陳濤祖

空間向量是解答數(shù)學問題的常用“工具”.在解答立體幾何問題時，靈活運用空間向量這個“工具”，可將問題轉(zhuǎn)化為空間向量運算問題，這樣不僅能拓寬解題的思路，還能有效地提升解題效率.下面結(jié)合實例，談一談如何運用空間向量解答立體幾何中的角度、距離以及位置關系問題.

一、空間角問題

空間角問題主要有異面直線所成的角問題、直線與平面形成的角問題、二面角問題.求解立體幾何中的角度問題，通常要用到夾角公式[cosn1，n2=n1?n2n1?n2].這就要先根據(jù)幾何體的特征，建立合適的空間直角坐標系；然后求出各條直線的方向向量、平面的法向量；再根據(jù)夾角公式進行求解.

首先根據(jù)正方體的特征，以頂點D為原點，三條棱為坐標軸，建立空間直角坐標系；然后根據(jù)正方體的特征以及三垂線定理，可推出[A1O⊥平面C1BD]、[C1O⊥平面A1BD]，即可將[A1O、C1O]看作兩個平面的法向量，根據(jù)夾角公式求得其夾角.運用空間向量法求解立體幾何問題，可使抽象的立體幾何問題變得具象化.

二、空間距離問題

空間距離問題主要有求兩點之間的距離、求點到直線的距離、求點到平面的距離、求直線與平面之間的距離、求平面與平面之間的距離.一般地，在建立直角坐標系后，通?？芍苯舆\用兩點之間的距離公式求兩點之間的距離；通過作點到直線的垂線，求點到直線的距離；通過法向量，求點到平面的距離、求直線與平面之間的距離、求平面與平面之間的距離.若平面的斜線的方向向量為[n1]，平面的法向量為[n2]，則點到平面的距離為[d=n1cosn1，n2=n1?n2n2].

我們先根據(jù)正三棱柱的特征，建立空間直角坐標系，并求得各個點的坐標以及平面[A1BD]的法向量[AB1]；然后利用數(shù)量積公式求點[C]到平面[A1BD]的距離.在建立空間直角坐標系時，往往要根據(jù)題意和圖形尋找垂直關系，如直線之間的垂直關系、直線與平面之間的垂直關系，以確定坐標軸.

三、空間位置關系問題

空間位置關系主要是指點、線、面之間的位置關系，如平行、垂直、包含、重合等.運用空間向量求解空間位置關系問題，一般需在建立空間直角坐標系后，求得各個點、向量的坐標，并根據(jù)向量之間的關系進行判斷.一般地，已知[a、b]為直線a、b的方向向量，[n]為平面[α]的法向量，若[a//b]，則兩條直線平行或重合；若[a⊥b]，則兩條直線互相垂直；若[a//n]，則直線a與平面[α]垂直；若[a⊥n]，則直線a與平面[α]平行，或直線a在平面[α]內(nèi).

例4.在四棱錐[P-ABCD]中，平面[PAD⊥]平面[ABCD]，[PA⊥PD]，[PA=PD]，[AB⊥AD]，[AB=1]，[AD=2]，[AC=CD=5].那么在棱[PA]上是否存在點[M]，使[BM//]平面[PCD]，若存在，求出[AMAP]的值；若不存在，請說明理由.

用空間向量解答空間位置關系問題，需熟練掌握并運用向量運算法則以及共線定理，根據(jù)向量之間的平行、垂直關系判斷點、線、面之間的位置關系.

總之，運用空間向量解答空間角、空間距離、空間位置關系問題，只需建立合適的空間直角坐標系，通過空間向量運算即可求得問題的答案，能有效地提升解題的效率.