凃海元 李景財

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婆羅摩笈多是印度7世紀卓越的天文學家和數(shù)學家,他著有《婆羅門歷算書》,其中有兩章專論數(shù)學,包括算術、不定方程和幾何等內容,尤其是他研究圓內接四邊形得出了不少有趣的定理,其中婆羅摩笈多定理常為后人所研究.

1 婆羅摩笈多定理及相關結論

1.1 婆羅摩笈多定理

若圓內接四邊形的對角線相互垂直,則垂直于一邊且過對角線交點的直線將平分對邊.

符號語言:圓內接四邊形ABCD中,AC⊥BD,垂足為M,過點M作NH⊥BC交AD于點N,那么N為AD中點.

簡證：如圖1,因為AC⊥BD,NH⊥BC,以及∠BCM=∠ADM,所以可得∠HMC=∠DAM.因為∠HMC=∠AMN,所以∠DAM=∠AMN,則MN=AN.同理可得MN=DN,所以AN=DN,即N為AD的中點.

圖1

1.2 婆羅摩笈多模型及結論

對婆羅摩笈多定理條件進行弱化,脫離圓的背景,增加“等腰”的條件,可得婆羅摩笈多模型.

如圖2,如果四邊形ABCD的對角線AC,BD滿足AC⊥BD,垂足為點M,且AM=BM,CM=DM(即△ABM和△CDM為共頂點M的兩個等腰直角三角形),過點M的直線分別與AD,BC交于點N,H.

圖2

結論1：若NH⊥BC,則N為AD的中點,且BC=2MN.

結論2：若N為AD的中點,則NH⊥BC,且BC=2MN.

結論3：S△ADM=S△BMC.

證明略.

1.3 婆羅摩笈多模型的變式

若對上述模型條件進行弱化,使點B,M,D(或者點A,M,C)不共線,上述三個結論是否會發(fā)生改變?

變式1如圖3,△ABM和△CDM為共頂點M的兩個等腰直角三角形,連接AD,BC,過點M的直線分別與AD,BC相交于點N,H,則結論1～3仍成立.

圖3

證明：(1)如圖4,延長MN至點E,使ME=BC.由NH⊥BC,可得∠MBC=∠AME,∠MCB=∠EMD.因為AM=BM,所以△MAE≌△BMC,則AE=MC,∠AEM=∠MCB.又CM=DM,則AE=DM,∠AEM=∠EMD,所以AE∥DM,故四邊形AMDE是平行四邊形,因此N為AD與EM的中點.故BC=ME=2MN.

圖4

(2)如圖4,延長MN至點E,使NE=MN.由AN=DN,則四邊形AMDE是平行四邊形,故AE=DM=MC,∠EAM+∠AMD=180°.又∠AMD+∠BMC=180°,所以∠EAM=∠BMC,于是△MAE≌△BMC,則∠AEM=∠MCB.又∠AEM=∠EMD,所以∠MCH+∠HMC=∠EMD+∠HMC=90°,即NH⊥BC.因為N為AD的中點,所以BC=ME=2MN.

(3)由△MAE≌△BMC及四邊形AMDE是平行四邊形,得S△ADM=S△MAE=S△BMC.

變式2若對上述模型中的某一個等腰直角三角形進行旋轉,其他條件不變,三個結論是否會發(fā)生改變?

如圖5,△ABM和△CDM為共頂點M的兩個等腰直角三角形,連接AD,BC,過點M的直線分別與AD,BC相交于點N,H,則結論1～3仍成立.

圖5

變式3若對婆羅摩笈多模型的條件作進一步弱化,上面的三個結論還成立嗎?

如圖6,△ABM和△CDM為共頂點M的兩個等腰三角形,AM=BM,CM=DM,其中∠AMB+∠CMD=180°,連接AD,BC,過點M的直線分別與AD,BC相交于點N,H,可得如下結論:

圖6

結論(1)：若∠BHM=∠AMB(或者∠CHM=∠CMD),那么N為AD的中點,且BC=2MN.

結論(2)：若N為AD的中點,那么∠BHM=∠AMB(或者∠CHM=∠CMD),且BC=2MN.

結論(3)：S△ADM=S△BMC.

變式2,3的證明略.

由此可知,隨著條件的一般化,結論1、結論2更具有一般性.

2 婆羅摩笈多模型的應用

例1(2022年武漢市中考數(shù)學試題第16題)如圖7,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC>BC,分別以△ABC的三邊為邊向外作三個正方形ABHL,ACDE,BCFG,連接DF．過點C作AB的垂線CJ,垂足為J,分別交DF,LH于點I,K．若CI=5,CJ=4,則四邊形AJKL的面積是______．

圖7

解析：如圖8,因為CJ⊥AB,由結論1可知點I是DF的中點.由∠DCF=90°,可知DF=2CI.再由△DCF≌△ACB,可得AB=DF=2CI.因為CI=5,所以AB=10.設AJ=m,則JB=10-m.因為∠ACB=90°,由△ACJ∽△CBJ,可得CJ2=AJ·JB,所以42=m(10-m),解得m=8.因為四邊形ABHL是正方形,所以AL=AB=10,故四邊形AJKL的面積是10×8=80.

圖8

例2(2021年武漢市東湖高新區(qū)和江岸區(qū)期末聯(lián)考試題)如圖9,在等腰直角三角形ABC中,∠ABC=90°,O是AC的中點,點F,D分別在AB,BC上(點F,D與點A,B,C都不重合),OF⊥OD,OE⊥AD交AB于點E.求證:E是BF的中點.

圖9

證明：因為O是等腰直角三角形ABC斜邊AC上的中點,所以OB⊥OA,OB=OA=OC,∠FAO=∠DBO=45°.又OF⊥OD,則△AFO≌△BDO,所以OF=OD．

為了研究方便,現(xiàn)對圖9進行簡化,如圖10,延長OE至點G,使OG=AD.

圖10

由OE⊥AD,OB⊥OA,得∠PAO+∠AOP=90°,∠AOP+∠BOG=90°,所以∠PAO=∠BOG,于是△AOD≌△OBG,故OD=BG=OF,∠D=∠G．

因為OE⊥AD,OF⊥OD,所以∠D+∠DOP=90°,∠DOP+∠EOF=90°,于是∠D=∠EOF,則∠EOF=∠G.又∠GEB=∠OEF,所以△GEB≌△OEF.

所以BE=FE,故E是BF的中點.

例3〔2017年江西中考第(3)問的變式〕我們定義:如圖11,在△ABC中,把AB繞點A順時針旋轉α(0°<α<180°)得到AB′,把AC繞點A逆時針旋轉β得到AC′,連接B′C′.當α+β=180°時,我們稱△AB′C′是△ABC的“旋補三角形”,△AB′C′的邊B′C′上的中線AD叫做△ABC的“旋補中線”,點A叫做“旋補中心”.

圖11

問題 如圖12,在四邊形ABCD中,∠BCD=150°,AB=12,CD=6,以CD為邊在四邊形ABCD內部作等邊三角形PCD,連接AP,BP.若△PAD是△PBC的“旋補三角形”,請直接寫出△PBC的“旋補中線”長及四邊形ABCD的邊AD的長.

圖12

圖13

婆羅摩笈多模型結論經典,變式豐富,在平時的教學中利用該素材,融入數(shù)學史,可發(fā)揮數(shù)學的教育功能,同時可激發(fā)學生的數(shù)學學習興趣,培養(yǎng)學生的數(shù)學思維,并讓數(shù)學學科核心素養(yǎng)落地生根.Z