李思頡 楊花 朱家正 張嫌

一、 引言

李尚志教授主編的讀本《新思路數(shù)學(xué)》是張景中院士教育數(shù)學(xué)思想物化的產(chǎn)物,該讀本于2020年出版。我校有幸參與到讀本《新思路數(shù)學(xué)》的教學(xué)實(shí)驗(yàn)研究中,如何在當(dāng)下“減負(fù)”的時(shí)代背景下將實(shí)驗(yàn)教學(xué)更好地與常規(guī)教學(xué)進(jìn)行融合,并符合2022年版義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)?文章依據(jù)以上問題,在結(jié)構(gòu)優(yōu)化視域下對(duì)《新思路數(shù)學(xué)》教學(xué)實(shí)驗(yàn)進(jìn)行探究,并以七年級(jí)上冊(cè)第二章“代數(shù)式”為例,從教學(xué)實(shí)驗(yàn)背景、讀本知識(shí)架構(gòu)、讀本對(duì)教學(xué)的優(yōu)化作用等方面進(jìn)行闡述。

二、 《新思路數(shù)學(xué)》的教學(xué)實(shí)驗(yàn)背景分析

(一)問題的提出

數(shù)學(xué)作為基礎(chǔ)教育階段的重要學(xué)科,因其學(xué)科內(nèi)在特點(diǎn),學(xué)生的學(xué)習(xí)并不容易。如何學(xué)好數(shù)學(xué),一直是困擾教師和學(xué)生的問題。如何改造數(shù)學(xué)使其更適宜于我們的教學(xué)和學(xué)習(xí)?把難學(xué)的數(shù)學(xué)變?nèi)菀?成為張景中院士長(zhǎng)期的研究目標(biāo)。1989年他提出了介于數(shù)學(xué)和教育學(xué)之間以數(shù)學(xué)為主的交叉研究方向——教育數(shù)學(xué),努力為每個(gè)難點(diǎn)尋找簡(jiǎn)單路徑,從而讓數(shù)學(xué)變得更容易,讓更多的學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)感興趣,樹立起學(xué)好數(shù)學(xué)的自信心。

教育數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)了三角在小學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)基礎(chǔ)上的生長(zhǎng)點(diǎn),提出用面積關(guān)系定義正弦,實(shí)現(xiàn)了國(guó)際上著名的數(shù)學(xué)教育大師弗賴登塔爾提出的“提前兩年學(xué)正弦,讓數(shù)學(xué)能配合物理進(jìn)度”的設(shè)想,此研究始于1974年,1980年研究成果發(fā)表,2012年正式進(jìn)入整體全學(xué)段教學(xué)實(shí)踐。2020年由北京航空航天大學(xué)數(shù)學(xué)與系統(tǒng)科學(xué)學(xué)院李尚志教授主編的讀本《新思路數(shù)學(xué)》出版,標(biāo)志著教育數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)踐載體的誕生。

(二)現(xiàn)實(shí)的意義

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2022年版)》中指出課程目標(biāo)要以學(xué)生發(fā)展為本,以核心素養(yǎng)為導(dǎo)向,進(jìn)一步強(qiáng)調(diào)學(xué)生獲得數(shù)學(xué)“四基”“四能”,形成正確的情感、態(tài)度和價(jià)值觀。而基于教育數(shù)學(xué)思想編寫的讀本《新思路數(shù)學(xué)》,通過把難的知識(shí)變?nèi)菀?探索學(xué)生學(xué)習(xí)的特點(diǎn)和規(guī)律,使學(xué)生能得到全面的發(fā)展,利于核心素養(yǎng)的落實(shí),對(duì)推動(dòng)初中數(shù)學(xué)教育的改革具有重要意義。

新課標(biāo)指出:“課程內(nèi)容的組織,重點(diǎn)是對(duì)內(nèi)容進(jìn)行結(jié)構(gòu)化整合,探究學(xué)生核心素養(yǎng)的路徑,重視數(shù)學(xué)結(jié)果的形成過程,處理好過程與結(jié)果的關(guān)系?！碧岢隽私Y(jié)構(gòu)化教學(xué)理念。《新思路數(shù)學(xué)》不僅限于對(duì)數(shù)學(xué)教材進(jìn)行教學(xué)法加工,更致力于對(duì)數(shù)學(xué)本身進(jìn)行再加工、再創(chuàng)造,增強(qiáng)了知識(shí)間的聯(lián)系性與整體性,讓邏輯性更加突出。

三、 《新思路數(shù)學(xué)》的知識(shí)架構(gòu)分析

在教學(xué)實(shí)驗(yàn)中,《新思路數(shù)學(xué)》讀本的知識(shí)架構(gòu)與人教版存在差異,下面將以七年級(jí)上冊(cè)第二章“代數(shù)式”為例進(jìn)行分析。

義務(wù)教育教科書七年級(jí)上冊(cè)《數(shù)學(xué)》七年級(jí)上冊(cè)《新思路數(shù)學(xué)》第二章 整式的加減第二章 代數(shù)式2.1 整式閱讀與思考 數(shù)字1與字母X的對(duì)話2.2 整式的加減信息技術(shù)應(yīng)用 電子表格與數(shù)據(jù)計(jì)算數(shù)學(xué)活動(dòng)小結(jié)復(fù)習(xí)題22.1 字母表示數(shù)2.2 整式2.3 整式的加減2.4 冪的運(yùn)算2.5 整式乘法2.6 零指數(shù)與負(fù)指數(shù)2.7 整式的混合運(yùn)算本章小結(jié)上下求索數(shù)列分解與組合

第一節(jié)“字母表示數(shù)”是全章的開篇,讀本從五個(gè)方面來闡述了用字母表示數(shù)的優(yōu)勢(shì):“字母運(yùn)算識(shí)破玄機(jī)”“字母才能算無窮”“規(guī)律指揮案例”“字母表示公式”“字母表示運(yùn)算律”。通過五個(gè)具體的案例學(xué)生能夠感受到字母的神奇魔力,從而為本章的學(xué)習(xí)創(chuàng)造良好的興趣基礎(chǔ)。

第二節(jié)“整式”內(nèi)容與人教版的基本一致,但知識(shí)點(diǎn)的引入順序不同。人教版從“單項(xiàng)式”“多項(xiàng)式”,最后得到“整式”的概念,其邏輯結(jié)構(gòu)按“分-總”式來展開。而《新思路數(shù)學(xué)》按照“整式”“單項(xiàng)式”“多項(xiàng)式”的順序來闡述,是從總體到局部的邏輯結(jié)構(gòu)。

第三節(jié)“整式的加減”與人教版相比增加了更多的探究?jī)?nèi)容,除了“合并同類項(xiàng)”“去括號(hào)”“求代數(shù)式的值與基本概念”,還增加了“探與究 探索與驗(yàn)證規(guī)律”“恒等式與面積”兩個(gè)項(xiàng)目式探究問題,其中“探與究 探索與驗(yàn)證規(guī)律”揭示了找規(guī)律的基本方法,而“恒等式與面積”為之后整式乘法的幾何意義奠定了基礎(chǔ)。

第四節(jié)“冪的運(yùn)算”、第五節(jié)“整式乘法”是人教版八年級(jí)上冊(cè)第十四章“整式的乘法與因式分解”的內(nèi)容,而第六節(jié)“零指數(shù)與負(fù)指數(shù)”對(duì)應(yīng)人教版八年級(jí)上冊(cè)第十五章“分式”中整數(shù)指數(shù)冪,以上內(nèi)容都提到了七年級(jí)上冊(cè)來完成,縮短了知識(shí)學(xué)習(xí)的跨度。

第七節(jié)“整式的混合運(yùn)算”將初中階段整式的所有運(yùn)算綜合起來,并對(duì)分式的引入埋下了伏筆。

“上下求索”是讀本中的特別之處,本章的“上下求索”是探究“數(shù)列分解與組合”,利用“平方數(shù)列巧分解”和“猜數(shù)列不靠譜”兩個(gè)問題,深入探究數(shù)列的分解與組合,其中高中數(shù)學(xué)思想方法的滲入為今后的學(xué)習(xí)做好鋪墊。

以上分析不難發(fā)現(xiàn),《新思路數(shù)學(xué)》讀本在第二章“代數(shù)式”的內(nèi)容上進(jìn)行擴(kuò)充與整合,體現(xiàn)從數(shù)到式邏輯思維的逐級(jí)遞進(jìn);結(jié)構(gòu)上進(jìn)行優(yōu)化,體現(xiàn)大單元教學(xué)設(shè)計(jì)的整體思想。因此《新思路數(shù)學(xué)》讀本利于教學(xué)整體結(jié)構(gòu)的優(yōu)化,增加了知識(shí)鏈接的緊密性,使數(shù)學(xué)變得更容易。

四、 《新思路數(shù)學(xué)》教學(xué)優(yōu)化分析

(一)《新思路數(shù)學(xué)》利于內(nèi)容結(jié)構(gòu)優(yōu)化

對(duì)比人教版,《新思路數(shù)學(xué)》在內(nèi)容結(jié)構(gòu)上進(jìn)行了系統(tǒng)的優(yōu)化。第二章“代數(shù)式”在人教版的基礎(chǔ)上增加了“冪的運(yùn)算”“整式的乘法”“零指數(shù)與負(fù)指數(shù)”“整式的混合運(yùn)算”,將整式的部分內(nèi)容前置,并統(tǒng)一編排到一個(gè)章節(jié),實(shí)現(xiàn)以大概念為抓手,幫助學(xué)生從整體上來理解整式的運(yùn)算結(jié)構(gòu),促進(jìn)學(xué)生能夠自主構(gòu)建知識(shí)體系,實(shí)現(xiàn)知識(shí)之間的遷移與應(yīng)用,落實(shí)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。此外,在“上下求索”中增加了“數(shù)列分解與組合”,為做好初高中的銜接打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。

(二)《新思路數(shù)學(xué)》利于邏輯結(jié)構(gòu)優(yōu)化

《新思路數(shù)學(xué)》不僅致力于對(duì)內(nèi)容結(jié)構(gòu)優(yōu)化,還在邏輯結(jié)構(gòu)上進(jìn)行了優(yōu)化,呈現(xiàn)更簡(jiǎn)單的邏輯結(jié)構(gòu)認(rèn)知。

新思路“代數(shù)式”的第一課時(shí)是字母表示數(shù),而人教版并沒有單獨(dú)的章節(jié)呈現(xiàn)。新思路以字母的引入,實(shí)現(xiàn)小學(xué)算式到初中代數(shù)式的過渡,通過“字母運(yùn)算識(shí)破玄機(jī)”“字母才能算無窮”“規(guī)律指揮案例”“字母表示公式”和“字母表示運(yùn)算律”五個(gè)有趣的案例,充分說明了字母表示數(shù)的優(yōu)越性,使學(xué)生體會(huì)從具體到抽象的認(rèn)識(shí)過程,發(fā)展符號(hào)意識(shí),感受“抽象”的數(shù)學(xué)思想。以“字母運(yùn)算識(shí)破玄機(jī)”為例:

(手機(jī)號(hào)碼泄露你的年齡)有人設(shè)計(jì)了一個(gè)算法,用你的手機(jī)號(hào)碼算出你的年齡。

算法如下:將你的手機(jī)號(hào)碼加20,乘25,再乘4,再加23,再減去你的出生年份。末兩位就是你的年齡。

解:設(shè)你的手機(jī)號(hào)碼為a。加20等于a+20。

乘25得25(a+20)=25a+500(分配律)。

再乘4得4(25a+500)=100a+2000(分配律)。

再加23得(100a+2000)+23=100a+(2000+23)=100a+2023(加法結(jié)合律)。

下一步減去你的出生年份。因?yàn)槊總€(gè)人的出生年份不同,不能用一個(gè)固定的數(shù)表示,因此只能用字母表示。出生年份與手機(jī)號(hào)碼無關(guān),不能再用a表示,可以用與a不同的任意字母表示,比如用b表示,得到100a+2023-b。

100a是手機(jī)號(hào)碼這個(gè)整數(shù)a的100倍。不論a是多少,100a的末兩位都是00,對(duì)計(jì)算末兩位不起作用。因此,100a+2023-b的末兩位就是2023-b的末兩位,與a無關(guān)。知道了出生年份,理所當(dāng)然就知道了年齡,沒有任何神秘之處。字母運(yùn)算這個(gè)很簡(jiǎn)單的科學(xué)知識(shí)將它解釋得清清楚楚,根本不是“科學(xué)不能解釋”。所以字母運(yùn)算利用運(yùn)算律解答問題,就是用最大的規(guī)律來得出這個(gè)問題的小規(guī)律。

除此之外,在“字母表示公式”這部分內(nèi)容中,用字母表示圓的面積時(shí),對(duì)為什么要用π來表示進(jìn)行了解釋說明。因?yàn)閳A周率是無限不循環(huán)小數(shù),寫得太少精確度不夠,寫得再多也不能完全表示圓周率,為了方便起見,專門用一個(gè)字母π代表它的精確值,能更好地讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到用初中階段π與小學(xué)的不同之處!

可見《新思路數(shù)學(xué)》體現(xiàn)了從數(shù)到式邏輯思維的逐級(jí)遞進(jìn),揭示了從數(shù)到式學(xué)習(xí)的必要性,讓數(shù)學(xué)從真正意義上變得容易。

(三)《新思路數(shù)學(xué)》利于情境創(chuàng)設(shè)優(yōu)化

新課標(biāo)強(qiáng)調(diào):“加強(qiáng)知識(shí)學(xué)習(xí)與學(xué)生經(jīng)驗(yàn)、現(xiàn)實(shí)生活、社會(huì)實(shí)踐之間的聯(lián)系,注重真實(shí)情境的創(chuàng)設(shè),增強(qiáng)學(xué)生認(rèn)識(shí)真實(shí)世界、解決真實(shí)問題的能力?！庇行У那榫硠?chuàng)設(shè)能夠激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的主動(dòng)性和積極性,不僅有利于營(yíng)造高效的初中數(shù)學(xué)教學(xué)課堂,拓展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維,還有利于發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng),達(dá)到全面育人的目的。

新思路在情境創(chuàng)設(shè)上也給我們提供了很好的借鑒。這里以“去括號(hào)”法則教學(xué)為例,以“幾何圖形求面積”為情境作為“去括號(hào)”的導(dǎo)入:如圖1所示,長(zhǎng)為am,寬為bm的長(zhǎng)方形鐵片,四角上剪去邊長(zhǎng)為xm的小正方形,且在中央部分又剪去邊長(zhǎng)為ym的小正方形。求這塊鐵片剩下的面積。

圖1

首先,要表示鐵片剩下的面積,有如下兩種方法:

解法一:鐵片剩下的面積=鐵片原來的面積-剪去的總面積

即,鐵片剩下的面積=ab-(4x2+y2)。

解法二:鐵片剩下的面積=鐵片原來的面積-四個(gè)角邊長(zhǎng)為xm的小正方形的面積-中央部分邊長(zhǎng)為ym的小正方形的面積

即,鐵片剩下的面積=ab-4x2-y2。

學(xué)生通過不同的方法表示鐵片剩下的面積,最終得到ab-(4x2+y2)=ab-4x2-y2。

通過讓學(xué)生觀察等號(hào)的左右兩邊,發(fā)現(xiàn)去掉括號(hào)與括號(hào)前面的“-”號(hào)時(shí),括號(hào)內(nèi)各項(xiàng)全變號(hào),使學(xué)生對(duì)“去括號(hào)”有了初步的感知,再通過運(yùn)算律進(jìn)行說理。這樣的情景創(chuàng)設(shè)優(yōu)化設(shè)計(jì),不僅激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī),而且增強(qiáng)了學(xué)生的學(xué)習(xí)動(dòng)力,使學(xué)生從中享受到整個(gè)學(xué)習(xí)過程帶來的樂趣,從而揭示“去括號(hào)”的本質(zhì),讓深度學(xué)習(xí)有效發(fā)生。

(四)《新思路數(shù)學(xué)》利于習(xí)題設(shè)計(jì)優(yōu)化

習(xí)題設(shè)計(jì)是日常教學(xué)的重要組成部分,不僅可以檢查學(xué)生對(duì)知識(shí)點(diǎn)的掌握情況,而且還可以促進(jìn)學(xué)生基本技能的形成。精巧的習(xí)題優(yōu)化設(shè)計(jì),能夠使得不同層次的學(xué)生在數(shù)學(xué)上得到不同的發(fā)展,有效提升了學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

《新思路數(shù)學(xué)》在習(xí)題設(shè)計(jì)上堅(jiān)持素養(yǎng)導(dǎo)向,注重學(xué)生素養(yǎng)能力的提升。在“整式的加減”這一節(jié)中加入了“探索與驗(yàn)證規(guī)律”,設(shè)計(jì)了以“火柴棒搭正方形”為背景的習(xí)題:如圖2所示,用火柴棒從左到右搭若干個(gè)同樣大小的正方形(搭一個(gè)正方形需要四根火柴棒),回答下列問題:

圖2

(1)第一個(gè)正方形需要補(bǔ)充幾根火柴棒,才能得到第2個(gè)正方形?(2)前兩個(gè)正方形需要補(bǔ)充幾根火柴棒,才能得到第3個(gè)正方形?(3)前(n-1)個(gè)正方形需要補(bǔ)充幾根火柴棒,才能得到第n個(gè)正方形?(4)搭10個(gè)正方形需要多少根火柴棒?(5)搭n個(gè)正方形需要多少根火柴棒?(6)搭100個(gè)方形需要多少根火柴棒?

此習(xí)題設(shè)置了由易到難,由特殊到一般的問題串,讓學(xué)生學(xué)會(huì)觀察、分析,通過特殊的問題來歸納總結(jié)出一般規(guī)律,立足核心素養(yǎng),將“探”與“究”緊密結(jié)合,一方面讓學(xué)生利用字母運(yùn)算,從已有的可靠規(guī)律推出新規(guī)律(3n+1);另一方面學(xué)生也可以從數(shù)據(jù)的來源去尋找規(guī)律,在本題中數(shù)據(jù)來源是火柴搭成的正方形,就保證了每增加1個(gè)正方形需要增加3根火柴。這樣的習(xí)題設(shè)計(jì)優(yōu)化使學(xué)生的思維能力、自主探索能力和創(chuàng)新能力得以培養(yǎng)與發(fā)展。

此外,在本節(jié)中還增加了以“數(shù)列中的裂項(xiàng)相消法”和“求數(shù)列的前n項(xiàng)和”為背景的習(xí)題,選取學(xué)生能借助新知識(shí)解決“跳一跳能夠到”的問題,給足其探究空間,將高中的內(nèi)容在初中適當(dāng)滲透,為學(xué)生后面學(xué)習(xí)高中的知識(shí)與方法奠定了基礎(chǔ),充分體現(xiàn)了教育數(shù)學(xué)“一線串通”的思想。

五、 結(jié)論

在“代數(shù)式”章節(jié)的精細(xì)解讀和教學(xué)實(shí)踐研究中,可以發(fā)現(xiàn)《新思路數(shù)學(xué)》的部分內(nèi)容設(shè)計(jì)雖然理解起來有一定難度,但是不可否認(rèn),其中一些章節(jié)內(nèi)容的調(diào)整與呈現(xiàn),都值得我們思考和借鑒。并且從讀本的案例中可以看出,《新思路數(shù)學(xué)》所提供的內(nèi)容體系呈現(xiàn)出嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬇c透徹的詮釋,很好地揭示了數(shù)學(xué)的本質(zhì),值得我們?cè)诮虒W(xué)中深入研究和繼續(xù)推進(jìn)。同時(shí)《新思路數(shù)學(xué)》讀本在整體結(jié)構(gòu)優(yōu)化、內(nèi)容結(jié)構(gòu)優(yōu)化、邏輯結(jié)構(gòu)優(yōu)化、情景創(chuàng)設(shè)優(yōu)化和習(xí)題設(shè)計(jì)優(yōu)化五個(gè)方面獨(dú)具特色。因此該讀本的推廣以及開展的教學(xué)研究具有應(yīng)用價(jià)值。

正如張景中院士所說:“把學(xué)數(shù)學(xué)比作吃核桃,數(shù)學(xué)教育研究的是如何砸核桃和吃核桃,而教育數(shù)學(xué)是研究改良核桃的品種,使核桃更美味、更營(yíng)養(yǎng)、更容易砸開吃凈?！苯逃龜?shù)學(xué)思想的理論和應(yīng)用需要我們不斷探索和實(shí)踐,希望我們都能把“改良核桃的品種”研究得更透徹,真正讓數(shù)學(xué)變得容易。