高八民 西藏山南市乃東區(qū)中學(xué)

幾何綜合問題是初中數(shù)學(xué)中覆蓋面廣、綜合性強(qiáng)的一類問題，在西藏初中學(xué)業(yè)水平考試中也是重要的必考內(nèi)容，是數(shù)學(xué)素養(yǎng)考查區(qū)分度的核心體現(xiàn)。從初中數(shù)學(xué)的教學(xué)理念來看，《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年）》明確提出“三會”的核心素養(yǎng)內(nèi)容，更加注重對幾何直觀、空間觀念、推理能力、模型觀念、創(chuàng)新意識等素養(yǎng)的培養(yǎng)，而這些數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培養(yǎng)、考查與評價(jià)都將以數(shù)學(xué)綜合題型作為載體。在西藏初中階段，幾何綜合問題一直以來不僅僅是學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的薄弱環(huán)節(jié)，同時(shí)也是初中數(shù)學(xué)教師在課堂教學(xué)中難以高效處理的困惑所在。幾何畫板是數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)用最為廣泛的專業(yè)教學(xué)工具，在教育信息化時(shí)代,利用幾何畫板有層次地實(shí)現(xiàn)幾何綜合問題的有序梳理和分析對于幾何以及代數(shù)綜合問題的突破教學(xué)來說無疑是高效的。下面以2021年西藏初中數(shù)學(xué)學(xué)業(yè)水平考試第26題（2）為例展開多路徑的解題分析，談?wù)劰P者利用幾何畫板解決幾何綜合問題的探索與思考。

一、原題呈現(xiàn)

如圖，AB是⊙O的直徑，OC是半徑，延長OC至點(diǎn)D.連接AD，AC，BC.使∠CAD＝∠B．

（1）求證：AD是⊙O的切線；

（2）若AD＝4，，求BC的長．

這是一道考查勾股定理、三角形相似判定和性質(zhì)、解直角三角形以及輔助作圖等知識點(diǎn)的幾何綜合題型。第（1）問主要是對學(xué)生掌握“直徑所對的圓周角是90° ”這一知識點(diǎn)和“等量代換”思想的考查，第（2）問則需要整合已知條件在充分體會考查數(shù)學(xué)知識和思想方法的基礎(chǔ)之上，通過輔助作圖創(chuàng)造性地構(gòu)造相似模型，結(jié)合勾股定理、相似和直角三角函數(shù)實(shí)現(xiàn)問題的解決。下面主要通過幾何畫板軟件呈現(xiàn)解題的圖形演示步驟展開一題多解的解法探究并思考總結(jié)幾何畫板軟件在解決這類問題和教學(xué)中的價(jià)值。

二、幾何畫板軟件呈現(xiàn)例題多元解題思路探究

（一）思路一：三角形內(nèi)作已知線段上的高構(gòu)建相似三角形

解法：過點(diǎn)C作CE⊥AD于點(diǎn)E，則AB‖CE.

在RtΔACE中，設(shè)CE=x，∵，∴AE=2x，，DE=4-2x.

在Rt△ACB中，∵∠B=∠CAD，∴,AB=5x，.

由AB‖CE得△CED～△OAD，有：，，解得.

圖1 幾何畫板呈現(xiàn)在三角形內(nèi)作已知線段高的解題邏輯

評析：從幾何畫板對于這一解題過程的邏輯呈現(xiàn)可以看出，這一解題思路的特點(diǎn)在于通過輔助作圖構(gòu)建的“A”型相似三角形極為直觀，同時(shí)能夠緊扣已知條件，構(gòu)造直角三角形對題目中“三角函數(shù)”這一已知條件加以直接利用，進(jìn)而表示出各線段之間的關(guān)系，再利用相似三角形列出比例方程解決問題。根據(jù)教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，教師不難發(fā)現(xiàn)這一思路正是大多數(shù)學(xué)生的一貫做法，而學(xué)生面臨的困難則在于解題過程中的“已知線段”不能直接運(yùn)用于計(jì)算，學(xué)生即使能夠較為直觀地觀察到相似三角形的存在，但需要通過參數(shù)表示的線段數(shù)量較多，容易給學(xué)生構(gòu)建相似比帶來判斷上的誤導(dǎo)。教師教學(xué)難點(diǎn)則在于需要分析的三角形多而雜，難以聚焦，幾何畫板軟件通過對三角形不同的著色和對相關(guān)三角形有順序的隱藏與顯示，能夠起到很好的聚焦作用，也能夠更好厘清解決問題的邏輯。

（二）思路二：延長BC 與已知線段相交構(gòu)建相似三角形

解法：延長BC交AD 于點(diǎn)E，則△ACE為Rt△.

在Rt△ACE中，設(shè)CE=x，∵，∴AC=2x，，.

由∠B=∠CAD，∠B=∠OCB，∠OCB=∠ECD可得∠ECD=∠CAD，

又∵∠EDC=∠CDA，∴△CED～ACD，有：,

解得DC=2,.∴.

在Rt△ACB中，∵∠B=∠CAD，∴.

圖2 幾何畫板呈現(xiàn)延長BC與已知線段相交的解題邏輯

評析：從這一解題思路的邏輯呈現(xiàn)可以直觀地感知，在構(gòu)建直角三角形的過程中，題目中“三角函數(shù)”這一已知條件得到了直接運(yùn)用，但相比“思路一”，要找出有用的相似三角形來構(gòu)建相似比解決問題并不十分容易。進(jìn)一步對運(yùn)用“思路二”解題的學(xué)生進(jìn)行追蹤，能夠發(fā)現(xiàn)考慮以同樣方式進(jìn)行輔助作圖的學(xué)生其實(shí)不在少數(shù)，但在之后的推理探究中，學(xué)生往往是因?yàn)閺?fù)雜的線段表示和難以發(fā)現(xiàn)的相似三角形而放棄了這一思路。學(xué)生能夠產(chǎn)生這一解題思路的前提首先是要能夠初步判斷出這一輔助作圖所分割出的小三角形和原來大三角形之間存在著“母子”型相似關(guān)系。因此，教師在教學(xué)過程中能倚重的正是幾何畫板帶來的角與角之間直觀化的等量代換，從而為三角形的相似提供依據(jù)，當(dāng)然也可以通過翻轉(zhuǎn)動(dòng)畫的形式使得兩個(gè)相似三角形的呈現(xiàn)更加地清晰和直觀。

（三）思路三：作關(guān)聯(lián)線段的垂線構(gòu)建直角三角形

解法：過點(diǎn)D作DE⊥AC交AC延長線于點(diǎn)E.

在Rt△ADE中 ，設(shè)DE=x，∵AD=4，，∴x2+4x2=16，.

又∵∠3+∠CAD=90°，∠2+∠4=90°，∴∠CAD=∠4，

在Rt△ACB中，∵∠B=∠CAD，

圖3 幾何畫板呈現(xiàn)作中間關(guān)聯(lián)線段垂線的解題邏輯

評析：對于基礎(chǔ)略薄弱的學(xué)生來說，較難想到以這種方式進(jìn)行輔助作圖。與“思路一”“思路二”不同的是，它構(gòu)建的是一種“射影”型相似或者說是“母子”型相似。從幾何畫板呈現(xiàn)的解題邏輯不難看出，這一解題思路的優(yōu)勢在于能夠直接對題目中“已知線段”加以利用，簡化了“設(shè)參數(shù)表示相關(guān)線段”的復(fù)雜步驟。另外，這一思路的關(guān)鍵在于要讓學(xué)生在分析問題的過程中抓住影響問題解決的潛在關(guān)鍵性因素——中間關(guān)聯(lián)線段，這正是數(shù)學(xué)中的轉(zhuǎn)化思想在解題中的充分體現(xiàn)。在轉(zhuǎn)化思想的引領(lǐng)下，無論是選擇三角形相似、勾股定理，還是選擇解直角三角形就僅僅是計(jì)算過程中具體的實(shí)現(xiàn)方式。教師使用幾何畫板展開教學(xué)時(shí)，也可以在兩個(gè)方面發(fā)揮軟件的優(yōu)勢：一是針對性地對相關(guān)角進(jìn)行標(biāo)識，把角與角之間的關(guān)系直觀化，讓學(xué)生得出結(jié)論更為容易和確定；二是通過幾何直觀清晰地建立起已知條件和中間線段、中間線段和所求線段之間的聯(lián)系，使得解題思路更為清晰順暢。

（四）思路四：作已知線段垂線與中間關(guān)聯(lián)線段相交構(gòu)建直角三角形

解法：過點(diǎn)D作DE⊥AD交AC延長線于點(diǎn)E.

在Rt△ADE中，∵AD=4 ，，∴DE=2，.

設(shè)AC=x.則.

在Rt△ACB中，∵∠B=∠CAD，∴BC=2AC=2x，.

由 ∠1=∠2，∠3=∠4可 得△CED～△CAO，∴，即：.解得：，x2=0（舍）.∴.

圖4 幾何畫板呈現(xiàn)作已知線段垂線交中間關(guān)聯(lián)線段的解題邏輯

評析：從幾何畫板所呈現(xiàn)的解題邏輯來看，“思路四”與“思路三”相同的是能夠把“已知線段”通過輔助作圖直接加以利用，使得“設(shè)參表示線段”變得容易，在相似三角形的構(gòu)建上引入的“8”型相似也是十分常見的相似模型。但從學(xué)生的解題實(shí)踐來看，這一思路極少為學(xué)生運(yùn)用，可能的原因是學(xué)生水平上受到作輔助線的思維局限。對比這四種解題思路，可以發(fā)現(xiàn)對于幾何綜合問題來說考查的核心知識是不會變的，正如本題中對于“相似”的考查，但在具體的推理過程中不同的輔助作圖方法可以提供不同的解決問題的思路。此外，就幾何畫板對例題本身的邏輯呈現(xiàn)來說，也能夠讓學(xué)生加深對“A”型相似、反“A”型相似、“8”型相似、反“8”型相似、“母子”型相似以及“旋轉(zhuǎn)”型相似等常用相似模型的認(rèn)識和理解。教師只有合理運(yùn)用教學(xué)輔助手段多角度的引導(dǎo)學(xué)生思考，才可能引發(fā)學(xué)生思想方法上質(zhì)的飛躍，從而優(yōu)化自身解題思路，提升自身解題技巧。

三、幾何畫板軟件實(shí)現(xiàn)幾何綜合問題高效教學(xué)的價(jià)值思考

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》強(qiáng)調(diào)，學(xué)業(yè)水平考試應(yīng)“明確試卷和每道試題所要考查的數(shù)學(xué)知識和核心素養(yǎng)的相應(yīng)表現(xiàn)”，學(xué)考中幾何綜合題目的考查往往聚焦于學(xué)生幾何直觀、空間觀念、模型觀念和推理能力等核心素養(yǎng)，其考查目的就在于引導(dǎo)學(xué)生廣開思路，因此解題路徑往往是多元的，就例題本身的解題路徑，除以上四種解題思路外肯定還會有其他的方法和路徑，且由老師們在此基礎(chǔ)上繼續(xù)挖掘。值得思考的是，從教學(xué)的視角出發(fā)，幾何綜合問題多元解題思路的教學(xué)是需要花時(shí)間的，沒有好的教學(xué)設(shè)計(jì)和優(yōu)化教學(xué)設(shè)計(jì)軟件的支持很難啟發(fā)學(xué)生的多元思維，一節(jié)課時(shí)間的傳統(tǒng)課堂很難對這類問題展開全方位、多角度的分析，同時(shí)圖形的復(fù)雜性也一定程度上加大了分析問題的難度，其他數(shù)學(xué)教學(xué)軟件盡管也可以實(shí)現(xiàn)一些快速的構(gòu)圖等，但在角的符號標(biāo)記、動(dòng)畫以及圖形的層次性等方面很難實(shí)現(xiàn)直觀化和特殊化處理，這正是運(yùn)用幾何畫板軟件進(jìn)行構(gòu)圖和邏輯推理教學(xué)的價(jià)值所在。

（一）優(yōu)化了教學(xué)時(shí)間管理，提高了幾何課堂教學(xué)效率

在幾何綜合問題的課堂教學(xué)中，教師能帶給學(xué)生的絕不僅僅是問題的答案和解法，既要有解題方法和技巧的引導(dǎo)探究，同時(shí)還要滲透方程、建模、化歸等數(shù)學(xué)思想。如果僅僅停留在傳統(tǒng)的教學(xué)上，利用一節(jié)課的時(shí)間去落實(shí)單一的解法都會表現(xiàn)得非常吃力，學(xué)生也很難從老師涂鴉般的圖形中清楚領(lǐng)會每一個(gè)步驟。相比之下，幾何畫板軟件可以在備課過程中預(yù)先將圖形的每一個(gè)變化、解題的每一個(gè)環(huán)節(jié)均進(jìn)行分步驟處理，對每一個(gè)關(guān)鍵的線段和角賦以特殊強(qiáng)調(diào)，在課堂教學(xué)時(shí)則可以把重點(diǎn)放在解決問題的邏輯梳理上，既節(jié)省了構(gòu)圖時(shí)間，也通過問題串和圖形組的結(jié)合教學(xué)使得對每一個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)的分析更加聚焦。此外，關(guān)于例題的多解題路徑的幾何畫板呈現(xiàn)也充分說明幾何畫板軟件可以實(shí)現(xiàn)解決幾何綜合問題過程中的多重方法之間的比較，方便學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中對某一知識點(diǎn)的歸納和總結(jié)，建立知識體系，提升課堂教學(xué)效率。

（二）提升了幾何學(xué)習(xí)趣味，增強(qiáng)幾何教學(xué)直觀和針對

數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)提倡教師加強(qiáng)信息技術(shù)和數(shù)學(xué)教學(xué)的融合，鼓勵(lì)教師利用數(shù)學(xué)專用軟件等教學(xué)工具開展數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)、豐富教學(xué)場景、激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和探索新知的欲望。對于西藏初中學(xué)生來說，數(shù)學(xué)是相對薄弱的學(xué)科，其中幾何部分更是薄弱學(xué)科中的薄弱部分。過去傳統(tǒng)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)給學(xué)生的學(xué)習(xí)體驗(yàn)往往是一種晦澀難懂的感受，這也是導(dǎo)致學(xué)生對抽象的數(shù)學(xué)無法實(shí)現(xiàn)直觀學(xué)習(xí)、建立不了學(xué)好數(shù)學(xué)自信心的主要原因。幾何畫板作為一種具有動(dòng)態(tài)變化功能的幾何專用教學(xué)工具，一方面它能夠通過創(chuàng)設(shè)多彩的模型情境，將抽象的幾何問題直觀化，讓學(xué)生能夠在課堂幾何的學(xué)習(xí)過程中看得明白、聽得懂、理解得深刻，建立學(xué)習(xí)自信，激發(fā)參與課堂學(xué)習(xí)的興趣。一方面，它進(jìn)一步豐富了數(shù)學(xué)教師開展幾何教學(xué)的教學(xué)場景，提供給數(shù)學(xué)教師更多的教學(xué)方式的選擇，使得教學(xué)設(shè)計(jì)、教學(xué)情境服務(wù)于不同學(xué)生群體的幾何教學(xué)本身更加具有針對性。

（三）強(qiáng)化了推理能力培養(yǎng)，聚焦核心素養(yǎng)和必備品格

新一輪課程標(biāo)準(zhǔn)的編制明確了“堅(jiān)持核心素養(yǎng)，體現(xiàn)育人為本”的導(dǎo)向和原則，因此，對于幾何綜合問題的教學(xué)，首先要弄清楚“為什么教”、“為誰教”和“怎么教”三個(gè)基本問題，教師需要自省所教的學(xué)生是怎樣一個(gè)群體，學(xué)生是否樂于并能夠接受新的教學(xué)形式，新的教學(xué)形式是否達(dá)到了預(yù)期目標(biāo)。對于開展幾何綜合問題教學(xué)的評價(jià)，也不應(yīng)僅僅是“會做題”，還應(yīng)該關(guān)注學(xué)生發(fā)現(xiàn)、提出、思考和解決問題這一具體的學(xué)習(xí)過程。通過對上述例題多元解題思路的簡單呈現(xiàn)可以看出，幾何畫板所能夠帶給學(xué)生和老師的不僅僅是幾張簡單的幾何圖片，還包括由一張張圖片串聯(lián)在一起表達(dá)出的有條理的邏輯推理，通過圖形把學(xué)生解題的邏輯直觀化、具體化，學(xué)生在“過關(guān)斬將”完成每一個(gè)環(huán)節(jié)的過程中老師所設(shè)定的知識目標(biāo)和素養(yǎng)目標(biāo)充分達(dá)成，這種與幾何畫板的整合教學(xué)有助于學(xué)生把握問題的本質(zhì)，明晰思維的路徑，也有助于養(yǎng)成講邏輯、有條理的思維習(xí)慣。

美國著名數(shù)學(xué)家波利亞曾說：“沒有任何問題是可以徹底解決的，總剩下些工作要做?！北M管通過幾何畫板對于例題多元解決思路所呈現(xiàn)出的邏輯過程，可以看到幾何畫板在解決幾何綜合問題是具備一定優(yōu)勢的，也能夠激發(fā)出數(shù)學(xué)教師對于應(yīng)用幾何畫板專業(yè)軟件進(jìn)一步優(yōu)化幾何課堂教學(xué)設(shè)計(jì)的思考，但遺憾的是目前這一專業(yè)軟件在西藏當(dāng)前的教學(xué)實(shí)踐中還沒有被廣泛使用，如何在數(shù)學(xué)教學(xué)中尤其是在解決幾何綜合問題的過程中充分發(fā)揮幾何畫板軟件的強(qiáng)大功能，促進(jìn)幾何教學(xué)直觀化，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，提升數(shù)學(xué)教學(xué)質(zhì)量，還需要老師們進(jìn)一步加強(qiáng)這一專業(yè)軟件的學(xué)習(xí)和培訓(xùn)，也需要老師們進(jìn)一步基于案例分析和實(shí)踐教學(xué)展開更加深入的學(xué)習(xí)和研究。同時(shí)，老師們也應(yīng)積極對學(xué)考中經(jīng)常出現(xiàn)的幾何綜合問題開展基于解決問題本身的多元解題思路的分析和研究，突破薄弱提升質(zhì)量，努力達(dá)到數(shù)學(xué)課程學(xué)業(yè)質(zhì)量標(biāo)準(zhǔn)的具體要求。