長孫欣政，董 辰

（1. 海南核電有限公司，昌江 572700；2. 生態(tài)環(huán)境部華南核與輻射安全監(jiān)督站，深圳 518038）

設(shè)備可靠性數(shù)據(jù)的處理工作是核電廠開展概率安全分析（PSA）、維修規(guī)則（MR）、以可靠性為中心的維修（RCM）等安全評價和可靠性分析相關(guān)工作的重要基礎(chǔ)，其準(zhǔn)確性將直接影響PSA、MR和RCM等工作的質(zhì)量［1］。設(shè)備可靠性數(shù)據(jù)的處理工作應(yīng)根據(jù)設(shè)備的失效機(jī)理和故障性質(zhì)選取合適的概率分布形式進(jìn)行分析。由于核電廠某些執(zhí)行安全功能的部件和設(shè)備的失效機(jī)理為偶然失效，因此本研究基于設(shè)備的壽命試驗，對此類偶然失效的指數(shù)分布特征和失效率的區(qū)間估計進(jìn)行了研究，并以定量計算的方式探討了其適用性。

1 核電廠可靠性研究現(xiàn)狀

美國核管會（NRC）于20世紀(jì)70年代開始從事設(shè)備可靠性數(shù)據(jù)的研究［2］，2007年發(fā)布了《美國商業(yè)核電站部件和始發(fā)事件的行業(yè)平均性能》（以下簡稱NUREG/CR-6928），對美國核電廠的設(shè)備可靠性數(shù)據(jù)進(jìn)行了分析和評價。

我國2022年發(fā)布的《中國核電廠設(shè)備可靠性數(shù)據(jù)報告》（以下簡稱《國家報告》）通過對國內(nèi)多家核電廠設(shè)備可靠性數(shù)據(jù)進(jìn)行收集，分析計算了核電廠各類設(shè)備的失效率或失效概率，用以指導(dǎo)中國核電廠的概率安全分析工作。

目前《國家報告》對數(shù)據(jù)處理的原則為：對于失效次數(shù)不小于5次的設(shè)備類，其可靠性參數(shù)按經(jīng)典估計方法處理；對于失效次數(shù)大于0次小于5次且NUREG/CR-6928中有對應(yīng)數(shù)據(jù)的設(shè)備類，其可靠性參數(shù)按貝葉斯估計［3］方法處理；對于失效次數(shù)為0次且NUREG/CR-6928中有對應(yīng)數(shù)據(jù)的設(shè)備類，其可靠性參數(shù)直接使用NUREG/CR-6928通用數(shù)據(jù)，計算方法采用β分布或γ分布［4］；對于失效次數(shù)小于5次［5］且NUREG/CR-6928中沒有對應(yīng)數(shù)據(jù)的設(shè)備類，其可靠性參數(shù)暫不進(jìn)行估計，等失效次數(shù)積累足夠多時再開展［6］。

2 指數(shù)分布壽命試驗

根據(jù)設(shè)備的典型失效率曲線，失效可分為早期失效期、偶然失效期及損耗失效期。設(shè)備在偶然失效期的壽命分布接近指數(shù)分布，設(shè)試驗樣本數(shù)為n，規(guī)定時間t0時進(jìn)行試驗，在試驗結(jié)束時共有r個樣本失效。對具有一定精度要求的平均壽命θ所處的范圍，設(shè)置置信區(qū)間（θL，θU），置信上限θL，置信下限θU。對于定時截尾壽命試驗［7］，其分布密度函數(shù)是f（x），置信度為（1-α）。則其分布密度表達(dá)式為：

這符合卡方分布的概率密度函數(shù)，則平均壽命置信區(qū)間（θL，θU）的表達(dá)式為：

式中，t=nt0，代表試驗的總時間。平均壽命置信區(qū)間的倒數(shù)即是失效率λ或失效概率P的置信區(qū)間，記作（λL，λU）或（PL，PU），一般取α=0.1。由公式可知，失效率的置信上限和置信下限的自由度與試驗樣本中的失效次數(shù)和試驗樣本的試驗總時間（次數(shù)）相關(guān)。

3 指數(shù)分布截尾估計的特點

3.1 指數(shù)分布截尾估計隨自由度增大的變化趨勢

可通過一組定期試驗數(shù)據(jù)計算比對說明。《國家報告》中采集到全國各核電廠應(yīng)急空氣壓縮機(jī)組啟動失效的次數(shù)，并通過對數(shù)正態(tài)分布計算了其啟動失效率。置信區(qū)間上限為95%時，其啟動失效率為3.96×10-4，取5%的置信下限時，啟動失效率為2.71×10-4，其均值為3.29×10-4，誤差因子1.21［8］（誤差因子=

電廠日常運行時，應(yīng)急空氣壓縮機(jī)組處于備用狀態(tài)，每次按固定周期啟動應(yīng)急空氣壓縮機(jī)進(jìn)行試驗可以看作獨立的隨機(jī)事件，符合定時截尾試驗的定義。因此，可以使用指數(shù)分布定時截尾試驗?zāi)Ｐ瓦M(jìn)行失效率計算，見表1。

表1 使用指數(shù)分布截尾估計方法計算應(yīng)急空氣壓縮機(jī)失效率Table 1 Using exponential distribution truncation estimation method to calculate the failure rate of emergency air compressors

對數(shù)正態(tài)分布估計和指數(shù)分布兩者在置信區(qū)間內(nèi)的概率值基本一致。這說明統(tǒng)計到的失效數(shù)較多時，指數(shù)分布截尾區(qū)間估計和按照失效數(shù)的對數(shù)正態(tài)分布區(qū)間估計結(jié)果趨同。因此，可以利用卡方分布對對數(shù)正態(tài)分布進(jìn)行驗證。

3.2 指數(shù)分布截尾估計隨自由度減小的變化趨勢

卡方分布的性質(zhì)為當(dāng)自由度較低時，臨界值隨自由度變化敏感，因此在運用指數(shù)分布截尾估計對小樣本容量進(jìn)行可靠性分析時，需考慮卡方分布的這一特性，下面舉例進(jìn)行說明。

某核電廠對應(yīng)急空氣壓縮機(jī)組定期開展試驗。3年內(nèi)共進(jìn)行應(yīng)急空氣壓縮機(jī)啟動試驗次數(shù)n=635，啟動失效次數(shù)r=3［9］，采用對數(shù)正態(tài)分布計算的啟動失效概率均值為4.72×10-3，取置信度為0.9，查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表［10］，上分位點下分位點則根據(jù)失效次數(shù)估計失效率區(qū)間公式得置信度上限失效率λL=9.12×10-3，置信度下限失效率λU=3.70×10-4，誤差因子為4.96。按失效數(shù)利用正態(tài)分布進(jìn)行區(qū)間估計的表達(dá)式［10］如下：

若采用指數(shù)分布定時截尾估計進(jìn)行計算，置信度上限失效率λL=1.22×10-2，置信度下限失效率λU=1.29×10-3，誤差因子為3.08。

可見，即使統(tǒng)計到了足夠多的樣本數(shù)，但其中統(tǒng)計到的失效事件次數(shù)很小（小于5次），不管采用哪種方法，計算出的區(qū)間估計的范圍均較大，失效次數(shù)的增減引起的估計區(qū)間變化也較敏感。使用失效時間的指數(shù)分布截尾估計雖然誤差略小于對數(shù)正態(tài)分布計算，但誤差因子仍較大。此時，應(yīng)考慮使用多種統(tǒng)計學(xué)方法對設(shè)備的失效概率進(jìn)行計算（如先驗分布、貝葉斯插值計算等），對計算的結(jié)果進(jìn)行適當(dāng)性分析。

4 指數(shù)分布截尾估計的應(yīng)用

4.1 指數(shù)分布截尾估計的加和應(yīng)用

由于卡方分布具有可加性［11］，因此，根據(jù)系統(tǒng)的構(gòu)成，某些設(shè)備的失效概率可以拆分為引起該設(shè)備失效的各獨立部件失效概率的加和，這些系統(tǒng)中任一組成部件的失效都會導(dǎo)致整個系統(tǒng)失效被稱為串聯(lián)系統(tǒng)的失效。在指數(shù)分布截尾估計中，可構(gòu)建模型說明該問題，如圖1所示。

圖1 “或門”設(shè)備的可靠性分析結(jié)構(gòu)Fig.1 Reliability Analysis Structure of “OR Gate”Equipment

判定A設(shè)備安全功能失效的原因為B部件的安全功能失效或C部件的安全功能失效，部件B和C的功能獨立，兩者均通過同頻率的定期試驗來驗證其可靠性。其對應(yīng)的卡方臨界值可以加和用以計算設(shè)備A失效率的臨界值，即χ2（A） =χ2（B） +χ2（C），設(shè)備A的安全功能失效概率即為P（A） =P（B） +P（C）。因此，在對電廠型此類模型進(jìn)行可靠性分析時，可利用可加性進(jìn)行失效率的區(qū)間估計。當(dāng)定時試驗的周期延長時，設(shè)備的失效概率的增加和部件失效概率增加的速率一致，是隨試驗周期（次數(shù)）變化的一次線性函數(shù)。

4.2 指數(shù)分布截尾估計的乘法應(yīng)用

當(dāng)一個系統(tǒng)的所有組成單元都發(fā)生故障時，系統(tǒng)失效的情況被稱為并聯(lián)系統(tǒng)失效。使用指數(shù)分布截尾估計，兩個獨立的樣本可進(jìn)行乘法計算，可構(gòu)建模型予以說明。

某電廠具有8臺設(shè)備A，按照每周一次的頻次開展定期試驗，用以驗證設(shè)備A中部件B和C的安全功能，設(shè)備A的安全功能失效需部件B和C的安全功能同時失效，部件B和C的運行和試驗的工藝條件相互獨立，如圖2所示。

圖2 “與門”設(shè)備的可靠性分析結(jié)構(gòu)Fig.2 Reliability Analysis Structure of “AND Gate”Equipment

3年內(nèi)，部件B安全功能失效6次，部件C安全功能失效5次，設(shè)備A失效0次。設(shè)備A失效率為部件B與C失效率的乘積。同時，也可對設(shè)備A整體的失效率利用指數(shù)分布估計的方法進(jìn)行計算，比較見表2。

表2 設(shè)備A及部件B/C通過指數(shù)分布估計的失效率Table 2 The failure rate estimated by exponential distribution for equipment A and component B/C

設(shè)備和部件安全功能的偶然失效概率在定期試驗成功后重置為0，之后失效概率隨著與最后一次試驗時間的間隔的延長逐漸增大，在新的一次定期試驗開始時達(dá)到最大。因此，設(shè)備和部件安全功能的偶然失效概率為定期試驗期間的一半。因此，對不同試驗周期下設(shè)備和部件的失效概率計算見表3。

表3 設(shè)備A及部件B/C不同試驗周期下的失效概率（95%置信度）Table 3 Probability of failure of equipment A and component B/C under different test cycles （95% confidence level）

采用指數(shù)分布截尾估計計算失效率時，在統(tǒng)計到的系統(tǒng)整體的失效數(shù)較小時，如果能已知系統(tǒng)各部分的失效率，進(jìn)而計算總體的失效率，比直接計算設(shè)備總體的失效率更為妥當(dāng)［12］，所得到的可靠性估計更接近真實水平。當(dāng)系統(tǒng)復(fù)雜度上升時，如果采用通過部分失效概率的乘積計算總體失效概率時，延長設(shè)備定時試驗的周期會使設(shè)備失效概率隨相關(guān)系統(tǒng)的復(fù)雜度呈幾何級數(shù)增長，這是因為雖然各部件的壽命仍然符合指數(shù)分布的特征，但該系統(tǒng)總體的壽命已經(jīng)不再服從指數(shù)分布了［13］。通過乘積計算的設(shè)備失效概率的誤差因子不僅大于各部件獨立的誤差因子，同時也大于將設(shè)備作為整體計算失效概率的誤差因子。在收集了數(shù)十年數(shù)據(jù)并進(jìn)行統(tǒng)計和處理后，NUREG/CR-6928建議對于對數(shù)正態(tài)分布，一般將誤差因子整固為3或者10［14］。因此，為了保證估計區(qū)間的精度，參考了《國家報告》內(nèi)數(shù)據(jù)和行業(yè)經(jīng)驗，當(dāng)誤差因子超過10的復(fù)雜系統(tǒng)，一般不建議采用指數(shù)分布截尾估計進(jìn)行分析。

5 總結(jié)及建議

隨著核電廠概率安全分析工作在我國的逐漸深入，需使用合理的統(tǒng)計方法對核電廠的可靠性分析進(jìn)行指導(dǎo)。隨機(jī)原因?qū)е碌脑O(shè)備驗證試驗過程中的失效服從指數(shù)分布，根據(jù)其特點，可以利用指數(shù)分布截尾估計進(jìn)行可靠性研究，同時也應(yīng)注意，當(dāng)分布的自由度較低時，失效數(shù)的變化導(dǎo)致估計的置信區(qū)間變化敏感，誤差因子也較大。指數(shù)分布截尾估計對于復(fù)雜系統(tǒng)的可靠性分析也具有一定的實用性，在進(jìn)行失效次數(shù)較小的系統(tǒng)或設(shè)備可靠性分析時，可先進(jìn)行子系統(tǒng)或部件的拆分，再展開分析，但隨著復(fù)雜度升高，誤差因子也會呈幾何級增加，估計的精度隨之下降，需和其他統(tǒng)計模型參照使用。