、N，令h=(xr-xl)/M，τ=T/N，xi=x0+ih(0≤i≤M)，tk=kτ(0≤k≤N)，其中，h是空間步長，τ為時間步長。

引理4[15]設(shè)y(x)∈C3[xl，xr]，其中xl=x0，xr=xM，則有：y″(x0)-2[(y(x1)-y(x0))/h-y′(x0)]/h=-h/3y?(x0+θ1h)，θ1∈(0，1)；y″(xM)-2[(y′(xM)-y(xM-1))/h]/h=-h/3y?(xM-θ2h)，θ2∈(0，1)。

利用中心差分格式分別逼近時間空間二階導(dǎo)數(shù)，蛙跳格式逼近時間二階導(dǎo)數(shù)，并結(jié)合引理4將問題(13)離散成

(29)

3.2 數(shù)值模擬

本節(jié)將通過數(shù)值例子來驗證有限差分格式(28)的有效性。

表1 不同時間空間步長下的最大誤差Tab.1 The maximum errors with different temporal and spatial nodes

4 結(jié)論

利用Laplace變換和Lagrange插值方法，首先將分數(shù)階微分方程轉(zhuǎn)化為近似整數(shù)階微分方程，再利用人工邊界方法，將無界區(qū)域上時間分數(shù)階Klein-Gordon方程轉(zhuǎn)化為有界區(qū)域上具有精確人工邊界條件的整數(shù)階偏微分方程問題，同時證明了其穩(wěn)定性。最后，構(gòu)造了人工邊界條件下整數(shù)階偏微分方程的有限差分格式，并利用數(shù)值例子驗證格式的有效性。該方法為無界區(qū)域上分數(shù)階偏微分方程問題的求解提供了一種新的理論方法，不僅降低了計算代價，而且簡化了原問題，說明利用人工邊界方法求解無界區(qū)域上分數(shù)階微分方程是一個簡單、有效的方法。