劉希望 張宏丹 賁帥 楊士棟 任鑫 宋曉紅? 楊瑋楓3)?

1) (海南大學(xué)物理與光電工程學(xué)院,海口 570228)

2) (汕頭大學(xué)理學(xué)院,汕頭 515063)

3) (海南大學(xué)理論物理研究中心,?？?570228)

1 引言

現(xiàn)代量子力學(xué)始于2 個(gè)不同的數(shù)學(xué)公式,薛定諤的微分方程[1]和海森伯的矩陣力學(xué)[2].1948 年,費(fèi)曼將最小作用量原理應(yīng)用到量子力學(xué)中,提出了一種完全嶄新的量子力學(xué)表述-費(fèi)曼路徑積分方法[3].不同于薛定諤方程從微分波動(dòng)方程的角度,費(fèi)曼從路徑積分和經(jīng)典作用量的角度來處理問題,將時(shí)間分割為許多小時(shí)間段,以經(jīng)典拉格朗日量作為相位的傳播算子,將所有到達(dá) (x,t) 的路徑貢獻(xiàn)疊加便能得到波函數(shù)φ(x,t),這已被證明滿足薛定諤方程.雖然看待問題的角度不同,但是2 個(gè)方程在數(shù)學(xué)上是等價(jià)的,量子力學(xué)中的概率概念沒有改變[4].該方法不僅為經(jīng)典力學(xué)和量子力學(xué)架起了一座新的橋梁,同時(shí)還為量子力學(xué)、場論和統(tǒng)計(jì)模式提供了一個(gè)統(tǒng)一的觀點(diǎn).

1960 年,世界上第一臺(tái)紅寶石激光器問世[5],激光飛速發(fā)展.激光具有很高的光強(qiáng),與物質(zhì)相互作用會(huì)產(chǎn)生各種非線性的物理現(xiàn)象.這些非線性的物理現(xiàn)象與微觀粒子結(jié)構(gòu)性質(zhì)具有很強(qiáng)的依賴性,通過研究這些現(xiàn)象可以探索微觀世界動(dòng)力學(xué)過程,同時(shí)也能得到微觀粒子的結(jié)構(gòu)信息.但是這些非線性的物理現(xiàn)象也為理論研究提出了巨大的挑戰(zhàn)[6?8].顯然,經(jīng)典動(dòng)力學(xué)模型在微觀世界已經(jīng)不再適用,量子力學(xué)的出現(xiàn)為研究微觀世界提供了有力工具.強(qiáng)場動(dòng)力學(xué)的理論研究最早可以追溯到由Keldysh[9],Faisal[10]和Reiss[11]提出的KFR 理論,該理論被廣泛用于解釋強(qiáng)激光場下的實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象.在KFR 理論的基礎(chǔ)上,研究者又考慮各種效應(yīng)并發(fā)展了不同的理論模型,這些模型統(tǒng)稱為強(qiáng)場近似(strong field approximation,SFA)方法.1966 年,Perelomov,Popov 和Terent’ev[12]推導(dǎo)出電子任意束縛態(tài)的電離率—PPT 理論.1986 年,Ammosov,Delone 和Krainov[13]簡化了PPT 理論得到準(zhǔn)靜態(tài)絕熱近似下的電子電離率—ADK 理論.1994 年,Lewenstein 等[14]提出了基于費(fèi)曼路徑積分方法與拉格朗日最小作用量原理的全量子SFA 理論,且使用該理論研究了低頻激光產(chǎn)生高次諧波.這些開創(chuàng)性的理論為各種強(qiáng)場全量子動(dòng)力學(xué)、半經(jīng)典動(dòng)力學(xué)與經(jīng)典動(dòng)力學(xué)計(jì)算方法提供了指導(dǎo)性意義.

求解全量子含時(shí)薛定諤方程(time-dependent Schr?dinger equation,TDSE)[15,16]可以獲得精確的電子波包演化,進(jìn)而根據(jù)每個(gè)時(shí)刻的波函數(shù)求得電子的速度分布或能量分布,但是由于其沒有解析解,只能借助計(jì)算機(jī)在每一時(shí)刻演化多維的微分方程得到數(shù)值解.基于費(fèi)曼路徑積分的強(qiáng)場動(dòng)力學(xué)方法將波函數(shù)用不同狀態(tài)的粒子描述,通過將不同粒子的貢獻(xiàn)相干疊加來描述電子動(dòng)力學(xué)過程.SFA模型用平面波戈登-沃爾科夫態(tài) (plane-wave Gordon-Volkov states) 來描述電子在連續(xù)態(tài)中的運(yùn)動(dòng),忽略了束縛勢的影響.正是由于SFA 方法忽略了庫侖勢的作用,其結(jié)果與實(shí)驗(yàn)和數(shù)值求解TDSE的結(jié)果很難在定量上完全一致.為了克服SFA方法的局限,研究了各種改進(jìn)方案.例如,庫侖沃爾科夫近似 (Coulomb-Volkov approximation,CVA)[17,18]用庫侖扭曲波替代了平面波,該方法經(jīng)常被用來研究光電子譜[19,20].庫侖修正強(qiáng)場近似(Coulomb-corrected strong field approximation,CCSFA)[21,22]在SFA 的作用量中引入微擾的庫侖效應(yīng)對(duì)相位進(jìn)行了修正,其電子軌跡并沒有受到庫侖勢的影響.基于軌跡的庫侖修正強(qiáng)場近似 (trajectory-based Coulomb corrected strong field approximation,TCSFA)[23,24],將庫侖勢的影響引入作用量與電子連續(xù)態(tài)運(yùn)動(dòng)過程中.庫侖量子軌跡強(qiáng)場近似 (Coulomb quantum-orbit strong field approximation,CQSFA)[25,26]是從費(fèi)曼路徑積分公式中使用時(shí)間演化算子的函數(shù)積分表示的方法,求解連續(xù)態(tài)中完整的庫侖運(yùn)動(dòng)方程,忽略了隧穿過程中軌跡的庫侖效應(yīng).

相較于TDSE,費(fèi)曼路徑積分強(qiáng)場動(dòng)力學(xué)計(jì)算方法模型簡單計(jì)算效率更高,同時(shí)由于電子被看作具有不同初始狀態(tài)的粒子,從而可以根據(jù)經(jīng)典牛頓方程追溯每個(gè)粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡,通過解析粒子的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)便能發(fā)現(xiàn)各種物理現(xiàn)象的產(chǎn)生來源,已在強(qiáng)場動(dòng)力學(xué)計(jì)算中被廣泛使用,并用于分析強(qiáng)場物理中的各種新奇的實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象[27,28].Salières 等[29]利用費(fèi)曼路徑積分方法復(fù)現(xiàn)了高次諧波譜(high-order harmonic generation,HHG)和閾上電離譜(abovethreshold ionization,ATI).Huismans 等[30]通過精確求解TDSE 與CCSFA 在亞激光周期時(shí)間尺度上觀察到電子動(dòng)力學(xué)的全息結(jié)構(gòu),并且通過分析軌跡發(fā)現(xiàn)不同干涉結(jié)構(gòu)源自不同軌道的相干.Li 等[31]基于費(fèi)曼路徑積分思想在經(jīng)典軌道蒙特卡羅(classical trajectory Monte Carlo,CTMC)方法[32]基礎(chǔ)上采用ADK 理論,并且賦予每條軌道相位信息發(fā)展出量子軌跡蒙特卡羅(quantumtrajectory Monte Carlo,QTMC)方法,并研究了光電子譜中的閾上電離結(jié)構(gòu).Shvetsov-Shilovski 等[33]修正了QTMC方法的相位提出了半經(jīng)典兩步模型(semiclassical two-step model,SCTS),通過相位修正使得低能部分的計(jì)算更加精確.Song 等[34]在QTMC 的基礎(chǔ)上采用非絕熱電離率發(fā)展了推廣的量子軌跡蒙特卡洛方法(improved quantumtrajectory Monte Carlo,IQTMC).Liu 等[35,36]采用分子ADK 理論發(fā)展了分子量子軌跡蒙特卡羅方法,提取了分子隧穿波包的相結(jié)構(gòu),證明了隧道出口處的隧道波包的初始相位與初始橫動(dòng)量分布和分子核間距有關(guān).Gong 等[37]通過實(shí)驗(yàn)與非絕熱QTMC 方法觀測到氬原子從4f 態(tài)與5p 態(tài)的光電子發(fā)射存在大約1.4×10?16s 的費(fèi)曼共振時(shí)間延遲.Song 等[38]通過相位-相位 (phase of phase) 技術(shù)結(jié)合非絕熱QTMC方法證明了電子可能從連續(xù)態(tài)被捕獲到束縛態(tài)并在該束縛態(tài)上停留一段時(shí)間再電離出去,且該停留的時(shí)間大概是幾百阿秒.同年P(guān)orat 等[39]通過實(shí)驗(yàn)結(jié)合CCSFA 方法以阿秒精度重建了形成光電子全息圖中光電子的電離時(shí)間,通過將全息圖兩個(gè)臂的貢獻(xiàn)解耦發(fā)現(xiàn)其電離時(shí)間差僅為幾十阿秒.Trabert 等[40]在實(shí)驗(yàn)上觀測到了氫分子隧穿電離中的Wigner 時(shí)間延遲隨電子發(fā)射與分子軸夾角的關(guān)系,并且通過求解TDSE,SCTS 與SFA 模型驗(yàn)證了該結(jié)果的可靠性.Torlina等[41]將勢壘下的庫侖勢引入鞍點(diǎn)方程發(fā)展了解析的R 矩陣(analytical R-matrix,ARM)理論,并且利用該方法重新定標(biāo)了阿秒鐘,證明了隧穿過程是瞬時(shí)的.Tong 等[42]在TCSFA 的基礎(chǔ)上修正了鞍點(diǎn)方程提出自參照分子阿秒鐘的新思路,成功測量了電子在二聚體分子共振態(tài)上的停留時(shí)間.Yan和Bauer[24]在連續(xù)態(tài)充分考慮庫侖勢的作用,同時(shí)在勢壘下的作用量也考慮了庫侖勢作用發(fā)現(xiàn)TCSFA 和TDSE 結(jié)果能定量符合.

可見費(fèi)曼路徑積分強(qiáng)場動(dòng)力學(xué)計(jì)算方法已在強(qiáng)場物理中被廣泛使用,很好地重復(fù)并解釋實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象,彌補(bǔ)了TDSE 無法給出清晰物理圖像的缺點(diǎn),同時(shí)簡化了計(jì)算模型使得計(jì)算的可行性大大提高.但是費(fèi)曼路徑積分強(qiáng)場動(dòng)力學(xué)計(jì)算方法也存在一定的局限性與不足,費(fèi)曼路徑積分完全等同于薛定諤方程需要考慮所有的可能軌跡(不僅僅是經(jīng)典軌跡,也包括量子軌跡).受限于計(jì)算能力,往往采用大量軌道模擬,由于軌道計(jì)算不夠?qū)е屡c真實(shí)結(jié)果可能存在一定偏差.同時(shí),不同模型對(duì)于初始條件的選取也存在差異,導(dǎo)致不同模型對(duì)于相同的問題結(jié)果也會(huì)有所差別.例如,在SFA 模型中不考慮庫侖勢的作用導(dǎo)致結(jié)果很難在定量上與實(shí)驗(yàn)符合,一般用于定性驗(yàn)證.在求解電子連續(xù)態(tài)的運(yùn)動(dòng)軌跡時(shí),往往采用龍格-庫塔法求解,但是在靠近核附近容易產(chǎn)生奇點(diǎn),使得該軌跡無法求解.所以針對(duì)不同的問題需要選擇合適的理論模型與計(jì)算方法.

本文將系統(tǒng)地介紹基于KFR 理論的SFA 計(jì)算方法.首先簡要介紹SFA 的基本理論,如偶極近似和鞍點(diǎn)近似等.然后重點(diǎn)介紹電子躍遷振幅的推導(dǎo),詳細(xì)介紹CCSFA,TCSFA 和CQSFA 方法的推導(dǎo)及應(yīng)用.最后對(duì)費(fèi)曼路徑積分強(qiáng)場動(dòng)力學(xué)計(jì)算方法的發(fā)展趨勢進(jìn)行展望.除特殊說明外,本文均使用原子單位,即 ?=e=me=1 a.u.

2 基本理論

2.1 偶極近似

在SFA 模型中通常會(huì)考慮偶極近似,當(dāng)激光場的波長λ遠(yuǎn)大于模型系統(tǒng)的距離和電子的漂移距離d時(shí)(λ ?d=E0/ω2,E0與ω分別為激光的振幅和頻率),矢勢A(r,t) 中的空間分量可以被忽略.即有A(r,t)→A(t),這種近似可以使哈密頓函數(shù)更容易求解,同時(shí)在合理參數(shù)范圍內(nèi)對(duì)人們所感興趣的物理現(xiàn)象沒有明顯的影響.磁場表示為B=?×A(r,t),由于忽略了矢勢的空間分量,那么該磁場的值將為0,也就是說該近似導(dǎo)致模型同時(shí)也忽略了磁場的作用.

2.2 長度規(guī)范與速度規(guī)范

考慮偶極近似下的激光與原子分子相互作用,通常用到兩種規(guī)范[43]: 長度規(guī)范與速度規(guī)范.在數(shù)值求解TDSE 時(shí)規(guī)范不變性已被證實(shí),但是求解TDSE 不能夠分析這些物理現(xiàn)象.為了分析這些物理現(xiàn)象,研究者通常會(huì)采取不同的近似模型,其中最常用的就是SFA 模型.但是看似非常合理的近似之后缺乏規(guī)范不變性,在SFA 模型中一般情況下兩種規(guī)范下會(huì)得到不同的結(jié)果,其中Bauer 等[44]詳細(xì)討論了SFA 模型中的規(guī)范問題.

在單電子近似下,對(duì)于一個(gè)固定的原子核,除其中一個(gè)價(jià)電子外的所有電子作用都被當(dāng)成一個(gè)有效的束縛勢.此時(shí)這個(gè)電子與電場的耦合可以用哈密頓量來表示:

其中,下標(biāo) (x=L,V) 代表不同的規(guī)范;H0=表示無場下的哈密頓量(me為電子質(zhì)量),束縛勢V(r) 與選擇何種規(guī)范無關(guān).在偶極近似下,認(rèn)為電場在空間中是均勻的,忽略了電場E(r,t) 的空間依賴,因此E(r,t)→E(t),A(r,t)→A(t).電場的相互作用項(xiàng)在不同規(guī)范下可以表示為

其中,r與p分別為電子的空間位置與速度.當(dāng)電子運(yùn)動(dòng)到足夠遠(yuǎn)且電場強(qiáng)度足夠大時(shí),此時(shí)電子所感受到的束縛勢的作用遠(yuǎn)小于電場的作用,電子將被近似地看作在電場中運(yùn)動(dòng)的自由粒子,自由電子哈密頓量表示為

(1)式哈密頓量的含時(shí)演化算子Ux(t,t′) 滿足Dyson 公式:

式中,Ux(t,τ) 為中間態(tài)演化算子,U0(t,t′) 為無場哈密頓量H0的演化算子.電子從電離能為Ip的束縛態(tài)|ψ0(t)〉=|0〉exp(iIpt) 到連續(xù)態(tài)|ψp(t)〉的電離振幅寫為

將(1)式代入(5)式,由于初態(tài)和末態(tài)的正交性第一項(xiàng)為0,可以得到以下結(jié)果:

由于考慮SFA,即認(rèn)為電子電離后將不受到束縛勢的影響,此時(shí)電離的電子可以用沃爾科夫態(tài)來表示.那么在任意時(shí)刻〈ψp(τ)|Ux(t,τ)=,(6)式可以寫為

這樣即得到電子從初態(tài)電離到連續(xù)態(tài)的幾率振幅,其中連續(xù)態(tài)電子可以用沃爾科夫態(tài)表示為

2.3 鞍點(diǎn)近似

鞍點(diǎn)近似方法也被稱為最速下降法[45],是一種積分近似的方法,在數(shù)學(xué)及物理等領(lǐng)域有廣泛應(yīng)用.例如求解非線性方程組[46]、X 射線結(jié)構(gòu)分析[47]、機(jī)器學(xué)習(xí)[48]和量子力學(xué)[49]等.求解類似如下復(fù)平面內(nèi)的積分:

式中,C為復(fù)z平面的固定曲線,而g(z) 和w(z)是包含C的某個(gè)區(qū)域D中的解析函數(shù).只要I(λ)是收斂的,積分在路徑C的端點(diǎn)是允許存在奇點(diǎn)的.對(duì)曲線C做一個(gè)變形使其通過w(z) 的鞍點(diǎn)z0,并且沿最速下降方向離開鞍點(diǎn),將 exp[iλw(z)] 在該鞍點(diǎn)處展開,由于w′(z0)=0 那么其得到的剖面在保留二次項(xiàng)的條件下近似為高斯函數(shù):

為了確定最速下降方向,可以利用復(fù)數(shù)的極坐標(biāo)形式:

其中,α與θ為相角,ρ為徑向距離,可以得到

由(12)式可知w(z) 的實(shí)部在α+2θ=2nπ 時(shí)增長最快.反之,當(dāng)α+2θ=(2n+1)π 時(shí)實(shí)部為最速下降.因此可以通過由以下條件確定最速下降方向:

g(z)通常是緩慢變化的函數(shù),將(10)式代入(9)式可得:

根據(jù)高斯積分再將所有鞍點(diǎn)求和可得:

因此,這將會(huì)產(chǎn)生N個(gè)鞍點(diǎn)方程,其形式如下:

進(jìn)行多變量泰勒展開和計(jì)算N個(gè)高斯積分可得

這里,w′′(z1s,z2s,···,zNs) 代表多變量作用量的海森矩陣.為了不失一般性,需要考慮無限維的情況,此時(shí)函數(shù)形式為

那么其鞍點(diǎn)方程寫作 δw[zs]=0,將作用量w[z] 泰勒展開到二階項(xiàng)可以得到:

這里,δzs(t)=z(t)-zs(t).將(19)式代入(18)式得到

同理對(duì)上式使用高斯積分可以得到

2.3.1 數(shù)值計(jì)算鞍點(diǎn)方程

對(duì)于簡單激光場,可以很容易得到鞍點(diǎn)ts的解析形式.例如線偏振激光場E(t) 形式為∫Ez(t)=E0sin(ωt),那么根據(jù)其矢勢A(t)=-E(t)dt可得

其中A0=E0/ω,E0為電場強(qiáng)度,ω為電場頻率.將(21)式代入鞍點(diǎn)方程可得

其中,px,py,pz分別為電子三個(gè)方向的漸進(jìn)動(dòng)量.將(22)式化簡可得ts有2 個(gè)解:

由于Im[ts]＞0,所以(23)式的±只取-.雖然(23)式很容易計(jì)算出其鞍點(diǎn)值,但當(dāng)電場形式為更復(fù)雜情況時(shí),例如矢勢形式如下:

將(24)式代入鞍點(diǎn)方程很難給出鞍點(diǎn)的解析表達(dá)式.由于無法給出鞍點(diǎn)的具體表達(dá)式,做數(shù)值計(jì)算時(shí)可以考慮在一定區(qū)域內(nèi)均勻地給出試探解,記錄誤差在可接受范圍內(nèi)的解.但是這將耗費(fèi)大量時(shí)間,而且得到的解精度各不相同,需要更高精度就需要更加密集的試探解,同時(shí)將帶來更大的計(jì)算量.

2.3.2 遺傳算法計(jì)算鞍點(diǎn)方程

為了解決這個(gè)問題,一種基于遺傳算法的CCSFA 方法被提出[51].令目標(biāo)函數(shù)

當(dāng)函數(shù)f(t)=0 時(shí),滿足鞍點(diǎn)方程.遺傳算法流程如圖1 所示,具體可分5 步來求解該方程.

圖1 遺傳算法流程圖Fig.1.Flowchart of genetic algorithm.

步驟1產(chǎn)生初始種群.這個(gè)過程開始于一組隨機(jī)生成的個(gè)體樣本,其中每個(gè)樣本都是問題的解決方案.樣本的特征是由一組基因決定的.基因通常用0 和1 組成的二進(jìn)制編碼表示.由于鞍點(diǎn)方程的解為復(fù)數(shù)ts=tr+iti,所以為每個(gè)樣本采用2 個(gè)基因,分別代表ts的實(shí)部和虛部.種群規(guī)模應(yīng)該盡可能大,因?yàn)槌跏紓€(gè)體越多,進(jìn)化出最佳結(jié)果的可能性就越大.

步驟2重構(gòu)一個(gè)適應(yīng)度函數(shù)H=1/(|f(t)|+0.01),并計(jì)算每個(gè)個(gè)體的適應(yīng)值,當(dāng)函數(shù)f(t)=0時(shí),其適應(yīng)度最高Hmax=100.選出其適應(yīng)度滿足給定條件的樣本,例如當(dāng)H ＞99,此時(shí)|f(t)|＜10-4.適應(yīng)度函數(shù)評(píng)估種群中每個(gè)個(gè)體樣本的適應(yīng)度,該個(gè)體被選擇繁殖的概率是基于其適合度分?jǐn)?shù).

步驟3選擇.從當(dāng)前的種群中,根據(jù)其適應(yīng)度分?jǐn)?shù),提取作為父母的基因子集.每個(gè)樣本被選擇概率記為,其對(duì)應(yīng)著在0—1 區(qū)間的長度.隨機(jī)生成0—1 的隨機(jī)數(shù),當(dāng)該隨機(jī)數(shù)落在該個(gè)體對(duì)應(yīng)的區(qū)間時(shí),則選擇該個(gè)體樣本.

步驟4交叉、變異.交叉就是對(duì)上一步所選擇的個(gè)體樣本兩兩配對(duì),將對(duì)應(yīng)兩個(gè)樣本的同一個(gè)基因選擇一段尾部編碼進(jìn)行互換.這樣交叉后既保留了上一代的主要性狀,同時(shí)又產(chǎn)生了新的特性.變異是將產(chǎn)生的新個(gè)體在基因序列上隨機(jī)選擇一個(gè)二進(jìn)制編碼改變.不需要每個(gè)個(gè)體都發(fā)生變異,只需要選擇很小一部分個(gè)體樣本進(jìn)行變異.

步驟5至此就產(chǎn)生了新一代的樣本,如果適應(yīng)度達(dá)到期望或迭代次數(shù)達(dá)到最大值,則停止產(chǎn)下一代,否則就從步驟2 開始重復(fù)整個(gè)過程.

遺傳算法在本質(zhì)上是非遍歷性的,所以其搜索解的效率很高.但是變異概率、交叉概率和種群大小等參數(shù)對(duì)遺傳算法的性能有重要影響.非常小的突變率可能導(dǎo)致某些解的遺漏,過高的突變率可能會(huì)導(dǎo)致好的解丟失并且算法很難收斂.通常情況下能得到多于目標(biāo)個(gè)數(shù)的解,這時(shí)需要排除多余的解.所以需要在一定范圍內(nèi)挑選一個(gè)適應(yīng)度最大的解作為目標(biāo)解.

2.3.3 牛頓迭代法計(jì)算鞍點(diǎn)方程

牛頓迭代法是一種在實(shí)數(shù)域或復(fù)數(shù)域上為方程找到近似解的方法,常用來求方程根,其最大優(yōu)點(diǎn)是在方程f(x)=0 的單根附近具有平方收斂性.設(shè)x*為f(x)=0 的根,在空間內(nèi)選擇任意x0作為x*的試探解,過 (x0,f(x0)) 點(diǎn)作曲線y=f(x) 的切線L:y=f(x0)+f′(x0)(x-x0),則L與x軸交點(diǎn)x1=x0-f(x0)/f′(x0),那么x1為x*的一次近似值.如圖2 所示,根據(jù)新得到的橫坐標(biāo)重復(fù)以上過程不斷求切線與x軸的交點(diǎn),可以得到xn+1=xn-f(xn)/f′(xn) 為xr的n+1 次近似值.通過不斷迭代xn+1,將會(huì)越來越接近方程的根x*.

圖2 牛頓迭代法圖示.藍(lán)色曲線為方程 f(x) 的解,紅色直線為藍(lán)色曲線在自變量 x 處的切 線,x* 為方程f(x)=0時(shí)需尋找的解Fig.2.Illustration of Newton’s method.Blue curve represents value of function f(x),and red lines represent tangent to blue curve at independent variable x,which is solution x* when f(x)=0.

下面介紹用牛頓迭代法求解鞍點(diǎn),同理將鞍點(diǎn)方程以函數(shù)表示:

對(duì)(25)式求導(dǎo)可得

在復(fù)平面時(shí)間內(nèi)均勻采點(diǎn)作為迭代的起始點(diǎn),通常一個(gè)時(shí)間周期T只需采樣很少的點(diǎn)(為了不漏解,在實(shí)軸方向 0→T采樣5個(gè)點(diǎn),虛軸方向0→100 a.u.采樣2 個(gè)點(diǎn)).因?yàn)閒(t) 是連續(xù)的,那么在零點(diǎn)周圍存在一個(gè)區(qū)域,只要初始值位于這個(gè)鄰近區(qū)域內(nèi),那么牛頓法必定收斂.以采樣點(diǎn)t(0)為例,那么ts的一次近似值為

以此類推,可以得到

以實(shí)例來說明該過程,隨機(jī)采樣3 個(gè)方向的速度為

矢勢形式如下

根據(jù)E(t)=-?A(t)/?t得

選擇4個(gè)初始試探解分別為 (tr=20.1,ti=80.1),(tr=40.1,ti=80.1),(tr=60.1,ti=80.1),(tr=120.1,ti=80.1).計(jì)算結(jié)果如圖3 所示,其收斂性呈指數(shù)型增長,可以看到僅僅需要迭代不到10 次,其計(jì)算精度就達(dá)到了 10-15.

圖3 4 個(gè)樣本的 |f| 隨迭代次數(shù)的變化.藍(lán)線、橙線、黃線和紫線分別代表初始試探解為 (tr=20.1,ti=80.1)、(tr=40.1,ti=80.1),(tr=60.1,ti=80.1) 和(tr=120.1,ti=80.1) 時(shí),隨迭代次數(shù)增加函數(shù)值 |f| 的變化.Fig.3.Variation of |f| with the number of iterations n for four samples.The blue,orange,yellow,and purple lines represent the changes in function values |f| with increasing iteration times when the initial trial solutions are(tr=20.1,ti=80.1),(tr=40.1,ti=80.1),(tr=60.1,ti=80.1) and (tr=120.1,ti=80.1),respectively.

同樣地,由于采樣數(shù)一般會(huì)多于實(shí)際目標(biāo)解的個(gè)數(shù),所以會(huì)有一些重復(fù)的解,需要排除多余的相同解.對(duì)比于遺傳算法,牛頓迭代法更適用于求解鞍點(diǎn)方程的近似解,因?yàn)槠洳灰蕾囉谠O(shè)置參數(shù),而且迭代是基于上次計(jì)算結(jié)果有方向的搜解,通常情況下只需要迭代不到10 次便能達(dá)到很高的精度.

2.3.4 鞍點(diǎn)方程修正

在SFA 中,作用量S通常忽略庫侖勢的影響,考慮庫侖勢的情況下作用量為[41]

其中鞍點(diǎn)方程的解ts=tr+i·ti為一個(gè)復(fù)時(shí)間,這樣積分路徑可以分為兩項(xiàng):

這里,第1 項(xiàng)為勢壘下沿著虛時(shí)間軸的隧穿動(dòng)力學(xué)過程 (ts→tr);第2 項(xiàng)為沿著實(shí)時(shí)間軸的連續(xù)態(tài)傳播 (tr→∞).在鞍點(diǎn)近似方法中,SV(p,t) 的被積函數(shù)在復(fù)數(shù)域?yàn)橐粋€(gè)解析函數(shù),其積分與路徑無關(guān):

然而,當(dāng)r靠近0 時(shí),V[r(p,τ)]=z/r(p,τ) 不是一個(gè)解析函數(shù),其積分與路徑有關(guān),所以(30)式的第2 項(xiàng)不能像(32)式一樣直接得到.為了解決這個(gè)問題需要將積分路徑分為兩部分[42]:

這里等式右邊第1 項(xiàng)代表在復(fù)平面內(nèi)勢壘下的隧穿動(dòng)力學(xué) (ts→tr),第2 項(xiàng)代表隧穿后在連續(xù)態(tài)中的傳播 (tr→∞)(圖4).這樣(30)式中的庫侖作用項(xiàng)可以寫作

圖4 復(fù)平面的路徑積分.I1 描述了沿虛時(shí)間軸的積分,步長為 iΔτ .I2 描述了沿實(shí) 時(shí)間軸的積分,步長為ΔτFig.4.Path integral on complex plane.I1 describes integration along imaginary time axis with a step size of iΔτ,and I2 describes the integration along real time axis with a step size of Δτ.

在復(fù)平面內(nèi),積分路徑I1是沿平行于虛時(shí)間軸的方向從ti到0,因此tr是一個(gè)常數(shù).此時(shí)(34)式中的第1 項(xiàng)可以寫為

積分路徑I2是沿ti=0 的實(shí)時(shí)間軸,所以(34)式的第2 項(xiàng)寫為

將(32)式—(36)式代入(31)式,可得鞍點(diǎn)方程變?yōu)?/p>

即在鞍點(diǎn)方程中考慮了勢壘下庫侖勢的作用.

3 躍遷振幅

費(fèi)曼路徑積分思想是將波函數(shù)的貢獻(xiàn)看作所有可能路徑(攜帶與路徑相關(guān)的作用量)的疊加,使用鞍點(diǎn)近似的SFA,CCSFA,TCSFA 與CQSFA均是以帶作用量的軌跡來描述電子波函數(shù).費(fèi)曼認(rèn)為可以將有限時(shí)間分成無限多趨近于零的小時(shí)間段,此時(shí)粒子在有限時(shí)間內(nèi)傳播可以看作粒子在每個(gè)時(shí)間段內(nèi)傳播的貢獻(xiàn)總和.如圖5(a)所示,粒子從A點(diǎn)到B點(diǎn)其中間存在一個(gè)雙縫擋板時(shí),在t0時(shí)刻粒子處于A點(diǎn),t1時(shí)刻粒子到達(dá)擋板處,t2時(shí)刻粒子到達(dá)B點(diǎn).如果t2-t1與t1-t0均無窮小,那么粒子從A點(diǎn)到達(dá)B點(diǎn)的概率為兩條路徑貢獻(xiàn)總和.當(dāng)擋板數(shù)與狹縫數(shù)增多時(shí)路徑也同時(shí)對(duì)應(yīng)增多(圖5(b)),當(dāng)擋板與狹縫無限多時(shí)可認(rèn)為沒有擋板存在,此時(shí)粒子從A點(diǎn)到B點(diǎn)的概率為無限多不同位置到達(dá)B點(diǎn)的路徑貢獻(xiàn)總和.當(dāng)粒子從A點(diǎn)到達(dá)B點(diǎn)的時(shí)間為有限時(shí),可以將時(shí)間分為很多個(gè)小時(shí)間段.推廣到無數(shù)條狹縫且該時(shí)間段內(nèi)擋板數(shù)也無數(shù)個(gè),那么此時(shí)每條路徑由折線變?yōu)榱巳我庑螤畹那€,如圖5(c)所示,此時(shí)粒子從A點(diǎn)到B點(diǎn)的概率為空間中任意曲線路徑的貢獻(xiàn)總和.

圖5 費(fèi)曼路徑積分思想示意圖.A 與B 分別為粒子的初始點(diǎn)與末點(diǎn),綠色虛線為粒子的可能路徑 (a) 兩個(gè)位置之間存在一個(gè)擋板雙縫;(b) 兩個(gè)位置間存在兩個(gè)多縫擋板;(c) 兩個(gè)位置存在無數(shù)個(gè)狹縫,此時(shí)粒子可以從A 點(diǎn)經(jīng)歷任意位置到達(dá)B 點(diǎn)Fig.5.Schematic diagram of Feynman’s path integral concept.A and B represent initial and final points of a particle,and the green dashed line represents the possible paths of particle: (a) There is a double-slit barrier between two positions;(b) there are multiple slit barriers between two positions;(c) there are infinite slits between two positions,and particle can reach point B from point A through any intermediate position.

從A點(diǎn)到B點(diǎn)的概率振幅來自于所有可能路徑的貢獻(xiàn),每一條路徑的貢獻(xiàn)幅度一樣,只有相位不同.而其相位則與經(jīng)典作用量(S/?)有關(guān),? 為普朗克常數(shù),(S/?)表明了對(duì)應(yīng)于每條路徑作用量S是量子化的.對(duì)宏觀尺度,作用量子 ? 是個(gè)很小的量,因此對(duì)每條路徑作用量S都 比 ? 大很多,對(duì)該路徑的相鄰路徑而言,相位的變化非常巨大而使得這些路徑貢獻(xiàn)的幾率振幅相互疊加抵消.只有當(dāng)這條路徑與其臨近路線的相位變化不大時(shí)(對(duì)相位的變分為0)才不會(huì)相互抵消,即經(jīng)典粒子的路徑.可見路徑積分方法結(jié)合最小作用量原理將量子現(xiàn)象過渡到了經(jīng)典運(yùn)動(dòng)軌跡中,在經(jīng)典物理與量子物理之間架起了一座橋梁.

躍遷振幅描述了電子從一個(gè)狀態(tài)躍遷到另一個(gè)狀態(tài)的概率,激光誘導(dǎo)的電離過程描述了電子在激光作用下從初態(tài)|ψ0(t)〉躍遷到連續(xù)態(tài)|ψp(t)〉的過程.此時(shí)束縛勢與外加電場耦合下的哈密頓量可以寫為

式中,W(t) 為 電場作用算符,V(r)為 勢能算符,為動(dòng)能算符.其對(duì)應(yīng)的躍遷振幅為

其中,U(tf,ti) 為從時(shí)間ti到時(shí)間tf的時(shí)間演化算符.同時(shí)考慮外加電場與原子的束縛勢,這很難得到TDSE 的解析解,所以將哈密頓量拆分為兩項(xiàng):

這里,H0(t) 為束縛電子 的哈密頓量,H(GV)(t) 為連續(xù)態(tài)自由電子的哈密頓量,對(duì)應(yīng)的時(shí)間演化算符分別為U0(t,t′) 和U(GV)(t,t′).利用Dyson 方程[52],可將時(shí)間演化算符寫為如下積分形式:

將(42)式代入(39)式,考慮正交性〈ψp(tf)|ψ0(ti)〉,第1 項(xiàng)的結(jié)果為0,那么可以得到躍遷振幅的積分形式:

將(43)式代入(44)式可將躍遷振幅分為2 項(xiàng):

其中,等式右邊第1 項(xiàng)為躍遷振幅的零階項(xiàng),描述了直接電子從束縛態(tài)躍遷到連續(xù)態(tài)的概率.在SFA 中,電子躍遷到連續(xù)態(tài)后被看作是自由電子不受到束縛勢的影響.由于時(shí)間演化算子,又考慮到波函數(shù)的正交性,那么直接電子的躍遷振幅為

3.1 積分法計(jì)算躍遷振幅

從(46)式與(47)式可知直接電子與散射電子具有不同的躍遷振幅,光電子動(dòng)量譜ω(p) 由躍遷振幅模的平方給出,通常不考慮電子返回再散射過程時(shí),只需要計(jì)算躍遷振幅的零階項(xiàng).而且在不考慮庫侖勢的情況下,連續(xù)態(tài)電子被看作自由電子,其在電場中的振蕩速度為p+A(t).對(duì)于給定的末動(dòng)量p,考慮在長度規(guī)范下W(τ)=r·E(τ),同時(shí)將其與沃爾科夫平面波代入(46)式可得到電子末動(dòng)量為p時(shí)的概率為

將(49)式代入(48)式可得

其中,F[F(r,τ)] 為F(r,τ) 的傅里葉變換,這樣將每個(gè)時(shí)間下的躍遷振幅求和平方,便能得到光電子動(dòng)量譜[53].

3.2 微分法計(jì)算躍遷振幅

由(50)式可知F(r,τ) 是含時(shí)變化的,所以無法得到其解析形式,因此在每個(gè)時(shí)間步長都需要數(shù)值計(jì)算快速傅里葉變換.另一種方法是從動(dòng)量波函數(shù)出發(fā),通過對(duì)其動(dòng)量波函數(shù)求微分便能得到每一時(shí)刻躍遷振幅的解析表達(dá)式[54],ω(p) 將變成一重積分,令q=p+A(t),那么(46)式可以重寫為

這里,ψ0(q) 是ψ0(r) 的傅里葉變換,表示自變量為q的動(dòng)量空間波函數(shù)[55],其解析式為

對(duì)于其他量子態(tài)的動(dòng)量空間波函數(shù),可以將其對(duì)應(yīng)的量子數(shù)代入(52)式得到其解析的波函數(shù).實(shí)際計(jì)算時(shí)間的積分中,通常取電場開始時(shí)間0 與電場結(jié)束時(shí)間tf作為積分的上下限,將(53)式代入(51)式可得

3.3 利用鞍點(diǎn)近似方法計(jì)算躍遷振幅

躍遷振幅描述了電子從束縛態(tài)躍遷到連續(xù)態(tài)的概率,通過使用鞍點(diǎn)近似將其簡化為許多軌跡的相干疊加,這樣可以很清晰地分析不同時(shí)間窗口所出射電子的相干特性[56].作用量S(t) 作為一個(gè)指數(shù),是關(guān)于時(shí)間t的高速振蕩函數(shù),可以利用鞍點(diǎn)近似方法來計(jì)算該時(shí)間積分[57],從而用電子軌道的形式來描述時(shí)空動(dòng)力學(xué).這不僅使計(jì)算更加簡單,而且可以提供清晰的電子動(dòng)力學(xué)過程物理圖像.(46) 式描述了直接電離電子的躍遷振幅,對(duì)其使用鞍點(diǎn)近似可得

將所有鞍點(diǎn)的貢獻(xiàn)求和便能計(jì)算出電子在漸進(jìn)動(dòng)量為p時(shí)的躍遷振幅,但是注意到其鞍點(diǎn)方程為

因此在滿足鞍點(diǎn)條件下等式q2+2Ip=0 成立.那么根據(jù)(54)式可知,〈p+A(ts)|r·E(ts)|ψ0(τ)〉在鞍點(diǎn)處是一個(gè)奇點(diǎn),以至于鞍點(diǎn)近似方法此時(shí)不再不適用.為了解決這個(gè)問題使鞍點(diǎn)等式成立,考慮將做變形,實(shí)際計(jì)算中取外加電場結(jié)束時(shí)間tf作為積分上限,電場開始時(shí)間0 為積分的下限.將符號(hào)計(jì)算展開為積分形式那么有

(57)式用到了[r·E(τ)+i?/?τ]e-i[p+A(τ)]·r=0以及動(dòng)量波函數(shù)ψ0(q),其為空間波函數(shù)的傅里葉變換

對(duì)(57)式分部積分可得

對(duì)于零程勢,基態(tài)空間波函數(shù)為

傅里葉變換形式 (動(dòng)量波函數(shù)) 為

由(53)式可知,對(duì)于庫侖勢的動(dòng)量波函數(shù)可以表示為

很顯然,當(dāng)選擇零程勢時(shí),將波函數(shù)代入(59)式,其分母上的S′可以被消掉.但選擇庫侖勢時(shí),分母上的S′還保留著,這將導(dǎo)致奇異點(diǎn)的發(fā)生,將(62)式代入(59) 式得

其中

根據(jù)柯西積分定理,沿著實(shí)軸的積分 0 ≤t≤tf等于從0 到a+i∞的曲線積分,復(fù)數(shù)平面Cs的曲線積分,從b+i∞到tf曲線積分這三部分之和.這里a(b) 為連接曲線Cs的左端點(diǎn)(右端點(diǎn))的實(shí)數(shù).為了避免在ts發(fā)生奇點(diǎn),曲線Cs通過點(diǎn)ts-iε,ε →0+.這時(shí)(64)式分裂成2 項(xiàng):

對(duì)(65)式的第1 項(xiàng)使用分部積分可得

相對(duì)于第1 項(xiàng),第2 項(xiàng)是關(guān)于S′的逆高階項(xiàng),所以可以忽略不計(jì),因此(66)式中的主要貢獻(xiàn)來自實(shí)軸上的2個(gè)點(diǎn)t=0與t=tf,發(fā)現(xiàn)該項(xiàng)可以與(63)式的第2 項(xiàng)抵消,所以躍遷振幅的貢獻(xiàn)可以記為曲線Cs的積分.由于S′=0 被積函數(shù)是奇異的,分別將S與S′在鞍點(diǎn)處展開可得

將其代入 Ls可得

結(jié)合(63)式—(69)式,可以得到對(duì)于當(dāng)束縛勢為庫侖勢時(shí),其躍遷振幅寫為

4 庫侖修正強(qiáng)場近似

眾所周知,SFA 可以對(duì)復(fù)軌跡進(jìn)行有效的解釋,也稱為量子軌道[58,59].復(fù)軌跡法的實(shí)質(zhì)是: 由于不考慮庫侖勢,對(duì)于每一個(gè)最終光電子動(dòng)量p可以找到一個(gè)或幾個(gè)復(fù)電子軌跡r0(p,t) 滿足經(jīng)典的激光場中電子運(yùn)動(dòng)方程:

初始與邊界條件有

(72)式前2 項(xiàng)為初始條件,表明電子處于原點(diǎn)(也就是原子的位置)其動(dòng)能等于束縛能,第3 項(xiàng)為邊界條件表明電子以動(dòng)量p的狀態(tài)打在探測器上.雖然這個(gè)軌道滿足經(jīng)典運(yùn)動(dòng)方程,但是其軌道為復(fù)數(shù),說明電子從基態(tài)發(fā)生隧穿或多光子電離是量子效應(yīng).因?yàn)槌跏茧娮幽芰繛樨?fù),那么其初始時(shí)間ts也是復(fù)數(shù).當(dāng)時(shí)間t=t0=Re[ts] 時(shí),表明電子處于經(jīng)典作用區(qū)域,此時(shí)隧穿出口r0(p,t=t0) 為一個(gè)實(shí)數(shù).根據(jù)之前的初始條件可得

由于r0(p,t=ts) 為一個(gè)純虛數(shù),可得

根據(jù)之前的推導(dǎo)(70)式,SFA 電子的躍遷振幅為

另一個(gè)是由于軌跡修正r1導(dǎo)致的,記作

修正量r1由以下牛頓方程所決定:

其中,Zq為電荷量.如果選擇軌跡r0(p,t),并且在實(shí)時(shí)間t≥t0演化(78)式,那么將得到不同的末動(dòng)量v(t →+∞)≠p,這將無法對(duì)應(yīng)一個(gè)特定的末動(dòng)量p修正其躍遷振幅.但是,如果假定一個(gè)其他沒有庫侖的軌跡,在實(shí)時(shí)間演化(78)式其末動(dòng)量恰好等于需要的動(dòng)量.那么可以在作用量中用替代p,令=,庫侖修r(nóng)1的初始條件為.那么根據(jù)(76)式與(77)式可以計(jì)算出與這3個(gè)作用量.因此,修正后的電離振幅可以記作

5 基于軌跡的庫侖修正強(qiáng)場近似

SFA 是一種廣泛且成功地應(yīng)用于處理強(qiáng)場電離過程的理論計(jì)算方法.在其最簡單的形式中,只考慮所謂的“直接”電子,這些電子在電離之前被束縛在原子上,由于激光場的強(qiáng)度遠(yuǎn)大于庫侖勢的強(qiáng)度,電子在電離之后只在激光場的作用下運(yùn)動(dòng),因此不存在散射電子.而TCSFA 是在SFA 的基礎(chǔ)上對(duì)電子軌跡進(jìn)行了修正,其不僅僅是體現(xiàn)在電子的運(yùn)動(dòng)方程,在作用量上也進(jìn)行了修正.由于在軌跡中考慮了庫侖勢,那么電子不僅有直接電子,同時(shí)也存在散射電子[24].根據(jù)鞍點(diǎn)方程?S(t)/?t=,可知電子開始時(shí)間ts為復(fù)數(shù),所以其電子軌跡可分為2 部分: 一部分為ts→Re[ts]=tr描述了電子在勢壘下的過程;另一部分為tr →∞描述了電子在經(jīng)典區(qū)域的過程.在勢壘下電子的軌跡不受庫侖勢的影響,在經(jīng)典區(qū)域電子的軌跡會(huì)受到庫侖勢的擾動(dòng),在整個(gè)過程中作用量都引入了庫侖勢的修正.雖然勢壘下作用量考慮了庫侖勢的影響,但是鞍點(diǎn)方程并沒有考慮該修正,所以TCSFA 的鞍點(diǎn)方程與SFA 的鞍點(diǎn)方程一致.鞍點(diǎn)方程的每個(gè)解,稱為鞍點(diǎn),對(duì)應(yīng)著一個(gè)復(fù)電離時(shí)間.然而,對(duì)于大量的初始系綜,求解這些鞍點(diǎn)方程是非常耗時(shí)的.為了克服這一困難,Xiao等[60]提出了一種時(shí)間采樣的方法來解決這個(gè)問題.由鞍點(diǎn)方程可知通過時(shí)間上的采樣從而求解對(duì)應(yīng)的動(dòng)量p比在動(dòng)量上的采樣求解時(shí)間容易很多.

通過給定的漸進(jìn)動(dòng)量求解鞍點(diǎn)方程得到電子開始時(shí)間ts,TCSFA 計(jì)算過程分為勢壘下與經(jīng)典區(qū)2 部分.電子在勢壘下開始位置與電子到達(dá)經(jīng)典區(qū)的初始位置分別記為rsub(ts) 與r(t0),由于勢壘下電子的軌跡不受庫侖勢的影響,所以勢壘下的運(yùn)動(dòng)方程為

但是勢壘下的作用量考慮庫侖勢作了修正,記作

雖然經(jīng)典運(yùn)動(dòng)過程中考慮了庫侖勢的擾動(dòng),但是其初始條件與SFA 一樣,記作

其運(yùn)動(dòng)方程引入了庫侖力導(dǎo)致其發(fā)生了畸變,所以vre(t →tf)≠p,運(yùn)動(dòng)方程由下式描述:

相應(yīng)的經(jīng)典運(yùn)動(dòng)中其作用量表示為

電子的電離概率等于躍遷振幅的平方,根據(jù)(75)式可以得到

由于Sre(tf)為實(shí)數(shù),但是Ssub(t0) 為復(fù)數(shù),所以電離概率可以重寫為

其中電子的電離概率為

相位表示為

通過初始條件很容易計(jì)算出電子的電離概率w0,但是求解末態(tài)的動(dòng)量與累積的作用量Sre(tf) 需要演化該動(dòng)力學(xué)方程(83)式.這里使用了四階龍格-庫塔方法來求解該微分方程組[61].

電場在t=tf時(shí)關(guān)閉,自由電子的漸近動(dòng)量p(∞)等于電場結(jié)束時(shí)的動(dòng)量p(tf).但是在TCSFA 中,由于長程庫侖勢的作用,電子加速度不斷變化,因而產(chǎn)生了p(∞)≠p(tf).若能量小于零,這部分電子被認(rèn)為束縛到了里德伯態(tài)而未被電離.在沒有電場的系統(tǒng)中,能量大于零的電子只受到中心庫侖力的作用,可以看作經(jīng)典二體問題,可以用開普勒軌道處理.事實(shí)上,電場結(jié)束時(shí)電子的動(dòng)量p(tf) 與其位置r(tf) 唯一地確定了其在母離子庫侖勢下的運(yùn)動(dòng)軌跡,經(jīng)典力學(xué)的雙曲線運(yùn)動(dòng)標(biāo)準(zhǔn)公式可以解析求出電子漸近動(dòng)量[62,63]:

這里,M=r(tf)×p(tf) 和A=p(tf)×M -r(tf)/r(tf)分別代表角動(dòng)量守恒與龍格-楞次矢量.p(∞) 可由能量守恒定律得到:

最終,將大量隨機(jī)軌道在末速度空間下相干疊加便能得到如圖6 所示的動(dòng)量圖,可以看出考慮勢壘下作用量的TCSFA 能定量地模擬TDSE 結(jié)果.

圖6 pz -px平面內(nèi)光電子動(dòng)量分布圖[24] (a) TDSE,(b) SFA,(c) TCSFA 不考慮勢壘下作用量;(d) TCSFA 考慮勢壘下作用量Fig.6.Logarithmically scaled photoelectron momentum distribution in pz -px plane[24]: (a) TDSE,(b) SFA and (c)TCSFA without sub-CC;(d) TCSFA with sub-CC.

6 庫侖量子軌跡強(qiáng)場近似

第5 節(jié)提到的TCSFA 是通過給定的漸進(jìn)動(dòng)量求解鞍點(diǎn)方程得到電子的初始動(dòng)量,然后通過引入庫侖勢的動(dòng)力學(xué)方程演化電子的狀態(tài),最后統(tǒng)計(jì)電子的末態(tài)分布.CQSFA 則是選擇給定的末動(dòng)量通過3 個(gè)鞍點(diǎn)等式去求解電子的不同初態(tài),這不同的初態(tài)包括4 類軌跡通過引入庫侖勢的動(dòng)力學(xué)演化最后都會(huì)達(dá)到給定的末態(tài)從而相干疊加[25,26].

SFA 與CCSFA 中鞍點(diǎn)方程如(56)式所示只有一個(gè)等式,給定漸進(jìn)動(dòng)量p從而計(jì)算復(fù)數(shù)電離時(shí)間ts,這里的p在強(qiáng)場近似中對(duì)應(yīng)末動(dòng)量.但是在CQSFA 中,不僅僅需要找到ts,同時(shí)需要根據(jù)電子末 動(dòng)量p(tf) 來求得電子初始位置r(tr) 與 初始動(dòng)量p(tr).所以其鞍點(diǎn)方程必須同時(shí)滿足3 個(gè)等式:

(92)式描述了隧穿過程能量守恒,(93)式與(94)式描述了電子在連續(xù)態(tài)的動(dòng)力學(xué)過程τ ∈(tr,Tp).對(duì)于簡單的庫侖勢V(r)=-C/|r|,由(93)式可以得到

將(95)式代入(92)式可得

其中p(ts) 為勢壘下的漸進(jìn)動(dòng)量,通常近似值是固定 的,即p(t1)=p(t2),t1∈[ts,tr],t2∈[ts,tr].那么就有(ts)→0,將其代入(96)式得

設(shè)電場矢勢為Az(t)=A0cos(ωt),(97)式有兩個(gè)鞍點(diǎn)解,這里記作

其中p0//為平行于電場方向電子的初始速度,p0⊥為垂直于電場方向電子的初始速度.1,2,3,4 分別代表4 類不用初始條件的軌道,其中 (1,4) 與 (2,3)時(shí)間表達(dá)式一樣但是由于其初始速度不同導(dǎo)致時(shí)間也是不同的.將隧穿位置作為初始位置與末動(dòng)量作為限制條件,求解(93)式與(94)式得到電子初始動(dòng)量.其具體做法是求解一個(gè)反問題,運(yùn)用迭代的方法不斷地增加庫侖耦合的作用.首先假設(shè)庫侖耦合作用為0,即C=0,用強(qiáng)場近似的解作為初始解,再令C=0.1 代入之前的解,顯然在動(dòng)力學(xué)方程中引入的庫侖耦合作用發(fā)生改變之后,末動(dòng)量的解不等于之前的限制條件,這時(shí)需要根據(jù)限制條件來修正之前的解從而改變初始動(dòng)量.然后不斷增加庫侖耦合作用,直到C=1 時(shí)庫侖耦合作用完全引入之前的鞍點(diǎn)方程,這樣就得到了4 類初始條件不同但是末動(dòng)量一致的軌道.這種方法沒有根據(jù)最終動(dòng)量明確地參數(shù)化初始動(dòng)量,但使每個(gè)軌道的初始動(dòng)量能夠計(jì)算出任何給定的最終動(dòng)量.使用鞍點(diǎn)近似,由(20)式可得躍遷振幅為

其中下標(biāo)s 代表鞍點(diǎn),ts,ps,rs是通過求解(92)式—(97)式得到,進(jìn)而根據(jù)空間積分或者傅里葉變換求解〈p+A(ts)|r·E(ts)|Ψ0〉.?ps(tf)/?rs(ts) 為 穩(wěn)定因子,前項(xiàng)因子為

相位分為兩項(xiàng):

其中等式右邊第1 項(xiàng)與第2 項(xiàng)分別為延時(shí)間虛軸與時(shí)間實(shí)軸累計(jì)的作用量.沿虛軸時(shí)的軌跡沒有受庫侖勢的影響,作用量可表示為

其中

沿實(shí)軸的作用量表示為

將(95)式代入(104)式可得

其中

最后,將相同末動(dòng)量的4 類軌道相干疊加可得到光電子角度分布(圖7).由圖7 可以看到,CQSFA 也能定量地復(fù)制TDSE 的結(jié)果.并且計(jì)算中只存在4 類軌跡,在解析物理圖像時(shí)能更加有效地辨識(shí)背后的產(chǎn)生機(jī)制.

圖7 氫原子二維光電子角度分布[26] (a) CQSFA;(b) SFA;(c) TDSEFig.7.Two-dimensional photoelectron angular distributions of hydrogen atom[26]: (a) CQSFA;(b) SFA;(c) TDSE.

7 結(jié)論與展望

費(fèi)曼路徑積分方法提供了一種量子軌跡的強(qiáng)場動(dòng)力學(xué)計(jì)算方法,使得人們可以從經(jīng)典的視角去研究量子效應(yīng),為強(qiáng)場物理在研究微觀世界粒子動(dòng)力學(xué)過程取得了突破性的進(jìn)展.本文介紹了使用遺傳算法與牛頓迭代法優(yōu)化復(fù)平面鞍點(diǎn)方程的計(jì)算模型,這兩種方法能夠有效減少計(jì)算所消耗的時(shí)間.詳細(xì)推導(dǎo)了幾種費(fèi)曼路徑積分強(qiáng)場動(dòng)力學(xué)計(jì)算方法,包括SFA,CCSFA,TCSFA 與CQSFA.由于SFA 忽略了庫侖勢的作用,不能在定量上與實(shí)驗(yàn)結(jié)果相符合.CCSFA 在作用量里面考慮了庫侖勢的影響,同時(shí)將軌跡的修正以作用量的形式考慮在內(nèi).TCSFA 將軌跡的修正直接考慮在運(yùn)動(dòng)方程中,同時(shí)作用量也由每一時(shí)刻能量的積分得到.這2 種方法都需要大量的計(jì)算軌道,CQSFA 則是將每個(gè)末動(dòng)量下分為4 類軌道,有效地減少了計(jì)算量同時(shí)保證了計(jì)算的質(zhì)量.相比前兩種方法,該方法雖然簡化了計(jì)算,但是鞍點(diǎn)方程卻更為復(fù)雜,不易于尋找到合適的鞍點(diǎn),通常需要不斷迭代才能尋找到合適的鞍點(diǎn).由于這3 種方法都引入了庫侖勢的作用,其都能與實(shí)驗(yàn)結(jié)果做定量比較.雖然現(xiàn)在費(fèi)曼路徑積分強(qiáng)場動(dòng)力學(xué)計(jì)算方法已經(jīng)被廣泛應(yīng)用,但是其局限性很明顯: 一是多原子、多電子等復(fù)雜波函數(shù)很難解析得到;二是軌道如何從經(jīng)典軌跡解釋清楚量子效應(yīng).如何將費(fèi)曼路徑積分強(qiáng)場動(dòng)力學(xué)計(jì)算方法推廣至更復(fù)雜的系統(tǒng),對(duì)量子效應(yīng)提出更好的解釋模型,需要在此基礎(chǔ)上發(fā)展更加有效的理論方法.