于亞琪,趙思雨,魏 玲,3

(1.西北大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院,陜西 西安 710127;2.西北大學(xué) 概念、認(rèn)知與智能研究中心,陜西 西安 710127;3.閩南師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院,福建 漳州 363000)

1982年,Wille提出了形式概念分析(formal concept analysis, FCA)理論[1-2]。該理論對(duì)哲學(xué)中的“概念”進(jìn)行形式化描述,并將所有概念按照一定的偏序關(guān)系和上下確界的定義,形成一個(gè)格結(jié)構(gòu),稱(chēng)之為概念格。經(jīng)過(guò)多年的研究探索,形式概念分析在屬性約簡(jiǎn)[3-5]、規(guī)則獲取[6-8]、三支概念分析[9-10]等領(lǐng)域產(chǎn)生了一些研究成果。

Duntsch和Gediga在FCA框架下提出了面向?qū)傩愿拍罡馵11];Yao提出了面向?qū)ο蟾拍罡馵12]。目前,關(guān)于面向?qū)傩愿拍罡衽c面向?qū)ο蟾拍罡褚旬a(chǎn)生了許多研究成果。比如:魏玲等提出了一種直接從形式背景出發(fā),獲得簡(jiǎn)化面向?qū)傩愿拍罡竦姆椒╗13];Medina研究了概念格、面向?qū)傩愿拍罡褚约懊嫦驅(qū)ο蟾拍罡竦膶傩蕴卣髦g的關(guān)系[14];周銀鳳等基于面向?qū)傩愿拍罡袂蠼庥珊先〖寄苡成浯_定的知識(shí)結(jié)構(gòu)[15]。

近年來(lái),為減少形式背景與概念格中存在許多冗余信息的問(wèn)題,許多約簡(jiǎn)理論被相繼提出。其中:魏玲等于2018年提出的保持二元關(guān)系不變的概念約簡(jiǎn)是形式概念分析中新的約簡(jiǎn)理論[16-17],與屬性約簡(jiǎn)相比,既避免了原始信息發(fā)生改變,又減少了概念數(shù)量;王霞等利用概念可辨識(shí)矩陣給出了一種求解概念約簡(jiǎn)的方法[18];謝小賢等借助布爾矩陣運(yùn)算研究了概念約簡(jiǎn)問(wèn)題[19];Zhao等從代表概念矩陣角度給出了求解概念約簡(jiǎn)的方法[20];智慧來(lái)等把概念約簡(jiǎn)思想引入面向?qū)ο蟾拍罡?并研究了面向?qū)ο蟾拍罴s簡(jiǎn)的相關(guān)問(wèn)題[21]。

目前,關(guān)于概念約簡(jiǎn)的相關(guān)研究還沒(méi)有涉及面向?qū)傩愿拍罴s簡(jiǎn)。本文研究面向?qū)傩愿拍罡竦母拍罴s簡(jiǎn)及其在知識(shí)空間理論中的應(yīng)用。

本文首先給出面向?qū)傩愿拍罴s簡(jiǎn)的定義,隨后引入POC代表概念矩陣,基于POC代表概念矩陣給出面向?qū)傩愿拍罴s簡(jiǎn)的求解方法與面向?qū)傩愿拍钐卣?其次,結(jié)合面向?qū)ο蟾拍罴s簡(jiǎn),給出面向?qū)傩愿拍罴s簡(jiǎn)與面向?qū)ο蟾拍罴s簡(jiǎn)之間的聯(lián)系;最后,從知識(shí)空間的角度,探討面向?qū)傩愿拍罴s簡(jiǎn)的意義。

1 預(yù)備知識(shí)

定義1[1]稱(chēng)(G,M,I)是形式背景,其中G={g1,…,gp}為對(duì)象集,M={m1,…,mq}為屬性集,I?G×M為G和M之間的二元關(guān)系。(g,m)∈I,表示對(duì)象g具有屬性m,記為gIm。(g,m)?I,表示對(duì)象g不具有屬性m,記為gIcm。

對(duì)任意的X?G,B?M,Wille[1]定義了一對(duì)導(dǎo)出算子如下,其性質(zhì)見(jiàn)文獻(xiàn)[2]。

X*={m∈M|?g∈X,gIm},

(1)

B*={g∈G|?m∈B,gIm}。

(2)

式中:X*表示X中的所有對(duì)象共同具有的屬性集合;B*表示共同具有B中所有屬性的對(duì)象集合。如果二元組(X,B)滿(mǎn)足X*=B且X=B*,則稱(chēng)(X,B)是一個(gè)概念。其中X稱(chēng)為概念的外延,B稱(chēng)為概念的內(nèi)涵。

類(lèi)似地,對(duì)任意的X?G,B?M,Qi[9]定義了一對(duì)負(fù)算子如下,其性質(zhì)見(jiàn)文獻(xiàn)[9]。

(3)

(4)

Duntsch和Gediga[11]在對(duì)象集和屬性集上分別定義了□、◇,并給出了面向?qū)傩愿拍畹亩x。

定義2[11]設(shè)(G,M,I)是形式背景,在對(duì)象集X?G和屬性集B?M上,定義一對(duì)近似算子□、◇。

X□={m∈M|m*?X};

(5)

X◇={m∈M|m*∩X≠?};

(6)

B□={g∈G|g*?B};

(7)

B◇={g∈G|g*∩B≠?}。

(8)

對(duì)于□、◇,有以下基本性質(zhì)。

性質(zhì)1[11-12]設(shè)(G,M,I)形式背景,X1,X2,X?G,B1,B2,B?M,有下列基本性質(zhì):

2)X□◇□=X□,X◇□◇=X◇;

B□◇□=B□,B◇□◇=B◇。

定義3[11]如果二元組(X,B)滿(mǎn)足X=B□且B=X◇,則稱(chēng)(X,B)為面向?qū)傩愿拍?。其中X稱(chēng)為面向?qū)傩愿拍畹耐庋?B稱(chēng)為面向?qū)傩愿拍畹膬?nèi)涵。

將形式背景(G,M,I)上的面向?qū)傩愿拍钊w記為L(zhǎng)p(G,M,I)。

若(X1,B1)和(X2,B2)是面向?qū)傩愿拍?其偏序關(guān)系定義為(X1,B1)≤(X2,B2)?X1?X2(?B1?B2),則(Lp(G,M,I),≤)是偏序集。上確界和下確界分別為

(X1,B1)∨(X2,B2)=((X1∪X2)◇□,B1∪B2),

(X1,B1)∧(X2,B2)=(X1∩X2,(B1∩B2)□◇),

則(Lp(G,M,I),∨,∧)是完備格,稱(chēng)之為面向?qū)傩愿拍罡瘛?/p>

面向?qū)ο蟾拍罡竦南嚓P(guān)定義及性質(zhì)見(jiàn)文獻(xiàn)[12]。

例1表1給出了一個(gè)形式背景(G,M,I) 。其中:對(duì)象集G={1,2,3,4,5} ;屬性集M={a,b,c,d,e,f,g}。(g,m)∈I用1表示,(g,m)I用0表示。該形式背景的面向?qū)傩愿拍罡袢鐖D1所示。為了方便表述,將每個(gè)面向?qū)傩愿拍钜詂i(i=1,2,…,9)編號(hào)。

圖1 面向?qū)傩愿拍罡馤p(G,M,I)Fig. 1 Property-oriented concept lattice Lp(G,M,I)

表1 形式背景(G,M,I) Tab. 1 Formal context (G,M,I)

2 面向?qū)傩愿拍罴s簡(jiǎn)

2.1 面向?qū)傩愿拍罴s簡(jiǎn)的定義及存在性

本小節(jié)從保持形式背景補(bǔ)二元關(guān)系不變的角度給出面向?qū)傩愿拍罴s簡(jiǎn)的定義,并給出兩種特殊的面向?qū)傩愿拍顓f(xié)調(diào)集。

文獻(xiàn)[2]給出了形式背景的二元關(guān)系與其所有概念之間的關(guān)系,如下引理所示。

引理1[2]設(shè)(G,M,I)是形式背景,L(G,M,I)是其概念格,有

I=∪{X×B|(X,B)∈L(G,M,I)}。

類(lèi)似地,補(bǔ)二元關(guān)系可表示為

Ic=∪{X×B|(X,B)∈NL(G,M,I)}。

根據(jù)算子之間的聯(lián)系,面向?qū)傩愿拍钆cN概念的關(guān)系如下。

性質(zhì)2[14]設(shè)(G,M,I)是形式背景,Lp(G,M,I)是其面向?qū)傩愿拍罡?NL(G,M,I)是其N(xiāo)概念格,有

(X,B)∈Lp(G,M,I)?(X,Bc)∈NL(G,M,I)。

由引理1和性質(zhì)2易得補(bǔ)二元關(guān)系也可由所有面向?qū)傩愿拍钌伞?/p>

定理1設(shè)(G,M,I)是形式背景,Lp(G,M,I)是其面向?qū)傩愿拍罡?則

Ic=∪{X×Bc|(X,B)∈Lp(G,M,I)}。

定義4設(shè)(G,M,I)是形式背景,Lp(G,M,I)是其面向?qū)傩愿拍罡?F?Lp(G,M,I)。如果Ic=∪(X,B)∈FX×Bc,則稱(chēng)F為保持補(bǔ)二元關(guān)系不變的面向?qū)傩愿拍罡竦母拍顓f(xié)調(diào)集,簡(jiǎn)稱(chēng)面向?qū)傩愿拍顓f(xié)調(diào)集;若對(duì)于任意(X0,B0)∈F,F′=F{(X0,B0)},有Ic≠∪(X,B)∈F′X×Bc,則稱(chēng)F為保持補(bǔ)二元關(guān)系不變的面向?qū)傩愿拍罡竦母拍罴s簡(jiǎn),簡(jiǎn)稱(chēng)面向?qū)傩愿拍罴s簡(jiǎn)。

定理2設(shè)(G,M,I)是形式背景,Lp(G,M,I)是其面向?qū)傩愿拍罡?則面向?qū)傩愿拍罴s簡(jiǎn)必存在。

證明若對(duì)任意(X0,B0)∈Lp(G,M,I),有∪(X,B)∈Lp(G,M,I)X×Bc≠∪(X,B)∈Lp(G,M,I){(X0,B0)}X×Bc,則Lp(G,M,I)本身即為面向?qū)傩愿拍罴s簡(jiǎn)。若存在(X1,B1)∈Lp(G,M,I),使∪(X,B)∈Lp(G,M,I)X×Bc=∪(X,B)∈Lp(G,M,I){(X1,B1)}X×Bc,則研究F=Lp(G,M,I){(X1,B1)},若對(duì)于任意(X2,B2)∈F,有∪(X,B)∈FX×Bc≠∪(X,B)∈F{(X2,B2)}X×Bc,則F為面向?qū)傩愿拍罴s簡(jiǎn),否則,進(jìn)一步研究F1=F{(X2,B2)},重復(fù)上述過(guò)程,由于Lp(G,M,I)是有限集,所以,至少可以找到一個(gè)約簡(jiǎn)。因此,面向?qū)傩愿拍罴s簡(jiǎn)必存在。

性質(zhì)3對(duì)于任意g∈G,m∈M,一定有

(g◇□,g◇)∈Lp(G,M,I),

(m◇c,m◇c◇)∈Lp(G,M,I)。

證明由定義2可得,m◇c={g∈G|gIcm}=mc□,則m◇c◇=mc□◇,故(m◇c,m◇c◇)=(mc□,mc□◇)。由定義3和性質(zhì)1可知,(g◇□,g◇)∈Lp(G,M,I),(m◇c,m◇c◇)∈Lp(G,M,I)。

定義5設(shè)(G,M,I)是形式背景,稱(chēng)(g◇□,g◇)是面向?qū)傩愿拍罡竦膶?duì)象概念。記所有面向?qū)傩愿拍罡竦膶?duì)象概念的集合為Op(G,M,I)。對(duì)偶地,稱(chēng)(m◇c,m◇c◇)是面向?qū)傩愿拍罡竦膶傩愿拍?。記所有面向?qū)傩愿拍罡竦膶傩愿拍畹募蠟锳p(G,M,I)。

本文中面向?qū)傩愿拍罡竦膶?duì)象概念與屬性概念分別簡(jiǎn)稱(chēng)為對(duì)象概念與屬性概念。

定理3Op(G,M,I)與Ap(G,M,I)均為面向?qū)傩愿拍顓f(xié)調(diào)集。

例2(續(xù)例1)由例1可知在形式背景(G,M,I)中,1◇={a,c,e,f},1◇□={1,3,4},a◇c={3,4},a◇c◇={c,f},由定義5知,c4為對(duì)象概念,c7為屬性概念。類(lèi)似地,得Op(G,M,I)={c4,c6,c7,c8},Ap(G,M,I)={c2,c3,c4,c6,c7}。可驗(yàn)證此時(shí)Op(G,M,I)、Ap(G,M,I)均是面向?qū)傩愿拍顓f(xié)調(diào)集。

2.2 面向?qū)傩愿拍罴s簡(jiǎn)求解方法

本小節(jié)給出面向?qū)傩愿拍顓f(xié)調(diào)集判定定理,并從POC代表概念矩陣的角度給出面向?qū)傩愿拍罴s簡(jiǎn)的求解方法。

定義6設(shè)(G,M,I)是形式背景,g∈G,m∈M,(X,B)∈LP(G,M,I)。如果(g,m)∈X×Bc,則稱(chēng)(X,B)是(g,m)關(guān)于面向?qū)傩愿拍畹拇砀拍?簡(jiǎn)稱(chēng)POC代表概念,其全體記為REP((g,m))。在此基礎(chǔ)上,稱(chēng)

Λ={REP((g,m))|(g,m)∈X×Bc}

(9)

為形式背景(G,M,I)關(guān)于面向?qū)傩愿拍畹拇砀拍罹仃?簡(jiǎn)稱(chēng)POC代表概念矩陣。

事實(shí)上,與所有非空REP((g,m))相交非空的面向?qū)傩愿拍罴褪敲嫦驅(qū)傩愿拍顓f(xié)調(diào)集。

定理4(面向?qū)傩愿拍顓f(xié)調(diào)集判定定理) 設(shè)(G,M,I)是形式背景,Lp(G,M,I)是其面向?qū)傩愿拍罡?。?duì)于任意F?Lp(G,M,I),F≠?,下列命題等價(jià):

1)F是面向?qū)傩愿拍顓f(xié)調(diào)集;

2) 對(duì)于任意(g,m)∈Ic,F∩REP((g,m))≠?;

3) 對(duì)于任意D?Lp(G,M,I),若F∩D=?,則D?Λ。

證明1)?2)。由F是面向?qū)傩愿拍顓f(xié)調(diào)集可知:Ic=∪(X,B)∈FX×Bc。 所以對(duì)任意(g,m)∈Ic,存在(X,B)∈F,使得(g,m)∈X×Bc,即(X,B)∈REP((g,m))。故F∩REP((g,m))≠?。

2)?1)。對(duì)任意(g,m)∈Ic,F∩REP((g,m))≠?,故存在(X,B)∈F,滿(mǎn)足(X,B)∈REP((g,m)),即存在(X,B)∈F滿(mǎn)足(g,m)∈X×Bc。因此,∪(X,B)∈FX×Bc=∪(g,m)∈X×Bc,(X,B)∈F{(g,m)}=Ic,故F是面向?qū)傩愿拍顓f(xié)調(diào)集。

2)?3)。假設(shè)D∈Λ,因?yàn)棣?{REP((g,m))|(g,m)∈X×Bc}且對(duì)于任意(g,m)∈Ic,F∩REP((g,m))≠?,所以F∩D≠?,矛盾。因此,D?Λ。

3)?2)。假設(shè)對(duì)于任意的(g,m)∈Ic,有F∩REP((g,m))=?。因?yàn)閷?duì)于任意D?Lp(G,M,I),若F∩D=?,有D?Λ,所以REP((g,m))?Λ,矛盾。故對(duì)于任意(g,m)∈Ic,F∩REP((g,m))≠?。

結(jié)合定義4與定理4即可得到面向?qū)傩愿拍罴s簡(jiǎn)判定定理。

定理5(面向?qū)傩愿拍罴s簡(jiǎn)判定定理) 設(shè)(G,M,I)是形式背景,Lp(G,M,I)是其面向?qū)傩愿拍罡瘛?duì)于任意F?Lp(G,M,I),若滿(mǎn)足以下兩個(gè)條件:

1)對(duì)于任意(g,m)∈Ic,F∩REP((g,m))≠?;

2)對(duì)于任意(X,B)∈F,有(g0,m0)∈Ic,使得(F{(X,B)})∩REP((g0,m0))=?。

則F是面向?qū)傩愿拍罴s簡(jiǎn)。

在POC代表概念矩陣中存在一些冗余的REP((g,m)),使得求解面向?qū)傩愿拍罴s簡(jiǎn)的時(shí)間復(fù)雜度有所增加。為解決此問(wèn)題,定義了最小POC代表概念矩陣Λmin。

定義7設(shè)(G,M,I)是形式背景,Λmin是包含關(guān)系下由所有極小REP((g,m))組成的矩陣,則稱(chēng)Λmin為形式背景(G,M,I)的最小POC代表概念矩陣。

基于最小POC代表概念矩陣給出求解面向?qū)傩愿拍罴s簡(jiǎn)的方法。

定義8設(shè)(G,M,I)是形式背景,Lp(G,M,I)是其面向?qū)傩愿拍罡?面向?qū)傩愿拍畹拇砀拍詈瘮?shù)定義為

(10)

f(Λmin)所對(duì)應(yīng)的最小析取范式的所有合取式為形式背景(G,M,I)的所有面向?qū)傩愿拍罴s簡(jiǎn)。

例3(續(xù)例1) 由性質(zhì)2可知所有補(bǔ)概念為(G,?),(1345,d),(2345,e),(134,bdg),(345,de),(25,cef),(34,abdeg),(5,cdef),(?,M)。遍歷所有補(bǔ)概念可知,(1,b)∈{1,3,4}×{b,d,g},所以,由定義6知REP((1,b))={({1,3,4},{a,c,e,f})}={c4}。類(lèi)似地,對(duì)于任意g∈G,m∈M,REP((g,m))即可得。由此,形式背景(G,M,I)的POC代表概念矩陣與最小POC代表概念矩陣為

進(jìn)而得

f(Λmin)=

c4∧c6∧c7∧(c2∨c5∨c8)=

(c2∧c4∧c6∧c7)∨(c4∧c5∧

c6∧c7)∨(c4∧c6∧c7∧c8)。

即形式背景的面向?qū)傩愿拍罴s簡(jiǎn)有3個(gè),分別是

F1={c2,c4,c6,c7},

F2={c4,c5,c6,c7},

F3={c4,c6,c7,c8}。

2.3 面向?qū)傩愿拍钐卣?/h3>

每個(gè)面向?qū)傩愿拍钤诿嫦驅(qū)傩愿拍罡裰兴鸬淖饔檬遣煌?本小節(jié)從面向?qū)傩愿拍罴s簡(jiǎn)出發(fā),將面向?qū)傩愿拍罘譃?類(lèi),即核心面向?qū)傩愿拍?相對(duì)必要面向?qū)傩愿拍?絕對(duì)不必要面向?qū)傩愿拍?并分別研究其特征。

定義9設(shè)(G,M,I)是形式背景,Lp(G,M,I)是其面向?qū)傩愿拍罡瘛Ｓ汻={Fi|i∈τ,τ為指標(biāo)集}為(G,M,I)的所有面向?qū)傩愿拍罴s簡(jiǎn)的集合,則Lp(G,M,I)可分為3類(lèi):

1)核心面向?qū)傩愿拍罴疌=∩i∈τFi;

2)相對(duì)必要面向?qū)傩愿拍罴?/p>

K=∪i∈τFi∩i∈τFi;

3)絕對(duì)不必要面向?qū)傩愿拍罴?/p>

U=Lp(G,M,I)∪i∈τFi。

例4(續(xù)例1) 在形式背景(G,M,I)中,C={c4,c6,c7},K={c2,c5,c8},U={c1,c3,c9}。

下面從POC代表概念矩陣角度給出核心面向?qū)傩愿拍畹母拍钐卣鳌?/p>

定理6設(shè)(G,M,I)是形式背景,Lp(G,M,I)是其面向?qū)傩愿拍罡瘛∈C當(dāng)且僅當(dāng)存在(g,m)∈Ic,使得REP((g,m))={c}。

證明c∈C?Lp(G,M,I){c}不是面向?qū)傩愿拍顓f(xié)調(diào)集?存在(g,m)∈Ic,使得Lp(G,M,I){c}∩REP((g,m))=??存在(g,m)∈Ic使得REP((g,m))={c}。

定理7從最小POC代表概念矩陣角度給出絕對(duì)不必要面向?qū)傩愿拍畹母拍钐卣鳌?/p>

定理7設(shè)(G,M,I)是形式背景,Lp(G,M,I)是其面向?qū)傩愿拍罡?。c∈U當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)于任意REP((g,m))∈Λmin,c?REP((g,m))。

證明必要性。假設(shè)存在REP((g,m))∈Λmin,c∈REP((g,m)),由定理4可知,存在面向?qū)傩愿拍罴s簡(jiǎn)F0,使得c∈F0,即c?U,矛盾。故對(duì)任意REP((g,m))∈Λmin,c?REP((g,m))。

充分性。假設(shè)c?U,則存在面向?qū)傩愿拍罴s簡(jiǎn)F0,使得c∈F0。即存在REP((g,m))∈Λmin,使得c∈REP((g,m)),矛盾。故c∈U。

結(jié)合定理6與定理7,可得相對(duì)必要面向?qū)傩愿拍钐卣魅缤普?。

推論1設(shè)(G,M,I)是形式背景,Lp(G,M,I)是其面向?qū)傩愿拍罡?。c∈K當(dāng)且僅當(dāng)存在REP((g,m))∈Λmin,c∈REP((g,m))且對(duì)于任意(g,m)∈Ic,滿(mǎn)足REP((g,m))≠{c}。

3 面向?qū)傩愿拍罴s簡(jiǎn)與面向?qū)ο蟾拍罴s簡(jiǎn)的關(guān)系

智慧來(lái)等在文獻(xiàn)[21]中研究了面向?qū)ο蟾拍罴s簡(jiǎn),本文第2節(jié)中主要研究了面向?qū)傩愿拍罴s簡(jiǎn),本節(jié)討論兩者之間的關(guān)系。

定義10[21]設(shè)(G,M,I)是形式背景,Lo(G,M,I)是其面向?qū)ο蟾拍罡?F?Lo(G,M,I)。如果Ic=∪(X,B)∈FXc×B,則稱(chēng)F為面向?qū)ο蟾拍顓f(xié)調(diào)集;若對(duì)于任意(X0,B0)∈F,F′=F{(X0,B0)},有Ic≠∪(X,B)∈F′Xc×B,則稱(chēng)F為面向?qū)ο蟾拍罴s簡(jiǎn)。

引理2給出面向?qū)傩愿拍钆c面向?qū)ο蟾拍钪g的關(guān)系。

引理2[14]設(shè)(G,M,I)是形式背景,Lp(G,M,I)是其面向?qū)傩愿拍罡?Lo(G,M,I)是其面向?qū)ο蟾拍罡瘛?X,B)∈Lp(G,M,I)當(dāng)且僅當(dāng)(Xc,Bc)∈Lo(G,M,I)。

下面從定義角度給出面向?qū)傩愿拍罴s簡(jiǎn)與面向?qū)ο蟾拍罴s簡(jiǎn)之間的聯(lián)系。

充分性同理可證。

由定理8可知,面向?qū)傩愿拍罴s簡(jiǎn)與面向?qū)ο蟾拍罴s簡(jiǎn)可相互得到。下面定理說(shuō)明面向?qū)傩愿拍钐卣髋c面向?qū)ο蟾拍钐卣髦g的關(guān)系。

定理9設(shè)(G,M,I)是形式背景,Lp(G,M,I)與Lo(G,M,I)分別是其面向?qū)傩愿拍罡衽c面向?qū)ο蟾拍罡?。C、K、U分別是核心、相對(duì)必要、絕對(duì)不必要面向?qū)傩愿拍罴?Co、Ko、Uo分別是核心、相對(duì)必要、絕對(duì)不必要面向?qū)ο蟾拍罴?duì)于任意(X,B)∈Lp(G,M,I),有

1) (X,B)∈C?(Xc,Bc)∈Co;

2) (X,B)∈K?(Xc,Bc)∈Ko;

3) (X,B)∈U?(Xc,Bc)∈Uo。

2)、3)同理可得。

例5(續(xù)例1) 由定理8知,形式背景(G,M,I)的面向?qū)ο蟾拍罴s簡(jiǎn)分別為

由定理9可知,核心面向?qū)ο蟾拍罴疌o、相對(duì)必要面向?qū)ο蟾拍罴疜o、絕對(duì)不必要面向?qū)ο蟾拍罴疷o分別為

Co={(25,bdg),(134,cef),(125,abdeg)},

Ko={(2,d),(12,de),(1234,cdef)},

Uo={(?,?),(1,e),(G,M)}。

4 面向?qū)傩愿拍罴s簡(jiǎn)的應(yīng)用

Rusch和Wille在文獻(xiàn)[22]中將知識(shí)空間與形式背景相結(jié)合,提出了由形式背景構(gòu)造知識(shí)空間的方法。李進(jìn)金等通過(guò)知識(shí)基建立了形式背景和知識(shí)空間的聯(lián)系[23]。周銀鳳等將合取技能映射轉(zhuǎn)換成技能背景,通過(guò)求解技能背景的所有面向?qū)傩愿拍畹玫接珊先〖寄苡成湔T導(dǎo)的知識(shí)結(jié)構(gòu)[15]。對(duì)于合取技能映射誘導(dǎo)的知識(shí)結(jié)構(gòu),可通過(guò)所有面向?qū)傩愿拍畲_定相應(yīng)的技能背景。但由合取技能映射誘導(dǎo)的知識(shí)結(jié)構(gòu)中存在冗余信息,本節(jié)通過(guò)面向?qū)傩愿拍罴s簡(jiǎn)對(duì)應(yīng)的部分知識(shí)結(jié)構(gòu)確定與之對(duì)應(yīng)的技能背景。

首先,給出知識(shí)結(jié)構(gòu)的定義。

定義11[24]給定問(wèn)題集Q,學(xué)習(xí)者能解決的問(wèn)題子集K?Q稱(chēng)為知識(shí)狀態(tài)。(Q,K )為知識(shí)結(jié)構(gòu),其中,K 是由知識(shí)狀態(tài)構(gòu)成的集族且至少包含?和Q。

在問(wèn)題集Q明確的情況下,知識(shí)結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)記為K 。

例6假設(shè)問(wèn)題集為Q={1,2,3,4,5},則K1=P (Q),K2={?,{1,2},Q}都是知識(shí)結(jié)構(gòu)。

定義12[25]三元組(Q,S,μ)稱(chēng)為一個(gè)合取技能映射。其中:Q為非空問(wèn)題集;S為非空技能集;μ為Q到2S?的映射,且對(duì)于任意q∈Q,μ(q)?S表示解決問(wèn)題q的極小能力。對(duì)任意技能子集T?S,T通過(guò)合取技能映射μ誘導(dǎo)的知識(shí)狀態(tài)表示為K={q∈Q|μ(q)?T}。所有的知識(shí)狀態(tài)組成的知識(shí)結(jié)構(gòu)用K 表示。

下面,給出合取技能映射與技能背景之間的聯(lián)系。

定義13[15]設(shè)(Q,S,μ)是合取技能映射,問(wèn)題集Q為對(duì)象,技能集S為屬性,根據(jù)關(guān)系s∈μ(q)?(q,s)∈I,則合取技能映射(Q,S,μ)可轉(zhuǎn)換為形式背景(Q,S,I),稱(chēng)這樣的形式背景為技能背景。

例7給定合取技能函數(shù)(Q,S,μ)。其中:Q={1,2,3,4,5}表示5個(gè)問(wèn)題;S={a,b,c,d,e,f,g}表示7種辦公技能,a表示文案撰寫(xiě),b表示LaTeX排版,c表示W(wǎng)ord排版,d表示外文翻譯,e表示Python編程,f表示宣傳策劃,g表示圖片處理。設(shè)μ(1)={a,c,e,f},μ(2)={a,b,d,g},μ(3)={c,f},μ(4)={c,f},μ(5)={a,b,g},則技能背景(Q,S,I)如表2所示。其中,μ(5)={a,b,g}表示求解問(wèn)題5需至少具備技能a,b,g。

表2 技能背景(Q,S,I)Tab. 2 Skill context(Q,S,I)

定理10[15]設(shè)(Q,S,I)是與合取技能映射(Q,S,μ)對(duì)應(yīng)的技能背景。對(duì)于任意(K,T)∈Lp(Q,S,I),技能子集T?S通過(guò)μ誘導(dǎo)的知識(shí)狀態(tài)為K,記

K ={K|(K,T)∈Lp(Q,S,I)},

則K 是由μ誘導(dǎo)得到的知識(shí)結(jié)構(gòu)。

由于知識(shí)結(jié)構(gòu)是所有面向?qū)傩愿拍畹耐庋咏M成的集族,根據(jù)本文第2節(jié)可知所有面向?qū)傩愿拍羁纱_定技能背景中的所有補(bǔ)二元關(guān)系,即由知識(shí)結(jié)構(gòu)可確定與之對(duì)應(yīng)的技能背景。但知識(shí)結(jié)構(gòu)中存在冗余信息,通過(guò)面向?qū)傩愿拍罴s簡(jiǎn)的定義可知,面向?qū)傩愿拍罴s簡(jiǎn)即可確定形式背景中所有補(bǔ)二元關(guān)系,即由面向?qū)傩愿拍罴s簡(jiǎn)的外延構(gòu)成的部分知識(shí)結(jié)構(gòu)可確定與之對(duì)應(yīng)的技能背景。

例8(續(xù)例7)技能背景中的所有面向?qū)傩愿拍顬閏1=(Q,S),c2=(1345,abcefg),c3=(2345,abcdfg),c4=(134,acef),c5=(345,abcfg),c6=(25,abdg),c7=(34,cf),c8=(5,abg),c9=(?, ?)。 其中,c6=(25,abdg)表示解決問(wèn)題2與問(wèn)題5需至少具備技能a,b,d,g。

由定理9可知,合取技能映射誘導(dǎo)的知識(shí)結(jié)構(gòu)為K ={Q,{1,3,4,5},{2,3,4,5},{1,3,4},{3,4,5},{2,5},{3,4},{5},?}。由知識(shí)結(jié)構(gòu)K 可得對(duì)應(yīng)的技能背景,即表2。

由例3可知,技能背景(Q,S,I)有3個(gè)面向?qū)傩愿拍罴s簡(jiǎn),分別為F1={c2,c4,c6,c7},F2={c4,c5,c6,c7},F3={c4,c6,c7,c8}。以F1為例,{c2,c4,c6,c7}包含的部分知識(shí)結(jié)構(gòu)是K ′={{1,3,4,5},{1,3,4},{2,5},{3,4}},通過(guò)K ′即可確定與之對(duì)應(yīng)技能背景(Q,S,I)。

5 結(jié)語(yǔ)

概念約簡(jiǎn)作為一種新的約簡(jiǎn)理論,既保持了形式背景原始信息不變,又減少了概念數(shù)量。本文將概念約簡(jiǎn)思想引入面向?qū)傩愿拍罡?研究了面向?qū)傩愿拍罴s簡(jiǎn)的問(wèn)題。 首先,給出了面向?qū)傩愿拍罴s簡(jiǎn)的定義,隨后給出了面向?qū)傩愿拍罴s簡(jiǎn)的求解方法并根據(jù)面向?qū)傩愿拍钤诩s簡(jiǎn)中的不同作用,將其分為核心、相對(duì)必要、絕對(duì)不必要面向?qū)傩愿拍?其次,從定義角度探討了面向?qū)傩愿拍罴s簡(jiǎn)與面向?qū)ο蟾拍罴s簡(jiǎn)之間的關(guān)系;最后,給出了面向?qū)傩愿拍罴s簡(jiǎn)在知識(shí)空間中的應(yīng)用。

形式概念分析的研究已不再局限于經(jīng)典的形式背景,因此,如何將面向?qū)傩愿拍罴s簡(jiǎn)理論擴(kuò)展到不完備形式背景、模糊背景、區(qū)間值背景也是值得探討的問(wèn)題。