韓萍

雙曲線是三大圓錐曲線之一.雙曲線問(wèn)題側(cè)重于考查雙曲線的定義、幾何性質(zhì)、方程.這類問(wèn)題對(duì)同學(xué)們的分析和運(yùn)算能力有較高的要求.下面就一道雙曲線問(wèn)題，探討一下求解此類問(wèn)題的常用方法.

例題：已知雙曲線[x2a2-y2b2=1（a>0，b>0）]的左右焦點(diǎn)分別為[F1，F(xiàn)2]，如圖所示.過(guò)[F1]的直線與雙曲線的兩條漸近線分別交于[A，B]兩點(diǎn).若[F1A=AB]，[F1B?F2B=0]，則雙曲線的離心率為_(kāi)_____.

一、參數(shù)法

參數(shù)法是解答圓錐曲線問(wèn)題的常用方法，即引入?yún)?shù)，將問(wèn)題中的直線、點(diǎn)、曲線等用參數(shù)表示出來(lái)，根據(jù)題意建立關(guān)系式，通過(guò)消參求得問(wèn)題的答案.在解答雙曲線問(wèn)題時(shí)，要根據(jù)題意引入合適的參數(shù)，可將點(diǎn)的坐標(biāo)，直線的傾斜角、截距，雙曲線的半焦距、虛軸、實(shí)軸等設(shè)為參數(shù)，并將其代入題設(shè)中進(jìn)行求解.

解法1.因?yàn)閇F1A=AB]，所以[A是F1B]的中點(diǎn)，

所以[OA]為[ΔF1F2B]的中位線，

由[F1B?F2B=0]可得[F1B⊥F2B]，[OA⊥F1A]，

所以在[ΔF1BF2]中，[OA]垂直平分[F1B]，

則[OB=OF1=OF2=c]，

設(shè)直線OB的傾斜角為[θ]，點(diǎn)[B（ccosθ，csinθ）]，

則[A（ccosθ-c2，csinθ2）]，

將其代入到雙曲線的一條漸近線方程[y=-bax]中，

得[csinθ2=-ba?ccosθ-c2]，[sinθ=ba?（1-cosθ）]，

所以[sinθ=tanθ（1-cosθ）]，

即[cosθ=1-cosθ]，解得[cosθ=12，θ=π3].

則[ba=3]，即[e=ca=1+（ba）2=2]，

即雙曲線的離心率為2.

我們引入?yún)?shù)[θ]，將其看作直線OB的傾斜角，并用其表示A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)，即可根據(jù)題意建立關(guān)于[θ]的方程，通過(guò)解方程求得[θ]的值，從而求得a、b、c之間的關(guān)系，進(jìn)而求得雙曲線的離心率.

解法2.設(shè)點(diǎn)[A]的坐標(biāo)為[（x0，y0）]，因?yàn)閇F1A=AB]，

則點(diǎn)[B]的坐標(biāo)為[（2x0+c，2y0）].

因?yàn)閇F1B?F2B=0]，所以[（2x0+c，2y0）?（2x0，2y0）=0]，

即[x02+cx0+y02=0]①.

因?yàn)閇A，B]兩點(diǎn)分別在兩條漸近線上，

所以[y0=-bax0]②，[2y0=ba（2x0+c）]③，

聯(lián)立①②③三式，消去[x0，y0]可得[c=2a]，

所以雙曲線的離心率為[e=ca=2].

這里引入?yún)?shù)[x0、y0]，設(shè)出A、B的坐標(biāo)，并將其代入題設(shè)中，建立方程①②③，通過(guò)恒等變換進(jìn)行消元，即可求得雙曲線的離心率.運(yùn)用參數(shù)法解題的關(guān)鍵在于根據(jù)解題需求選取合適的量設(shè)參，該設(shè)哪個(gè)點(diǎn)，如何設(shè)點(diǎn)，需慎重考慮.

二、幾何性質(zhì)法

雙曲線的幾何性質(zhì)較多，若雙曲線的方程為[x2a2-y2b2]＝1（a＞0，b＞0），則其范圍為x≥a或x≤-a，y∈R；對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸，對(duì)稱中心為（0，0）；兩支無(wú)限趨近于漸近線y＝±x.在解答雙曲線問(wèn)題時(shí)，可先根據(jù)題意和雙曲線的方程畫出圖形；然后將題目中的代數(shù)條件轉(zhuǎn)化為幾何條件，添加合適的輔助線，構(gòu)造三角形、梯形、矩形等，以利用平面幾何圖形的性質(zhì)解題.

解法3.因?yàn)閇F1A=AB]，所以[A是F1B的中點(diǎn)]，

所以[OA]為[ΔF1F2B]的中位線，

由[F1B?F2B=0]可得[F1B⊥F2B]，[OA⊥F1A]，

所以在[ΔF1OB]中，[OA]垂直平分[F1B]，

所以[OB=OF1=OF2]，可知[∠AOB=∠AOF1].

由漸近線的性質(zhì)可知[∠BOF2=∠AOF1]，

所以[∠BOF2=60°]，可得[ba=3]，

即[b=3a，c=2a]，所以[e=ca=2].

該解法主要運(yùn)用了雙曲線的漸近線的性質(zhì)、三角形中位線的性質(zhì)以及線段的垂直平分線的性質(zhì)，從而建立了幾何關(guān)系，據(jù)此建立a、b之間的關(guān)系式，求得雙曲線的離心率.

解法4.因?yàn)閇F1A=AB]，所以[A是F1B的中點(diǎn)]，

所以[OA]為[ΔF1F2B]的中位線，所以[OA//12BF2]，

由[F1B?F2B=0]可得[F1B⊥F2B]，[OA⊥F1A]，

設(shè)點(diǎn)[A]的坐標(biāo)為[（-a2c，abc）]，

因?yàn)閇A]為[F1B]的中點(diǎn)，

所以點(diǎn)[B]的坐標(biāo)為[（c-2a2c，2abc）]，

由直線的斜率公式可得[kOB=2abcc-2a2c]，

而OB為雙曲線的漸近線，所以[kOB=ba]，

則[kOB=2abcc-2a2c=ba]，可得[e=ca=2].

該解法主要運(yùn)用了雙曲線的漸近線的性質(zhì)、三角形中位線的性質(zhì)以及直線的斜率公式，并根據(jù)圖形建立幾何關(guān)系，據(jù)此建立a、b之間的關(guān)系式，求得雙曲線的離心率.

可見(jiàn)，解答雙曲線問(wèn)題需從雙曲線的方程和幾何性質(zhì)入手，通過(guò)引入?yún)?shù)來(lái)建立代數(shù)關(guān)系，或者利用平面幾何圖形的性質(zhì)來(lái)建立幾何關(guān)系，從而求得問(wèn)題的答案.