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        重組架構(gòu)聚核心 說理溯源促交融
        ——以“交換律和結(jié)合律”一課為例

        2023-10-31 03:21:04浙江義烏市實(shí)驗(yàn)小學(xué)教育集團(tuán)322000龔哲榮
        小學(xué)教學(xué)參考 2023年23期
        關(guān)鍵詞:教材學(xué)生

        浙江義烏市實(shí)驗(yàn)小學(xué)教育集團(tuán) (322000) 龔哲榮

        《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2022 年版)》指出,通過實(shí)際問題和具體計(jì)算,引導(dǎo)學(xué)生用歸納的方法探索運(yùn)算律、用字母表示運(yùn)算律,感知運(yùn)算律是確定算理和算法的重要依據(jù),形成初步的代數(shù)思維。運(yùn)算律的探索是學(xué)生在小學(xué)階段第一次全程經(jīng)歷合情推理的數(shù)學(xué)活動(dòng),正確運(yùn)用運(yùn)算律是形成運(yùn)算能力的關(guān)鍵,運(yùn)算律與運(yùn)算的意義、法則是并存的。

        一、課前慎思

        1.教材對(duì)比分析

        現(xiàn)行五個(gè)版本的小學(xué)數(shù)學(xué)教材對(duì)運(yùn)算律內(nèi)容的編排有所不同(見表1)。

        表1 不同版本教材運(yùn)算律編排情況

        五個(gè)版本教材都把乘法分配律編排在最后面,加法、乘法交換律和加法、乘法結(jié)合律的編排順序各不相同。

        推理路徑一般為“舊知引入→發(fā)現(xiàn)共性→舉例驗(yàn)證→總結(jié)規(guī)律→具體應(yīng)用”,在引入環(huán)節(jié)有解決問題和直接計(jì)算兩種方式。此外,北師大版教材在總結(jié)規(guī)律之后,還特別新增了事例解釋環(huán)節(jié)。

        在溝通運(yùn)算律與計(jì)算之間的聯(lián)系上,北師大版教材和人教版教材都把結(jié)合律與驗(yàn)算、乘法分配律與乘法豎式聯(lián)系起來。五個(gè)版本教材都沒有涉及結(jié)合律的聯(lián)系感知。

        2.學(xué)生學(xué)情調(diào)查

        為了準(zhǔn)確把握教學(xué)起點(diǎn),厘清教學(xué)順序,筆者對(duì)本校三年級(jí)學(xué)生進(jìn)行前測(cè)。前測(cè)情況如下。

        (1)“解決問題”的前測(cè)情況如圖1所示。

        圖1

        分析:學(xué)生在解題過程中偏向按數(shù)字出現(xiàn)的先后順序進(jìn)行列式。

        (2)“計(jì)算對(duì)比”的前測(cè)情況如圖2所示。

        圖2

        分析:超過75%的學(xué)生能夠發(fā)現(xiàn)運(yùn)用交換律、結(jié)合律進(jìn)行計(jì)算的結(jié)果不變,近50%的學(xué)生對(duì)算式的特征有所發(fā)現(xiàn)。

        二、課堂實(shí)踐

        通過教材對(duì)比分析,結(jié)合學(xué)生學(xué)情調(diào)查,筆者選擇從具體計(jì)算入手,對(duì)四種運(yùn)算律進(jìn)行結(jié)構(gòu)重組,采取整體教學(xué),聚焦四種運(yùn)算律的本質(zhì)特征。

        1.算式對(duì)比,聚焦差異

        師:有兩組沒有運(yùn)算符號(hào)的式子(如圖3),請(qǐng)你仔細(xì)觀察每組式子,你有什么發(fā)現(xiàn)?

        圖3

        生1:第1 組的第一個(gè)式子,5 在前,3 在后;第二個(gè)式子,3在前,5在后,它們的位置交換了。

        生2:第2組式子中,小括號(hào)位置變了。

        師:小括號(hào)的位置變了,在運(yùn)算的時(shí)候什么也會(huì)發(fā)生改變?

        生3:運(yùn)算順序會(huì)發(fā)生改變。

        師:這兩組式子中什么沒有變?

        生4:每組數(shù)字都沒變。

        師:同學(xué)們真能干,發(fā)現(xiàn)了第1 組式子兩個(gè)數(shù)位置交換,第2組式子小括號(hào)位置變了。

        【設(shè)計(jì)意圖】針對(duì)交換律和結(jié)合律的“交換”和“結(jié)合”這一核心,筆者直接呈現(xiàn)兩組最簡(jiǎn)單的只有數(shù)字的式子,消除符號(hào)干擾,讓學(xué)生對(duì)比觀察,發(fā)現(xiàn)式子的變化本質(zhì):每組數(shù)字都沒變;第1 組數(shù)的前后位置變了,第2組數(shù)的運(yùn)算順序變了。

        2.猜測(cè)論證,探索規(guī)律

        任務(wù)一:添符號(hào)

        師:如果上面式子里的所有圈中只能填同一種運(yùn)算符號(hào),你覺得填哪種運(yùn)算符號(hào)能使每組式子的運(yùn)算結(jié)果相同?

        生1:填“+”。第1 組,5+3=8,3+5=8;第2 組,(24+6)+2=32,24+(6+2)=32,結(jié)果都相等。

        師:有誰(shuí)填不一樣的符號(hào)?

        生2:我填的是“×”。第1 組,5×3=15,3×5=15;第2 組,(24×6)×2=288,24×(6×2)=288,結(jié)果也都相等。

        師:填“-”或“÷”可以嗎?

        生3:3-5,是小數(shù)減大數(shù),不夠減。

        生4:(24-6)-2=16,24-(6-2)=20。它們的結(jié)果不相等。

        生5:(24÷6)÷2=2,24÷(6÷2)=8。它們的結(jié)果也不相等。

        師:看來只有填“+”或“×”的時(shí)候,加數(shù)(乘數(shù))交換位置或改變運(yùn)算順序,算出來的結(jié)果是不變的。

        任務(wù)二:變數(shù)字

        師:如果把這幾個(gè)數(shù)變一變,剛才我們的發(fā)現(xiàn)還成立嗎?請(qǐng)你試著照樣子變一變。

        學(xué)生嘗試,交流反饋。

        生1:7+8=8+7=15,7×8=8×7=56。(25+8)+3=25+(8+3)=36,(25×8)×3=25×(8×3)=600。

        師:換成其他數(shù)可以嗎?

        生2:可以。

        師:你覺得能換多少個(gè)數(shù)字?

        生3:無數(shù)個(gè)。

        師:看來不管數(shù)怎么變,這個(gè)規(guī)律都是成立的。像這種兩個(gè)數(shù)交換位置,結(jié)果不變的規(guī)律叫交換律。加法時(shí)就是加法交換律,乘法時(shí)就是乘法交換律。像這樣改變運(yùn)算順序但結(jié)果不變的規(guī)律叫結(jié)合律。加法的就是加法結(jié)合律,乘法的就是乘法結(jié)合律。

        任務(wù)三:用字母

        師:這樣的例子有無數(shù)個(gè),那能不能統(tǒng)一用一個(gè)式子表示?

        生1:可以用字母來代替數(shù)字,a+b=b+a。

        師:按照這位同學(xué)的方法,其他式子可以怎么表示?

        生2:a×b=b×a。

        生3:(a+b)+c=a+(b+c)。

        生4:(a×b)×c=a×(b×c)。

        【設(shè)計(jì)意圖】通過對(duì)沒有運(yùn)算符號(hào)的兩組式子填入加、減、乘、除四種運(yùn)算符號(hào)的嘗試、驗(yàn)證,發(fā)現(xiàn)只有相加或相乘時(shí)結(jié)果不變。針對(duì)這一結(jié)論,通過“變數(shù)字”活動(dòng)進(jìn)行舉例驗(yàn)證,從而體會(huì)規(guī)律的一般性。然后運(yùn)用不完全歸納法總結(jié)運(yùn)算律,并嘗試用字母來表示運(yùn)算律。整個(gè)教學(xué)環(huán)節(jié)讓學(xué)生完整經(jīng)歷了一次合情推理的過程,積累活動(dòng)經(jīng)驗(yàn),萌發(fā)推理意識(shí)。

        3.事例解釋,深化內(nèi)涵

        師:剛才我們用舉例子的方法歸納總結(jié)加法、乘法的交換律和結(jié)合律,那它們?yōu)槭裁闯闪⒛??你能結(jié)合例子(如圖4),嘗試解釋算式的意義嗎?

        圖4

        生1:5+3 表示一支中性筆的價(jià)錢加上一塊橡皮的價(jià)錢,一共是8 元。3+5 表示一塊橡皮的價(jià)錢加上一支中性筆的價(jià)錢,也是8元。

        生2:不管是先算男生和女生跳繩人數(shù),再加上女生踢毽子人數(shù),還是先算女生跳繩和踢毽子人數(shù),再加上男生人數(shù),最后加起來結(jié)果都一樣。

        ……

        師:對(duì)比算式中的變化,實(shí)際只是改變了什么?

        生3:只是改變了計(jì)算的先后順序,最終的結(jié)果是不變的。

        師:看來生活道理和數(shù)學(xué)中的運(yùn)算律的道理是一樣的。

        【設(shè)計(jì)意圖】借助學(xué)生熟悉的現(xiàn)實(shí)生活事例,解釋不同運(yùn)算順序表示的含義,深化學(xué)生對(duì)運(yùn)算律現(xiàn)實(shí)意義的理解,從而體會(huì)生活事理和數(shù)學(xué)算理的一致性。

        4.應(yīng)用拓展,內(nèi)化提升

        師:請(qǐng)用數(shù)字32 編一道可以運(yùn)用交換律和結(jié)合律進(jìn)行簡(jiǎn)便計(jì)算的算式。

        生1:32×50×2=32×(50×2)=32×100=3200。

        生2:32+55+19+67+1+45+181=(32+67+1)+(55+45)+(19+181)=100+100+200=400。

        師:為什么以上兩位同學(xué)寫的算式要么都是用“+”,要么都是用“×”?

        生3:在加法和乘法中才能用這些運(yùn)算律。

        師:在連加、連乘的時(shí)候,可以用交換律和結(jié)合律進(jìn)行簡(jiǎn)便運(yùn)算。

        【設(shè)計(jì)意圖】通過“為什么都是加號(hào)和乘號(hào)”的問題,引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)在連加、連乘的情況下,可以運(yùn)用交換律和結(jié)合律進(jìn)行簡(jiǎn)便計(jì)算,提升運(yùn)算律運(yùn)用的廣度,發(fā)展學(xué)生的運(yùn)算能力。

        三、課后反思

        1.四律內(nèi)核互通,發(fā)展核心素養(yǎng)

        加法交換律和結(jié)合律、乘法交換律和結(jié)合律,除了運(yùn)算符號(hào)不同,其結(jié)構(gòu)是相同的。交換律是兩個(gè)數(shù)交換位置,結(jié)合律是借助小括號(hào)來改變運(yùn)算順序,而交換位置其實(shí)也是計(jì)算的先后順序發(fā)生了改變。由此可見,交換律和結(jié)合律的本質(zhì)就是改變運(yùn)算順序,這也是同時(shí)運(yùn)用交換律和結(jié)合律延伸到多個(gè)數(shù)相加或相乘進(jìn)行簡(jiǎn)便運(yùn)算的原因。

        在教學(xué)時(shí)逐層深入,從兩、三個(gè)數(shù)的計(jì)算延展到多個(gè)數(shù)的計(jì)算,并聚焦于在連加或連乘的情況下,運(yùn)用交換律和結(jié)合律進(jìn)行簡(jiǎn)便計(jì)算,從而提升學(xué)生的運(yùn)算能力和推理意識(shí)。

        2.理律內(nèi)錯(cuò)互融,架構(gòu)整體思維

        算理是算法的基礎(chǔ),算法是對(duì)算理的一種技能概括,運(yùn)算律是算法的再次優(yōu)化,又是算理意義理解和算法計(jì)算方法的支撐。三者相互依存,交錯(cuò)相融。

        數(shù)學(xué)源自對(duì)現(xiàn)實(shí)世界的觀察、思考和表達(dá),數(shù)學(xué)最終用于解釋現(xiàn)實(shí)世界的數(shù)量關(guān)系和客觀規(guī)律。計(jì)算教學(xué)的核心是對(duì)算理的理解。小學(xué)階段的規(guī)律探索都是運(yùn)用合情推理,是一種不完全歸納法。為此,及時(shí)借助生活事例、幾何圖形等多元表征有助于提升學(xué)生理解數(shù)學(xué)規(guī)律,發(fā)現(xiàn)數(shù)理和生活事理的一致性。

        綜上所述,教師遵循規(guī)律探索的基本路徑,讓學(xué)生經(jīng)歷“發(fā)現(xiàn)特例—舉例驗(yàn)證—排除反例—?dú)w納總結(jié)”的過程,在發(fā)現(xiàn)規(guī)律之后,借助身邊的事例解釋運(yùn)算律,力求讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)與生活的相通性。引導(dǎo)學(xué)生感知運(yùn)算律既是一種運(yùn)算規(guī)律,又是算理的基礎(chǔ),更是后續(xù)學(xué)習(xí)的依據(jù),從而體會(huì)算理、算法、運(yùn)算律的一致性。

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