孟星柔 劉若琪 賀亞峰 鄧騰坤 劉富成

(河北大學(xué)物理科學(xué)與技術(shù)學(xué)院,保定 071002)

1 引言

圖靈斑圖是均勻定態(tài)經(jīng)歷圖靈失穩(wěn)而自發(fā)產(chǎn)生的空間定態(tài)圖紋,其廣泛存在于生物體、生態(tài)系統(tǒng)、地球化學(xué)以及物理化學(xué)等領(lǐng)域[1-4].圖靈失穩(wěn)的機(jī)理是擴(kuò)散所引起的不穩(wěn)定性[5],因此,擴(kuò)散是反應(yīng)擴(kuò)散系統(tǒng)圖靈斑圖形成的關(guān)鍵因素.以前的研究大都只考慮自擴(kuò)散過程[6-9],但在實(shí)際系統(tǒng)中,給定物種的擴(kuò)散通量也會(huì)受到其他物種梯度的影響[10],即存在交叉擴(kuò)散.例如,社會(huì)系統(tǒng)中的人口統(tǒng)計(jì)學(xué)[11],生態(tài)系統(tǒng)中的物種遷移[12],物理系統(tǒng)中的靜電相互作用和排除體積效應(yīng)[13],化學(xué)系統(tǒng)中的化學(xué)波動(dòng)力學(xué)[14]以及粒子運(yùn)輸過程[15]等都會(huì)導(dǎo)致交叉擴(kuò)散效應(yīng).

自Kerner[16]首次提出交叉擴(kuò)散以來,人們逐漸認(rèn)識(shí)到自擴(kuò)散與交叉擴(kuò)散的相互作用可以使反應(yīng)擴(kuò)散系統(tǒng)產(chǎn)生更為豐富的時(shí)空斑圖動(dòng)力學(xué)[17-19].在自擴(kuò)散作用下,圖靈不穩(wěn)定性只能由長程抑制和短程激活來觸發(fā),但引入交叉擴(kuò)散項(xiàng)解除了這種限制[11].交叉擴(kuò)散可以影響反應(yīng)擴(kuò)散系統(tǒng)中圖靈不穩(wěn)定性的形成與消失[20-22].Chung 和Peacock-López[23]在帶有交叉擴(kuò)散項(xiàng)的自我復(fù)制化學(xué)模型中,分析獲得了表征龐加萊-阿德羅諾夫-霍普夫分岔和圖靈分岔參數(shù)之間的精確關(guān)系.此外通過改變交叉擴(kuò)散系數(shù),可以實(shí)現(xiàn)六邊形與條紋斑圖之間的轉(zhuǎn)變[11,24,25].上述關(guān)于交叉擴(kuò)散的研究中只針對(duì)雙向交叉擴(kuò)散,盡管從理論結(jié)果上雙向擴(kuò)散包含了單向擴(kuò)散,但在實(shí)際的復(fù)雜系統(tǒng),尤其是生命系統(tǒng)以及生態(tài)系統(tǒng)中,單向交叉擴(kuò)散更加符合實(shí)際情況.例如,由于食物鏈的單向性,病毒傳播過程中健康人類對(duì)患病禽類并沒有影響[26];由于季節(jié)變化、覓食以及繁殖等因素引起動(dòng)物的周期性遷移[27].但是鮮有研究者單獨(dú)考慮單向交叉擴(kuò)散的影響,且其單獨(dú)作用機(jī)理尚不清楚.交叉擴(kuò)散的方向性對(duì)斑圖動(dòng)力學(xué)的影響尚需進(jìn)一步研究[28,29].

復(fù)雜系統(tǒng)中物質(zhì)的擴(kuò)散過程一般來說與物質(zhì)濃度密切相關(guān),因此常擴(kuò)散系數(shù)的反應(yīng)擴(kuò)散模型無法精確描述復(fù)雜系統(tǒng)[30-32].研究發(fā)現(xiàn)濃度依賴的擴(kuò)散系數(shù)對(duì)斑圖形成和選擇以及轉(zhuǎn)變有著很大的影響.Zemskov 等[33]理論分析了濃度依賴交叉擴(kuò)散作用下圖靈不穩(wěn)定性的條件.Li 等[34,35]研究了自擴(kuò)散系統(tǒng)中受局域濃度調(diào)控下圖靈斑圖的形成機(jī)制,發(fā)現(xiàn)控制調(diào)控系數(shù)可實(shí)現(xiàn)六角斑圖和條紋斑圖共存并且可以調(diào)節(jié)二者比例.通過在圖靈系統(tǒng)中施加一個(gè)圓偏振電場(chǎng),也可實(shí)現(xiàn)六邊形與條紋斑圖之間的轉(zhuǎn)化[36,37].在可激發(fā)的介質(zhì)中,濃度依賴性擴(kuò)散可實(shí)現(xiàn)自我復(fù)制行為到穩(wěn)定空間結(jié)構(gòu)的轉(zhuǎn)變[38].Gambino 等[39]發(fā)現(xiàn)在沒有霍普夫和波不穩(wěn)定性的反應(yīng)擴(kuò)散系統(tǒng)中,引入交叉擴(kuò)散項(xiàng)可以產(chǎn)生閃爍六邊形和其他振蕩圖靈斑圖.Mukherjee 等[40]發(fā)現(xiàn)在濃度依賴交叉擴(kuò)散項(xiàng)的影響下,自擴(kuò)散模型中的混沌動(dòng)力學(xué)可以被抑制,從而達(dá)到穩(wěn)態(tài)或保持穩(wěn)態(tài).從擴(kuò)散本質(zhì)上來講,交叉擴(kuò)散來源于物質(zhì)之間的相互作用,因此一種物質(zhì)的交叉擴(kuò)散系數(shù),除了與自身濃度相關(guān)外,還應(yīng)當(dāng)與其他物質(zhì)的濃度有關(guān),例如生態(tài)系統(tǒng)中的植被動(dòng)力學(xué),水的濃度可以誘導(dǎo)植被格局的轉(zhuǎn)變,促進(jìn)植被的密度,可預(yù)警荒漠化[41].到目前為止,大多數(shù)線性依賴濃度的交叉擴(kuò)散的研究集中于依賴自身濃度,但是還缺乏對(duì)交叉擴(kuò)散依賴另一變量濃度的研究.針對(duì)上述情況,本文通過在反應(yīng)擴(kuò)散系統(tǒng)中引入不同形式的交叉擴(kuò)散項(xiàng),系統(tǒng)研究了交叉擴(kuò)散的方向性以及濃度依賴性在圖靈斑圖轉(zhuǎn)變過程中的作用.

2 物理模型

布魯塞爾(Brusselator)模型是一種典型的反應(yīng)擴(kuò)散模型,因其理論分析與實(shí)驗(yàn)結(jié)果定性吻合,被廣泛用于研究圖靈斑圖動(dòng)力學(xué)[42].將交叉擴(kuò)散引入到該模型中,在無量綱的情況下,其形式如下:

其中u和v分別為活 化子與阻滯子濃度;a和b均為系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)參數(shù);Du和Dv分別為物質(zhì)u,v的自擴(kuò)散系數(shù).本文固定參數(shù)a=3,b=9,Du=3,以及Dv=10,以確保在無交叉擴(kuò)散情況下系統(tǒng)未經(jīng)歷霍普夫分岔,而經(jīng)歷圖靈分岔,從而確保圖靈斑圖的產(chǎn)生.Duv和Dvu為活化子與阻滯子之間的交叉擴(kuò)散系數(shù),其值可正可負(fù),且在通常情況下依賴于兩種物質(zhì)的濃度[43].

對(duì)系統(tǒng)的均勻定態(tài)解 (u0,v0)=(a,b/a) 進(jìn)行線性穩(wěn)定性分析,得到線性本征方程:

其中J為雅可比矩陣,D為擴(kuò)散系數(shù)矩陣:

對(duì)線性本征方程進(jìn)行求解可以得到本征值λ,進(jìn)而可以分析系統(tǒng)的分岔類型.在交叉擴(kuò)散為常數(shù)的情況下,圖靈分岔滿足的條件為[10]

由這些不等式共同決定的區(qū)域就是圖靈斑圖所能形成的參數(shù)區(qū)域,即圖靈空間.

圖1 給出了Duv-Dvu平面內(nèi)的圖靈空間分布情況.圖中每條曲線都對(duì)應(yīng)著不等式所確定區(qū)域的邊界.不等式(3a)所確定的區(qū)域以DuvDvu的乘積為邊界,如圖1 中點(diǎn)線所示.當(dāng)乘積DuDv為正值時(shí),該區(qū)域在第一和第三象限的兩個(gè)雙曲線內(nèi).不等式(3b)所確定的區(qū)域也以D uvD vu的乘積為邊界,且其數(shù)值應(yīng)當(dāng)大于某一負(fù)值,因此該區(qū)域位于第二和第四象限的雙曲線內(nèi).不等式(3c)對(duì)應(yīng)著一條直線,將平面分為兩個(gè)區(qū)域,圖靈區(qū)域位于直線下方.最后,不等式(3d)得到一個(gè)橢圓,圖靈區(qū)域在橢圓區(qū)域之外.

圖1 a=3,b=9,D u=3,D v=10 時(shí),交叉擴(kuò)散存在下的圖靈空間.點(diǎn)線、粗實(shí)線、細(xì)實(shí)線和虛線分別對(duì)應(yīng)(3a)式—(3d)式Fig.1.Turing space in the present of cross diffusion for a=3,b=9,D u=3,and D v=10.Thick solid line,dotted line,thin solid line,and dotted line correspond to Eqs.(3a)-(3d),respectively.

線性穩(wěn)定性分析只能得到圖靈斑圖的存在空間,但無法確定圖靈斑圖的類型.為此本文利用多重尺度的方法推導(dǎo)出系統(tǒng)經(jīng)歷圖靈分岔后二維圖靈斑圖的振幅方程,并據(jù)此分析圖靈斑圖的選擇問題[44,45].由于篇幅限制,這里只給出主要結(jié)果.

為方便本文仍然使用原變量,系統(tǒng)方程(1)在平衡點(diǎn) (u0,v0) 處的泰勒展開式為

在臨界點(diǎn)附近,方程解的形式可寫為

方程(4)可寫為如下形式:

式中L為線性算符,N為非線性算符,它們分別為

選取b為控制參數(shù),bT為對(duì)應(yīng)的臨界值.將控制參量b、變量c與非線性項(xiàng)N按小量ε展開:

其中,

線性算符L可分解為

其中,

利用中心流理論[44]推導(dǎo)可得如下振幅方程:

其中,μ表示臨界值的歸一化距離;τ0表示弛豫時(shí)間.計(jì)算可得方程中系數(shù)μ,τ0,h,g1,g2的表達(dá)式分別為

當(dāng)系統(tǒng)偏離分岔點(diǎn),需要考慮μ的影響,將系數(shù)h修正為[45]

其中,p滿足,q滿足為LT的伴隨算子.G1,G2和H的表達(dá)式可參見文獻(xiàn)[46].

振幅方程(5)中的每個(gè)解都對(duì)應(yīng)著一種斑圖類型.振幅系數(shù)Aj可分解為模ρj=|Aj|及一個(gè)相應(yīng)的相角?j,將Aj=ρjexp(i?i) 代入振幅方程并分離實(shí)部和虛部,可得如下方程:

其中,?=?1+?2+?3,上述系統(tǒng)有下列4 種類型的解,分別對(duì)應(yīng)均勻定態(tài)、條紋斑圖、六邊形斑圖以及混合態(tài)斑圖.

1)定態(tài)解(0):

當(dāng)μ＜μ2=0 時(shí),定態(tài)解穩(wěn)定,當(dāng)μ＞μ2時(shí),定態(tài)解不穩(wěn)定.

2)條狀斑圖(S):

根據(jù)μ=h(μ)2g1/(g2-g1)2可得到兩個(gè)解.當(dāng)＜時(shí),條紋斑圖穩(wěn)定.

3)六邊形斑圖(H0,Hπ) :

六邊形斑圖的類型由振幅方程中的二次項(xiàng)系數(shù)h決定.當(dāng)h ＞0 時(shí),六邊形斑圖為H0(?=0),即點(diǎn)狀斑圖;當(dāng)h ＜0 時(shí),六邊形斑圖為Hπ(?=π),即蜂窩狀斑圖.六邊形斑圖解只有在μ＞μ1=時(shí)才存在.

當(dāng)g2＞g1,μ＞時(shí),該解存在.

方程(1)通過商業(yè)有限元計(jì)算軟件Comsol Multiphysics 進(jìn)行數(shù)值求解.計(jì)算采用MUMPS 求解器,使用向后差分法進(jìn)行時(shí)間離散,時(shí)間步長采用自適應(yīng)步長,用10-4的相對(duì)精度進(jìn)行控制.模擬區(qū)域大小為64×64,使用自由三角形網(wǎng)格進(jìn)行空間離散,網(wǎng)格最大單元格大小0.64,最大單元增長率1.1.在均勻定態(tài)的基礎(chǔ)上附加一個(gè)10%的隨機(jī)擾動(dòng)作為初始條件,邊界處選取無通量邊界條件.系統(tǒng)演化時(shí)間采用104無量綱時(shí)間,系統(tǒng)在演化時(shí)間5000 左右后趨于穩(wěn)定.

3 模擬結(jié)果與討論

為了系統(tǒng)研究交叉擴(kuò)散項(xiàng)對(duì)圖靈斑圖轉(zhuǎn)變的影響,分別討論了交叉擴(kuò)散系數(shù)為常數(shù)以及線性依賴濃度時(shí)的兩種情況.在常數(shù)交叉擴(kuò)散系數(shù)情況下,從單向交叉擴(kuò)散以及雙向交叉擴(kuò)散兩個(gè)角度分析了交叉擴(kuò)散方向性的作用.

圖2 給出了交叉擴(kuò)散項(xiàng)Dvu=0,Duv≠0 時(shí),阻滯子向活化子的交叉擴(kuò)散對(duì)圖靈斑圖的影響.其中圖2(a)為不同交叉擴(kuò)散系數(shù)Duv下的色散關(guān)系曲線,曲線為特征值的實(shí)部 Re(λ),代表了圖靈模的線性增長率,Re(λ) 越大,圖靈模式增長越快.隨著擴(kuò)散系數(shù)Duv的增大,臨界值的歸一化距離μ不斷增大,圖靈模波數(shù)及其對(duì)應(yīng)的 Re(λ) 逐漸增大,系統(tǒng)逐漸遠(yuǎn)離初級(jí)分岔點(diǎn).偏離分岔點(diǎn)的程度是模式選擇過程中的一個(gè)重要因素.隨著系統(tǒng)偏離圖靈分岔點(diǎn)的程度逐漸增大,系統(tǒng)經(jīng)歷均勻態(tài)→蜂窩六邊形→條紋→點(diǎn)狀六邊形的轉(zhuǎn)變[42,45,47],定義上述轉(zhuǎn)變次序?yàn)檎蜣D(zhuǎn)變,反之則為反向轉(zhuǎn)變.圖2(b)—(d)給出了交叉擴(kuò)散項(xiàng)Duv作用下條紋斑圖向點(diǎn)狀六邊形斑圖轉(zhuǎn)變的過程.當(dāng)交叉擴(kuò)散項(xiàng)Duv=0 時(shí),即自擴(kuò)散情況下,此時(shí)μ滿足=0.2882,系統(tǒng)產(chǎn)生圖2(b)所示的條紋斑圖.在單向交叉擴(kuò)散項(xiàng)Duv的作用下,系統(tǒng)逐漸遠(yuǎn)離圖靈分岔點(diǎn),Duv=2 時(shí),μ滿足=0.5434＜μ=0.5459=1.2678,系統(tǒng)處于條紋與點(diǎn)狀六邊形同時(shí)存在的雙穩(wěn)區(qū)域,因此系統(tǒng)表現(xiàn)出條紋與點(diǎn)狀六邊形混合斑圖(圖2(c)),由于μ更接近,因此條紋斑圖優(yōu)于點(diǎn)狀六邊形斑圖.當(dāng)Duv=4.5 時(shí),臨界值的歸一化距離μ繼續(xù)增大,此時(shí)μ滿足=0.8679,且靠近,系統(tǒng)轉(zhuǎn)變?yōu)閳D2(d)所示的點(diǎn)狀六邊形斑圖.圖2 結(jié)果表明,阻滯子向活化子的交叉擴(kuò)散會(huì)導(dǎo)致系統(tǒng)逐漸遠(yuǎn)離初級(jí)分岔點(diǎn),從而引發(fā)圖靈斑圖的正向轉(zhuǎn)變,且數(shù)值模擬結(jié)果與理論分析相符.

圖2 單向交叉擴(kuò)散 Duv 引發(fā)的圖靈斑圖轉(zhuǎn)變 (a)色散曲線;(b)條紋斑圖,Duv=0 ;(c)點(diǎn)狀六邊形與條紋混合斑圖,Duv=2 ;(d)點(diǎn)狀六邊形斑圖,Duv=4.5Fig.2.Turing pattern transition induced by one-way cross diffusion term Duv : (a) Dispersion curves;(b) stripe pattern,Duv=0 ;(c) mixed pattern with stripes and spots,Duv=2 ;(d) hexagonal spot pattern,Duv=4.5.

圖3 研究了交叉擴(kuò)散項(xiàng)Duv=0,Dvu≠0 時(shí),活化子向阻滯子的交叉擴(kuò)散對(duì)圖靈斑圖轉(zhuǎn)變的影響.圖3(a)為不同交叉擴(kuò)散系數(shù)Dvu下的色散關(guān)系曲線,隨著擴(kuò)散系數(shù)Dvu的增大,臨界值的歸一化距離μ不斷減小,圖靈模波數(shù)及其對(duì)應(yīng)的Re(λ)逐漸減小,系統(tǒng)逐漸靠近圖靈分岔點(diǎn)并最終低于圖靈分岔點(diǎn).圖3(b)—(d)為在單向交叉擴(kuò)散系數(shù)Dvu作用下,系統(tǒng)從條紋經(jīng)歷蜂窩六邊形最終穩(wěn)定成均勻態(tài)的轉(zhuǎn)變過程.相較于自擴(kuò)散的情況,當(dāng)交叉擴(kuò)散系數(shù)Dvu=0.5 時(shí),系統(tǒng)相對(duì)靠近圖靈岔點(diǎn),μ略微減小,但仍滿足＜μ=0.2103,因此系統(tǒng)表現(xiàn)為圖3(b)所示的條紋斑圖.隨著Dvu增大到1.5,此時(shí)μ滿足=0.0665＜μ=0.0796=0.1871,系統(tǒng)處于蜂窩狀六邊形與條紋同時(shí)存在的雙穩(wěn)區(qū)域,但由于μ更接近,因此系統(tǒng)表現(xiàn)出圖3(c)所示的蜂窩狀六邊形斑圖.當(dāng)Dvu=3時(shí),由于超出了圖1 中圖靈空間的參數(shù)范圍,此時(shí)特征值的實(shí)部 Re(λ) 低于圖靈分岔點(diǎn),系統(tǒng)逐漸穩(wěn)定成均勻態(tài)(圖3(d)).圖3 結(jié)果表明,活化子向阻滯子的交叉擴(kuò)散會(huì)導(dǎo)致系統(tǒng)逐漸靠近初級(jí)分岔點(diǎn),從而引發(fā)圖靈斑圖的反向轉(zhuǎn)變,且數(shù)值模擬結(jié)果與理論分析相符.

圖3 單向交叉擴(kuò)散 Dvu 引發(fā)的圖靈斑圖轉(zhuǎn)變 (a)色散曲線;(b)條紋斑圖,Dvu=0.5 ;(c)蜂窩狀六邊形斑圖,Dvu=1.5 ;(d)均勻態(tài),Dvu=3Fig.3.Turing pattern transition induced by one-way cross diffusion term Dvu : (a) Dispersion curves;(b) stripe pattern,Dvu=0.5 ;(c) honeycomb hexagonal pattern,Dvu=1.5 ;(d) uniform state,Dvu=3.

圖4 為對(duì)稱雙向交叉擴(kuò)散(Duv=Dvu)對(duì)圖靈斑圖的影響,改變對(duì)稱交叉擴(kuò)散系數(shù)會(huì)影響圖靈斑圖的參數(shù)區(qū)域,導(dǎo)致其發(fā)生轉(zhuǎn)變.其中圖4(a)為不同雙向交叉擴(kuò)散系數(shù)下的色散曲線,隨著雙向交叉擴(kuò)散系數(shù)的增大,系統(tǒng)逐漸遠(yuǎn)離圖靈分岔點(diǎn).當(dāng)雙向交叉擴(kuò)散系數(shù)Duv=Dvu=1 時(shí),活化子與阻滯子之間的交叉擴(kuò)散效應(yīng)較小,此時(shí)系統(tǒng)偏離圖靈分岔點(diǎn)的程度與自擴(kuò)散時(shí)系統(tǒng)偏離圖靈分岔點(diǎn)的程度相當(dāng),μ滿足＜μ=0.2642,因此系統(tǒng)仍然表現(xiàn)為條紋斑圖,如圖4(b)所示,在對(duì)稱雙向交叉擴(kuò)散情況下數(shù)值模擬結(jié)果也與理論分析相符.隨著對(duì)稱雙向交叉擴(kuò)散系數(shù)的增大,μ逐漸增大,此時(shí)g ＜0,系統(tǒng)發(fā)生次臨界分岔,在次臨界區(qū)域,通過弱非線性分析得到三次Stuart-Landau規(guī)范性振幅方程不再適用,須將弱非線性展開式提高至五次,暫不予研究.但從色散關(guān)系曲線可知,此時(shí)系統(tǒng)相對(duì)遠(yuǎn)離初級(jí)圖靈分岔點(diǎn),因此產(chǎn)生如圖4(c)所示的蜂窩狀六邊形與條紋混合斑圖.當(dāng)對(duì)稱雙向交叉擴(kuò)散系數(shù)增大到5 時(shí),此時(shí)失穩(wěn)圖靈模式的區(qū)域增大,最危險(xiǎn)圖靈模式增強(qiáng),且其波數(shù)增大,因此系統(tǒng)表現(xiàn)為多?；旌习邎D如圖4(d)所示.另外,當(dāng)交叉擴(kuò)散系數(shù)Dvu=0 時(shí),增大擴(kuò)散系數(shù)Duv,μ滿足,系統(tǒng)將會(huì)一直呈現(xiàn)出點(diǎn)狀六邊形斑圖,數(shù)值模擬結(jié)果以及理論分析均表明:在單向交叉擴(kuò)散情況下,當(dāng)阻滯子向活化子的交叉擴(kuò)散效果足夠強(qiáng)時(shí),不會(huì)出現(xiàn)多?；旌习邎D.圖4結(jié)果表明,在對(duì)稱雙向交叉擴(kuò)散作用下,阻滯子向活化子的交叉擴(kuò)散效應(yīng)要強(qiáng)于活化子向阻滯子的交叉擴(kuò)散.

圖4 對(duì)稱雙向交叉擴(kuò)散作用下圖靈斑圖的轉(zhuǎn)變過程 (a)色散曲線;(b)條紋斑圖,Duv=Dvu=1 ;(c)蜂窩狀六邊形與條狀混合斑圖,Duv=Dvu=3 ;(d)多?；旌习邎D,Duv=Dvu=5Fig.4.Turing pattern transition induced by symmetrical two-way cross-diffusion: (a) Dispersion curves;(b) stripe pattern,Duv=Dvu=1 ;(c) mixed pattern with honeycomb hexagons and stripes,Duv=Dvu=3 ;(d) multimode mixed pattern,Duv=Dvu=5.

圖5 給出了非對(duì)稱雙向交叉擴(kuò)散(Duv≠Dvu)對(duì)圖靈斑圖轉(zhuǎn)變的影響.圖5(a)為非對(duì)稱雙向交叉擴(kuò)散作用下的色散曲線,固定Duv=1,逐漸增大Dvu,當(dāng)交叉擴(kuò)散系數(shù)Dvu ≈1.1 時(shí),與系統(tǒng)自擴(kuò)散下的色散曲線基本一致,當(dāng)Dvu＞ 1.1 時(shí),系統(tǒng)逐漸靠近圖靈分岔點(diǎn)并最終低于圖靈分岔點(diǎn).圖5(b)—(d)給出了非對(duì)稱雙向交叉擴(kuò)散下,斑圖從條紋經(jīng)歷蜂窩狀六邊形向均勻態(tài)方向轉(zhuǎn)變的過程.當(dāng)Dvu=0 時(shí),μ滿足＜μ=0.4171,此時(shí)只有阻滯子向活化子的交叉擴(kuò)散作用在系統(tǒng)上,會(huì)導(dǎo)致系統(tǒng)相對(duì)遠(yuǎn)離初級(jí)分岔點(diǎn),產(chǎn)生條紋斑圖如圖5(b).但當(dāng)Dvu=2.5 時(shí),活化子向阻滯子的交叉擴(kuò)散效應(yīng)要強(qiáng)于阻滯子向活化子的交叉擴(kuò)散,因此系統(tǒng)相對(duì)靠近初級(jí)分岔點(diǎn),呈現(xiàn)出如圖5(c)所示的蜂窩狀六邊形斑圖.當(dāng)交叉擴(kuò)散系數(shù)Dvu增大到5 時(shí),特征值的實(shí)部 Re(λ) 低于圖靈分岔點(diǎn),最終得到均勻態(tài)如圖5(d).圖5 結(jié)果表明,在非對(duì)稱雙向交叉擴(kuò)散作用下,圖靈斑圖的轉(zhuǎn)變方向與交叉擴(kuò)散系數(shù)的強(qiáng)度相關(guān),若阻滯子向活化子的交叉擴(kuò)散效應(yīng)較強(qiáng),則系統(tǒng)遠(yuǎn)離圖靈分岔點(diǎn)發(fā)生正向轉(zhuǎn)變,與之相反,則系統(tǒng)靠近圖靈分岔點(diǎn)發(fā)生反向轉(zhuǎn)變.

圖5 非對(duì)稱交叉擴(kuò)散項(xiàng)下圖靈斑圖的轉(zhuǎn)變過程,Duv=1 (a)色散曲線;(b)條紋斑圖,Dvu=0 ;(c)蜂窩狀六邊形斑圖,Dvu=2.5 ;(d)均勻態(tài),Dvu=5Fig.5.Turing pattern transition induced by asymmetrical two-way cross-diffusion at Duv=1 : (a) Dispersion curves;(b) stripe pattern,Dvu=0 ;(c) honeycomb hexagonal pattern,Dvu=2.5 ;(d) uniform state,Dvu=5.

在生物系統(tǒng)中,化學(xué)物質(zhì)通過細(xì)胞運(yùn)輸時(shí)受到局域化學(xué)物質(zhì)濃度的影響[38].物質(zhì)的擴(kuò)散不僅依賴于自身的濃度,而且還依賴于其他物質(zhì)的濃度,例如物種遷移,植被格局,多孔介質(zhì)中的傳質(zhì)過程等[21].因此引入線性依賴濃度的交叉擴(kuò)散系數(shù)Dij=(1+βj)D0,進(jìn)一步研究依賴其他變量的擴(kuò)散系數(shù)對(duì)系統(tǒng)斑圖形成以及斑圖選擇的影響.其中i代表活化子u或阻滯 子v的濃度,j代表兩者中另一變量的濃度,β是濃度依賴的調(diào)節(jié)參數(shù),而D0為恒定的擴(kuò)散系數(shù).本文從兩個(gè)角度分別進(jìn)行研究: 1)活化子的交叉擴(kuò)散系數(shù)Duv線性依賴于阻滯子濃度;2)阻滯子的交叉擴(kuò)散系數(shù)Dvu線性依賴于活化子濃度.

圖6 為交叉擴(kuò)散系數(shù)Dvu=2,Duv取不同調(diào)節(jié)參數(shù)β時(shí)斑圖的轉(zhuǎn)變過程.當(dāng)β ＜-0.48 時(shí),系統(tǒng)低于圖靈分岔點(diǎn),因此當(dāng)β=-0.6 時(shí),呈現(xiàn)出均勻態(tài),如圖6(a)所示.當(dāng)-0.48＜β ＜-0.31 時(shí),隨著參數(shù)β的增大,圖靈模本征值增大,系統(tǒng)高于圖靈分岔點(diǎn),當(dāng)β=-0.4 時(shí),μ滿足μ1＜μ=-0.0215＜μ2,因此系統(tǒng)表現(xiàn)為蜂窩狀六邊形(圖6(b)).繼續(xù)增大β,g ＜0,系統(tǒng)發(fā)生次臨界分岔,三階的振幅方程不再適用.當(dāng)-0.31＜β ＜-0.15 時(shí),系統(tǒng)呈現(xiàn)出圖6(c)所示的蜂窩狀六邊形與條紋混合斑圖.當(dāng)β ＞-0.15 時(shí),系統(tǒng)與自擴(kuò)散時(shí)偏離初級(jí)分岔點(diǎn)的程度相當(dāng),因此表現(xiàn)為條紋斑圖如圖6(d).當(dāng)0.5＜β ＜1.4時(shí),系統(tǒng)遠(yuǎn)離圖靈分岔點(diǎn),呈現(xiàn)圖6(e)所示的點(diǎn)狀六邊形與條紋混合斑圖,隨著調(diào)節(jié)參數(shù)的增大,點(diǎn)狀六邊形的比例逐漸增大.當(dāng)β ＞1.4時(shí),阻滯子向活化子的交叉擴(kuò)散效應(yīng)遠(yuǎn)強(qiáng)于活化子向阻滯子的交叉擴(kuò)散,系統(tǒng)表現(xiàn)為圖6(f)所示的點(diǎn)狀六邊形斑圖,并且隨著β的增大,點(diǎn)狀六邊形的波長減小.圖6 結(jié)果表明,當(dāng)活化子的交叉擴(kuò)散系數(shù)Duv線性依賴阻滯子濃度v時(shí),隨著β的增大,系統(tǒng)逐漸遠(yuǎn)離圖靈分岔點(diǎn),從而引發(fā)圖靈斑圖的正向轉(zhuǎn)變.

圖6 濃度依賴交叉擴(kuò)散 Duv=D0(1+βv) 引起圖靈斑圖的轉(zhuǎn)變,D0=2,Dvu=2 (a) 均勻態(tài),β=-0.6 ;(b) 蜂窩六邊形斑圖,β=-0.4 ;(c) 蜂窩六邊形與條紋混合斑圖,β=-0.2 ;(d) 條紋斑圖,β=0 ;(e) 條紋與點(diǎn)狀混合斑圖,β=0.8 ;(f) 點(diǎn)狀六邊形斑圖,β=1.5Fig.6.Turing pattern transition induced by cross-diffusion coefficient with concentration-dependence (Duv=D0(1+βv)),D0=2,Dvu=2 : (a) Uniform state,β=-0.6 ;(b) honeycomb hexagonal pattern,β=-0.4 ;(c) mixed pattern with honeycomb hexagons and stripes,β=-0.2 ;(d) stripe pattern,β=0 ;(e) mixed pattern with stripes and spots,β=0.8 ;(f) hexagonal spot pattern,β=1.5.

圖7 為交叉擴(kuò)散系數(shù)Duv=2,Dvu取不同調(diào)節(jié)參數(shù)β時(shí)引起圖靈斑圖轉(zhuǎn)變的過程.當(dāng)β ＜-0.25時(shí),系統(tǒng)偏離初級(jí)分岔點(diǎn)最遠(yuǎn),圖7(a)為β=-0.3時(shí),此時(shí)系統(tǒng)表現(xiàn)為點(diǎn)狀六邊形斑圖.當(dāng)-0.25＜β ＜-0.2時(shí),此時(shí)系統(tǒng)處于六邊形向條紋的過渡區(qū),因此呈現(xiàn)出點(diǎn)狀六邊形與條紋混合斑圖,如圖7(b)所示.隨著β的增大,系統(tǒng)相對(duì)靠近圖靈分岔點(diǎn),當(dāng)β ＞-0.2 時(shí),交叉擴(kuò)散項(xiàng)Dvu與Duv對(duì)系統(tǒng)的作用相當(dāng),因此表現(xiàn)為自擴(kuò)散時(shí)的斑圖類型,即圖7(c)所示的條紋斑圖.當(dāng) 0.05＜β ＜0.1 時(shí),此時(shí)系統(tǒng)處于條紋向六邊形的過渡區(qū),因此呈現(xiàn)出蜂窩狀六邊形與條紋混合斑圖,如圖7(d)所示.當(dāng) 0.1＜β ＜0.6 時(shí),系統(tǒng)繼續(xù)靠近初級(jí)分岔點(diǎn)呈現(xiàn)出圖7(e)所示的蜂窩狀六邊形.當(dāng)β ＞0.6 時(shí),活化子向阻滯子的交叉擴(kuò)散作用使系統(tǒng)低于圖靈分岔點(diǎn),因此系統(tǒng)穩(wěn)定成如圖7(f)所示的均勻態(tài).圖7結(jié)果表明,當(dāng)阻滯子的交叉擴(kuò)散系數(shù)Dvu線性依賴活化子濃度u時(shí),隨著β的增大,系統(tǒng)逐漸靠近并最終低于圖靈分岔點(diǎn),從而引發(fā)圖靈斑圖的反向轉(zhuǎn)變.濃度依賴性交叉擴(kuò)散會(huì)影響圖靈斑圖的轉(zhuǎn)變方向,因此,研究濃度依賴性交叉擴(kuò)散可預(yù)防荒漠化,對(duì)物種生存與滅絕等問題具有重要指導(dǎo)意義.另外,本文進(jìn)一步研究了交叉擴(kuò)散系數(shù)依賴自身變量以及同時(shí)依賴兩個(gè)變量的情況,結(jié)果表明相較于交叉擴(kuò)散系數(shù)依賴另一個(gè)變量的情況,依賴自身變量時(shí)僅增大了圖靈斑圖的參數(shù)范圍,而同時(shí)依賴兩個(gè)變量時(shí)僅減小圖靈斑圖的參數(shù)范圍,對(duì)斑圖其他性質(zhì)沒有明顯影響.

圖7 濃度依賴交叉擴(kuò)散 Dvu=D0(1+βu) 引起圖靈斑圖的轉(zhuǎn)變,D0=2,Duv=2 (a) 點(diǎn)狀六邊形斑圖,β=-0.30 ;(b) 條紋與點(diǎn)狀六邊形混合斑圖,β=-0.22 ;(c) 條紋斑圖,β=0 ;(d) 蜂窩狀六邊形與條紋混合斑圖,β=0.08 ;(e) 蜂窩狀六邊形斑圖,β=0.20 ;(f) 均勻態(tài),β=0.80Fig.7.Turing pattern transition induced by cross-diffusion coefficient with concentration-dependence (Dvu=D0(1+βu)),D0=2,Duv=2 : (a) Hexagonal spot pattern,β=-0.30 ;(b) mixed pattern with stripes and spots,β=-0.22 ;(c) stripe pattern,β=0 ;(d) mixed pattern with honeycomb hexagons and stripes,β=0.08 ;(e) honeycomb hexagonal pattern,β=0.20 ;(f) uniform state,β=0.80.

4 結(jié)論

本文通過在布魯塞爾反應(yīng)擴(kuò)散系統(tǒng)中引入不同形式的交叉擴(kuò)散系數(shù),系統(tǒng)研究了交叉擴(kuò)散的方向性以及濃度依賴性對(duì)圖靈斑圖演化過程的影響.在圖靈分岔點(diǎn)附近進(jìn)行弱非線性穩(wěn)定性分析,得到了系統(tǒng)的振幅方程,給出了不同類型斑圖的存在條件,并利用數(shù)值模擬對(duì)理論分析進(jìn)行了驗(yàn)證,模擬結(jié)果與理論一致.結(jié)果表明,單向交叉擴(kuò)散即可引起圖靈斑圖的轉(zhuǎn)變,且交叉擴(kuò)散的方向直接決定了斑圖轉(zhuǎn)變的次序.隨著阻滯子向活化子交叉擴(kuò)散強(qiáng)度的增大,系統(tǒng)會(huì)逐漸遠(yuǎn)離初級(jí)分岔點(diǎn),從而引發(fā)圖靈斑圖向點(diǎn)狀六邊形斑圖的正向轉(zhuǎn)變.反之,隨著活化子向阻滯子交叉擴(kuò)散強(qiáng)度的增大,系統(tǒng)會(huì)逐漸靠近圖靈分岔點(diǎn),引發(fā)圖靈斑圖向均勻態(tài)的反向轉(zhuǎn)變.對(duì)稱雙向交叉擴(kuò)散作用下,隨著交叉擴(kuò)散系數(shù)的增大系統(tǒng)發(fā)生反向轉(zhuǎn)變,表明阻滯子向活化子的交叉擴(kuò)散效應(yīng)要強(qiáng)于活化子向阻滯子的交叉擴(kuò)散.非對(duì)稱雙向交叉擴(kuò)散作用下,圖靈斑圖的轉(zhuǎn)變方向與交叉擴(kuò)散系數(shù)的強(qiáng)度相關(guān),若阻滯子向活化子的交叉擴(kuò)散效應(yīng)較強(qiáng)則系統(tǒng)遠(yuǎn)離圖靈分岔點(diǎn)發(fā)生正向轉(zhuǎn)變,與之相反,則系統(tǒng)靠近圖靈分岔點(diǎn)發(fā)生反向轉(zhuǎn)變.當(dāng)活化子的交叉擴(kuò)散系數(shù)Duv線性依賴阻滯子濃度v時(shí),隨著調(diào)節(jié)參數(shù)β的增大,引發(fā)圖靈斑圖正向轉(zhuǎn)變;相反,當(dāng)阻滯子的交叉擴(kuò)散系數(shù)Dvu線性依賴活化子濃度u時(shí),引發(fā)圖靈斑圖的反向轉(zhuǎn)變.以上研究結(jié)果揭示了交叉擴(kuò)散的方向性和濃度依賴性影響圖靈斑圖轉(zhuǎn)變方向的機(jī)制,對(duì)研究交叉擴(kuò)散對(duì)復(fù)雜非線性系統(tǒng)中植被格局、粒子運(yùn)輸、材料生長等其他斑圖的產(chǎn)生機(jī)制及類型選擇具有重要借鑒意義.