嚴(yán)云龍，姜文剛

（江蘇科技大學(xué) 自動(dòng)化學(xué)院，江蘇 鎮(zhèn)江 212100）

0 引言

四旋翼無(wú)人機(jī)是一種典型的欠驅(qū)動(dòng)、強(qiáng)耦合的非線性系統(tǒng)，其結(jié)構(gòu)相對(duì)簡(jiǎn)單、生產(chǎn)成本較低，在飛行過(guò)程中可以垂直起降，靈活改變姿態(tài)，并在固定位置懸停，因而在遙感、交通監(jiān)測(cè)、救災(zāi)、環(huán)境監(jiān)測(cè)、科研等領(lǐng)域發(fā)揮著越來(lái)越重要的作用［1-4］。

目前，四旋翼無(wú)人機(jī)的軌跡控制方法主要包括線性控制和非線性控制兩種。PID（Proportion Integration Differentiation）控制［5］和LQ（Linear Quadratic ）控制［6］是兩種結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單的線性控制技術(shù)，然而這兩種方法均需為四旋翼無(wú)人機(jī)系統(tǒng)提供高精度物理模型，當(dāng)系統(tǒng)受到未知?jiǎng)恿W(xué)的擾動(dòng)時(shí)，其在軌跡控制方面的魯棒性不盡如人意。反步控制［7］和反饋線性化［8］等非線性控制技術(shù)可以解決四旋翼無(wú)人機(jī)系統(tǒng)中固有的非線性和強(qiáng)耦合問(wèn)題。然而當(dāng)受控系統(tǒng)中存在不確定特性的干擾時(shí)，以上控制技術(shù)的性能得不到保證。為提高受到擾動(dòng)時(shí)控制方法的魯棒性，研究人員對(duì)PID 等線性控制策略進(jìn)行了改進(jìn)。例如文獻(xiàn)［9］使用粒子群優(yōu)化算法得到量化因子與比例因子，然后通過(guò)模糊化與反模糊處理動(dòng)態(tài)調(diào)節(jié)權(quán)重因子，從而強(qiáng)化PID 的抗干擾能力。同時(shí)研究者們也提出大量非線性控制策略，包括魯棒控制［10］、自適應(yīng)控制［11］、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制［12］、滑?？刂疲?3］、混合控制［14］等。

為解決復(fù)雜環(huán)境風(fēng)干擾情況下的四旋翼控制問(wèn)題，本文將反步控制理論、自適應(yīng)控制理論與分?jǐn)?shù)階PID 控制理論相結(jié)合，設(shè)計(jì)了一種內(nèi)外環(huán)采用不同控制策略的雙閉環(huán)控制器，并通過(guò)仿真比較實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了其控制性能。

1 四旋翼無(wú)人機(jī)動(dòng)力學(xué)模型

四旋翼無(wú)人機(jī)結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單，主流形態(tài)為X 型，具體如圖1所示。4 個(gè)電機(jī)是四旋翼無(wú)人機(jī)最重要的部分，飛行器通過(guò)4 個(gè)電機(jī)控制每個(gè)旋翼的轉(zhuǎn)速以實(shí)現(xiàn)不同類型的運(yùn)動(dòng)。建立飛行器的動(dòng)力學(xué)模型方程首先需要建立相應(yīng)的參考坐標(biāo)系［15］，分別為地面坐標(biāo)系E0（O0，X0，Y0，Z0）和機(jī)體坐標(biāo)系E（O，X，Y，Z），其中地面坐標(biāo)系用于確定無(wú)人機(jī)的位置信息，機(jī)體坐標(biāo)系用于衡量無(wú)人機(jī)的姿態(tài)。

Fig.1 Structure of quadcopter unmanned aerial vehicle圖1 四旋翼無(wú)人機(jī)結(jié)構(gòu)

為建立科學(xué)而不過(guò)于復(fù)雜的四旋翼無(wú)人機(jī)數(shù)學(xué)模型，本文作出以下假設(shè)［16-17］：①四旋翼無(wú)人機(jī)為對(duì)稱的剛體結(jié)構(gòu)，機(jī)體坐標(biāo)系的原點(diǎn)與機(jī)身質(zhì)心重合；②不考慮四旋翼槳葉的彈性形變，四旋翼質(zhì)心位置不受陀螺效應(yīng)的影響；③飛行過(guò)程中所受空氣阻力和重力不受飛行姿態(tài)的影響。

結(jié)合牛頓第二定律以及歐拉方程，建立如式（1）所示的四旋翼無(wú)人機(jī)數(shù)學(xué)模型：

式中：Ix、Iy、Iz分別為無(wú)人機(jī)繞X、Y、Z 軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；kx、ky、kz分別為無(wú)人機(jī)在飛行時(shí)的位置空氣阻力系數(shù)；kΦ、kθ、kΨ分別為無(wú)人機(jī)在飛行時(shí)的姿態(tài)空氣阻力系數(shù)；U1、U2、U3、U4為無(wú)人機(jī)的控制輸入；di(i=1，2，3)為無(wú)人機(jī)飛行時(shí)各個(gè)坐標(biāo)軸所受到的外界氣流干擾。

2 控制方案

2.1 四旋翼控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)

傳統(tǒng)整數(shù)階PID 控制算法僅為分?jǐn)?shù)階PID 的一種特殊情況，因此理論上分?jǐn)?shù)階PID 控制會(huì)有更高的上限。將整個(gè)飛行器控制系統(tǒng)分為內(nèi)、外環(huán)兩個(gè)回路，其中參照地面坐標(biāo)系的位置控制作為外環(huán)路，以機(jī)體坐標(biāo)系為基準(zhǔn)的飛行器姿態(tài)控制作為內(nèi)環(huán)路。然而兩個(gè)賄賂參數(shù)都是固定的，無(wú)法響應(yīng)外界干擾，又因四旋翼的姿態(tài)對(duì)其速度與方向有重大影響，故本文在內(nèi)環(huán)采用反步自適應(yīng)控制器，外環(huán)采用不完全微分的分?jǐn)?shù)階PID 控制器?；诟倪M(jìn)反步自適應(yīng)分?jǐn)?shù)階PID 的四旋翼無(wú)人機(jī)控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)如圖2 所示，其 中xd、yd、zd、Φd、θd、Ψd為期望的位置與姿態(tài)角，x、y、z、Φ、θ、Ψ 為實(shí)際的位置與姿態(tài)角，U1、U2、U3、U4為控制輸入量。

Fig.2 Four rotor UAV control system structure圖2 四旋翼無(wú)人機(jī)控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)

四旋翼無(wú)人機(jī)的非線性動(dòng)力學(xué)方程可改寫(xiě)為狀態(tài)方程的形式。表示為：

令Ux、Uy、Uz分別為四旋翼無(wú)人機(jī)在X、Y、Z 軸方向上的控制力，由式（1）可知，Ux、Uy、Uz與控制輸入U(xiǎn)1以及姿態(tài)角Φ、θ、Ψ的關(guān)系可表示為：

根據(jù)式（3）可以計(jì)算出U1與期望姿態(tài)角θd、Ψd。表示為：

2.2 外環(huán)分?jǐn)?shù)階PID控制器

分?jǐn)?shù)階微積分表達(dá)式為：

式中：m 和n 分別為分?jǐn)?shù)階微積分中積分的上限和下限；x 表示階次可取任意實(shí)數(shù)，如果x 取整數(shù)，即表示整數(shù)階微積分，反之則表示分?jǐn)?shù)階微積分。若x 大于0，nDm x表示微分，反之則代表積分。

本文采用Caputo 的分?jǐn)?shù)階微積分定義用于分?jǐn)?shù)階PID的算子［18］。具體表達(dá)式為：

式中：m-1 ＜a ＜m，m∈N。

傳統(tǒng)整數(shù)階PID 控制需要對(duì)比例、積分、微分3 個(gè)環(huán)節(jié)的參數(shù)進(jìn)行整定，從而實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)控制目標(biāo)。分?jǐn)?shù)階PID 控制相較整數(shù)階PID 控制拓寬了積分與微分環(huán)節(jié)的階次范圍，即增加了λ與μ兩個(gè)控制參數(shù)，這意味著分?jǐn)?shù)階PID 控制有更廣的控制范圍，性能上限也更高。傳統(tǒng)PID 控制引入微分信號(hào)雖然可以改善系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能，但也可能增強(qiáng)干擾的影響，尤其是環(huán)境風(fēng)具有不確定性與突發(fā)性。因此，本文在分?jǐn)?shù)階PID 的微分環(huán)節(jié)增加一個(gè)低通濾波器，以降低階躍信號(hào)帶來(lái)的抖動(dòng)影響，同時(shí)通過(guò)前饋控制器補(bǔ)償擾動(dòng)。改進(jìn)后的分?jǐn)?shù)階PID 結(jié)構(gòu)如圖3所示。

Fig.3 Improved fractional PID structure圖3 改進(jìn)后的分?jǐn)?shù)階PID結(jié)構(gòu)

在四旋翼無(wú)人機(jī)控制系統(tǒng)中，外環(huán)部分控制飛行器到達(dá)預(yù)定位置或沿預(yù)先設(shè)計(jì)的軌道飛行。在得到輸入指令后，外環(huán)部分計(jì)算出預(yù)期姿態(tài)角，由內(nèi)環(huán)姿態(tài)控制器追蹤期望姿態(tài)角得出實(shí)際姿態(tài)角，從而實(shí)現(xiàn)位置追蹤。改進(jìn)的分?jǐn)?shù)階PID 控制器輸出為：

式中：Kpm、Kdm、Kim（m取x、y、z）分別為各個(gè)坐標(biāo)軸通道的比例、微分、積分參數(shù)；λ、μ分別為分?jǐn)?shù)階PID 的積分階次與微分階次；Tf為濾波器參數(shù)；Um(s)、Em(s)、Rm(s)、Gm(s)（m取x、y、z）分別為各個(gè)坐標(biāo)軸通道的控制量、輸入與輸出誤差、輸入量以及系統(tǒng)傳遞函數(shù)。

2.3 內(nèi)環(huán)反步自適應(yīng)控制器

定 義Xd=[Φd、θd、Ψd]T為期望姿態(tài)角向量，X=[?、θ、ψ]T為實(shí)際姿態(tài)角向量，E1=Xd-X為姿態(tài)誤差向量。由式（2）可得：

根據(jù)Lyapunov 穩(wěn)定性理論，選取正定的Lyapunov 函數(shù)V1。表示為：

對(duì)式（9）求導(dǎo)，得：

定義速度跟蹤誤差為：

式中：K1=[k1，k3，k5]T，k1、k3、k5 均為大于0 的常數(shù)。由此構(gòu)造二階Lyapunov 函數(shù)V2，可得：

對(duì)式（12）求導(dǎo)，得：

將式（14）代入式（13）中，得：

定義新的Lyapunov 函數(shù)V3為：

式中：λ為常數(shù)向量，λ=［λ1，λ2，λ3］T。

對(duì)式（16）求導(dǎo)，得：

2.4 外界自然風(fēng)干擾模型

四旋翼無(wú)人機(jī)易受外氣流干擾，最常見(jiàn)的氣流為自然風(fēng)。自然風(fēng)具有突發(fā)性、持續(xù)性、周期性和不確定性等特點(diǎn)，需要考慮多種情況。參考文獻(xiàn)［17］中介紹的包含基本風(fēng)、漸變風(fēng)、隨機(jī)風(fēng)的風(fēng)場(chǎng)，建立其對(duì)四旋翼無(wú)人機(jī)的干擾模型。

基本風(fēng)表示為：

漸變風(fēng)表示為：

隨機(jī)風(fēng)表示為：

式中：v為基本風(fēng)的風(fēng)速，vmax為漸變風(fēng)的瞬時(shí)最大風(fēng)速，vmax2為隨機(jī)風(fēng)的瞬時(shí)最大風(fēng)速，ωn分別為?、θ、ψ。

綜合上述3 種風(fēng)帶來(lái)的干擾可以模擬四旋翼無(wú)人機(jī)在面對(duì)自然風(fēng)時(shí)沿各個(gè)坐標(biāo)軸方向所受的干擾量。以X軸為例：

假設(shè)基本風(fēng)速a=2 m/s；漸變風(fēng)于t0=2 s，t1=4 s，t2=6 s 時(shí)刻發(fā)生變化，漸變風(fēng)最大風(fēng)速為1.5 m/s；隨機(jī)風(fēng)的峰值速度為3 m/s，其具體仿真效果如圖4所示。

Fig.4 Interference of ambient wind on X-axis of quadrotor UAV圖4 環(huán)境風(fēng)對(duì)四旋翼無(wú)人機(jī)x軸的干擾

3 仿真實(shí)驗(yàn)與結(jié)果分析

對(duì)本文所提控制法與傳統(tǒng)PID 控制法、反步自適應(yīng)控制法進(jìn)行性能比較。在MATLAB/Simulink 環(huán)境下分別搭建采用以上3 種控制器的四旋翼無(wú)人機(jī)系統(tǒng)模型，具體參數(shù)如表1 所示。通過(guò)仿真實(shí)驗(yàn)比較3 種控制策略在四旋翼無(wú)人機(jī)受到風(fēng)場(chǎng)擾動(dòng)時(shí)的控制效果。

Table 1 Parameter settings of quadrotor UAV表1 四旋翼無(wú)人機(jī)參數(shù)設(shè)置

設(shè)定起始位置為地面坐標(biāo)系E0的原點(diǎn)，各姿態(tài)角初始值均為0。參考文獻(xiàn)［11］與文獻(xiàn)［14］，再結(jié)合不斷仿真調(diào)試優(yōu)化，最終反步自適應(yīng)分?jǐn)?shù)階PID 控制器的參數(shù)設(shè)置如表2 所示。作為對(duì)照的傳統(tǒng)PID 控制器與反步自適應(yīng)控制器參數(shù)設(shè)置參照文獻(xiàn)［11］與文獻(xiàn)［14］。

Table 2 Parameter settings of controller表2 控制器參數(shù)設(shè)置

設(shè)定四旋翼無(wú)人機(jī)預(yù)期位置為x=10 m，y=10 m，z=10 m，ψ=0.2 rad。首先忽略漸變風(fēng)與隨機(jī)風(fēng)的影響，僅考慮基本風(fēng)，則傳統(tǒng)整數(shù)階PID 控制器、反步自適應(yīng)控制器以及本文設(shè)計(jì)的改進(jìn)反步自適應(yīng)分?jǐn)?shù)階PID 控制器對(duì)四旋翼無(wú)人機(jī)的控制效果如圖5 所示?？梢钥闯?，傳統(tǒng)整數(shù)階PID 控制器在基本風(fēng)干擾下雖然可以在有限時(shí)間內(nèi)使飛行器達(dá)到預(yù)定值，但其調(diào)節(jié)時(shí)間較長(zhǎng)且出現(xiàn)超調(diào)量，具有對(duì)外界干擾缺乏抵抗能力的缺點(diǎn)；反步自適應(yīng)控制器與本文設(shè)計(jì)的反步自適應(yīng)分?jǐn)?shù)階PID 控制器在該場(chǎng)景下均能有效抑制外界干擾，實(shí)現(xiàn)四旋翼無(wú)人機(jī)對(duì)預(yù)定軌跡的準(zhǔn)確跟蹤，但本文設(shè)計(jì)的控制算法所需調(diào)節(jié)時(shí)間更短、性能更佳。

Fig.5 Control effect under basic wind圖5 基本風(fēng)下的控制效果

在復(fù)雜環(huán)境風(fēng)干擾下進(jìn)行仿真，PID、反步自適應(yīng)以及本文設(shè)計(jì)的反步自適應(yīng)分?jǐn)?shù)階PID 算法對(duì)四旋翼無(wú)人機(jī)的控制效果如圖6所示。

Fig.6 Control effect under complicated ambient wind圖6 復(fù)雜環(huán)境風(fēng)下的控制效果

可以看出，傳統(tǒng)整數(shù)階PID 控制在面對(duì)環(huán)境風(fēng)之類復(fù)雜多變的干擾時(shí)控制效果進(jìn)一步下降，所需調(diào)節(jié)時(shí)間更長(zhǎng)的同時(shí)超調(diào)量波動(dòng)也更大，反映了傳統(tǒng)PID 控制易受外界干擾影響的缺點(diǎn)；反步自適應(yīng)算法控制下的四旋翼無(wú)人機(jī)在環(huán)境風(fēng)干擾下也能相對(duì)準(zhǔn)確地追蹤預(yù)定軌跡，但仍存在一定的穩(wěn)態(tài)誤差；本文設(shè)計(jì)的反步自適應(yīng)分?jǐn)?shù)階PID 算法結(jié)合了上述兩種算法的優(yōu)點(diǎn)，在快速性、準(zhǔn)確性、穩(wěn)定性3個(gè)方面均優(yōu)于傳統(tǒng)PID 算法與反步自適應(yīng)算法。

圖7、圖8、圖9 分別展示了環(huán)境風(fēng)干擾下本文控制算法、反步自適應(yīng)算法、傳統(tǒng)整數(shù)階PID 算法的姿態(tài)控制效果?？梢钥闯?，傳統(tǒng)整數(shù)階PID 算法控制下的飛行器能基本響應(yīng)姿態(tài)解算模塊解得的預(yù)定姿態(tài)角，但當(dāng)預(yù)定姿態(tài)角發(fā)生劇烈變化時(shí)控制器難以快速響應(yīng)，從而影響無(wú)人機(jī)的實(shí)際軌跡，控制效果不理想；采用反步自適應(yīng)算法的姿態(tài)變化曲線相較采用傳統(tǒng)整數(shù)階PID 算法更貼合預(yù)定變化曲線，且到達(dá)穩(wěn)定狀態(tài)用時(shí)更短，表明其響應(yīng)速度與準(zhǔn)確度均有所提高；采用本文算法控制的四旋翼無(wú)人機(jī)相較于反步自適應(yīng)控制再次提高了跟蹤精度且縮短了響應(yīng)時(shí)間，即使預(yù)定姿態(tài)角發(fā)生劇烈變化也能及時(shí)調(diào)整。原因在于傳統(tǒng)整數(shù)階PID 控制是典型的線性控制器，面對(duì)復(fù)雜環(huán)境風(fēng)的干擾下魯棒性不足，超調(diào)量與調(diào)節(jié)時(shí)間遠(yuǎn)遠(yuǎn)超過(guò)其余兩種控制器；反步自適應(yīng)控制有效提高了系統(tǒng)的魯棒性，降低了超調(diào)量，但在接近預(yù)期值時(shí)速度會(huì)顯著降低；本文設(shè)計(jì)的反步自適應(yīng)分?jǐn)?shù)階PID 控制保留了反步自適應(yīng)控制的優(yōu)點(diǎn)，加入改進(jìn)后的分?jǐn)?shù)階PID 控制，通過(guò)低通濾波器減少高頻擾動(dòng)的干擾，同時(shí)引入前饋補(bǔ)償提高了系統(tǒng)的跟蹤性能，效率與準(zhǔn)確率均有所提升。

Fig.7 Attitude tracking results of the proposed controller圖7 本文控制器姿態(tài)追蹤結(jié)果

Fig.8 Attitude tracking results of backstep adaptive controller圖8 反步自適應(yīng)控制器姿態(tài)追蹤結(jié)果

Fig.9 Attitude tracking results of traditional integer order PID control algorithm圖9 傳統(tǒng)整數(shù)階PID控制器姿態(tài)追蹤結(jié)果

根據(jù)仿真結(jié)果分別計(jì)算3 種控制策略的平方誤差積分值（Square Error Integral，SEI），結(jié)果見(jiàn)表3。疊加不同算法各個(gè)坐標(biāo)軸的SEI 值進(jìn)行分析，可得本文控制器的SEI值較反步自適應(yīng)控制器降低約27%，較傳統(tǒng)PID 控制器降低約53%，證明改進(jìn)后的反步自適應(yīng)分?jǐn)?shù)階PID 控制法可使四旋翼無(wú)人機(jī)快速、平穩(wěn)地抵達(dá)預(yù)期位置。

Table 3 SEI values of 3 control strategies表3 3種控制策略的SEI值

4 結(jié)語(yǔ)

本文對(duì)四旋翼無(wú)人機(jī)的飛行原理以及模型進(jìn)行分析，以反步控制理論、自適應(yīng)控制理論、PID 控制理論為基礎(chǔ)提出一種對(duì)四旋翼無(wú)人機(jī)內(nèi)外環(huán)分別采用反步自適應(yīng)控制、改進(jìn)分?jǐn)?shù)階PID 控制的策略，并通過(guò)仿真實(shí)驗(yàn)證實(shí)了改進(jìn)控制策略對(duì)無(wú)人機(jī)姿態(tài)的追蹤性能突出，具有魯棒性強(qiáng)、響應(yīng)速度快、準(zhǔn)確性高等優(yōu)點(diǎn)。然而本文提出的控制策略仍存在以下待改進(jìn)之處：①忽略了陀螺效應(yīng)對(duì)四旋翼無(wú)人機(jī)的影響，雖然降低了建模復(fù)雜度，但也因此使無(wú)人機(jī)的建模狀態(tài)與實(shí)際工作狀態(tài)產(chǎn)生偏差，未來(lái)需要考慮陀螺效應(yīng)；②參數(shù)整定更多依賴經(jīng)驗(yàn)，無(wú)法最優(yōu)化算法性能，未來(lái)可通過(guò)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)等智能手段獲取更優(yōu)秀的參數(shù)；③理想適用范圍存在局限，可考慮引入動(dòng)態(tài)調(diào)節(jié)的特性擴(kuò)大該控制算法的理想適用范圍。