黎正再

證明數(shù)列不等式問題經(jīng)常出現(xiàn)在各類試題中.這類問題側(cè)重于考查同學(xué)們的觀察、分析和推理能力.下面結(jié)合實(shí)例，談一談下列三種證明數(shù)列不等式常用的方法.

一、比較法

運(yùn)用比較法證明數(shù)列不等式，往往要先將不等式兩側(cè)的式子作差、作商；然后將所得的差式和商式化簡、變形，并將其與0、1相比較，從而比較出不等式左右兩側(cè)式子的大小.

解答本題，要先根據(jù)等差數(shù)列的定義，運(yùn)用累加法求得[bn]的通項(xiàng)公式；然后將目標(biāo)不等式左右兩側(cè)的式子作差，并將差式化簡、變形，使其便于與0相比較，進(jìn)而證明不等式成立.運(yùn)用比較法解題的關(guān)鍵在于化簡差式、商式，通?？蓪⑵浞纸庖蚴健⑴涑赏耆椒绞?，以使所得的結(jié)果能直接與0、1相比較.

二、放縮法

放縮法是證明數(shù)列不等式的重要方法.有時(shí)在求得數(shù)列的通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和式后，無法得到想要的結(jié)果，這是就需將數(shù)列的通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和式放大或縮小，使其逐步與目標(biāo)式靠攏，以證明結(jié)論.在放縮時(shí)，要把握放縮的“度”，不可放得過大，也不能縮得過小.

解答本題主要運(yùn)用了放縮法.先將數(shù)列的通項(xiàng)公式進(jìn)行放縮，即[1n2>1n（n+1）=1n-1n+1]；然后通過裂項(xiàng)求和，求得數(shù)列的和[Sn]，從而比較出[an+1-13]與[Sn]的大小，證明不等式成立.

三、函數(shù)性質(zhì)法

數(shù)列是一類特殊的函數(shù)，其自變量為自然數(shù).對(duì)于較為復(fù)雜的數(shù)列不等式，我們可以將其視為函數(shù)問題來求解.先根據(jù)不等式的特點(diǎn)構(gòu)造出合適的函數(shù)模型；然后根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義，或?qū)Ш瘮?shù)與函數(shù)單調(diào)性之間的關(guān)系判斷出函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性或最值來證明不等式.

求得數(shù)列[cn]的前[n]項(xiàng)和[Sn]后，可將其視為關(guān)于n的函數(shù)式，根據(jù)指數(shù)函數(shù)、反比例函數(shù)的單調(diào)性判斷出新函數(shù)的單調(diào)性，即可根據(jù)新函數(shù)的單調(diào)性求得[Sn]的取值范圍，進(jìn)而證明不等式.通?？蓪⒉坏仁睫D(zhuǎn)化為一側(cè)為常數(shù)項(xiàng)或0的式子，將另外一側(cè)的式子視為關(guān)于n的函數(shù)式，再根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性解題.

相比較而言，比較法和放縮法較為常用，且較為簡單；函數(shù)性質(zhì)法適用于解答較為復(fù)雜的數(shù)列不等式問題.在解題時(shí)，我們需根據(jù)不等式的結(jié)構(gòu)特征選用與之相應(yīng)的方法進(jìn)行求解，這樣才能有效提升解題的效率.