孫懷輝,姚玉武,產(chǎn)黃峰

(1.合肥學(xué)院 生物食品與環(huán)境學(xué)院,安徽 合肥 230601;2.合肥學(xué)院 應(yīng)用數(shù)學(xué)與人工智能機(jī)理研究重點(diǎn)實驗室,安徽 合肥 230601)

在控制工程領(lǐng)域,由Dorato[1]引入的系統(tǒng)的有限時間穩(wěn)定性(finite-time stability,FTS)得到了越來越多學(xué)者的關(guān)注。有限時間穩(wěn)定是指在一段固定時間區(qū)間內(nèi)系統(tǒng)達(dá)到期望的性能指標(biāo)且滿足期望的狀態(tài)軌跡,強(qiáng)調(diào)系統(tǒng)響應(yīng)的瞬時狀態(tài)行為,在機(jī)器人控制、航天飛行器控制、智能制造、材料化工等領(lǐng)域中都有著廣泛的應(yīng)用。Lyapunov穩(wěn)定性是指當(dāng)時間趨于無窮時,系統(tǒng)漸近穩(wěn)定的一種演變狀態(tài),強(qiáng)調(diào)系統(tǒng)是無限區(qū)間內(nèi)的穩(wěn)態(tài)性能。有限時間穩(wěn)定性與Lyapunov穩(wěn)定性的概念是不同且獨(dú)立的。在實際工程中,尤其是對一些需要做出快速響應(yīng)的系統(tǒng),如無人機(jī)的姿態(tài)控制、機(jī)器人軌跡跟蹤、反應(yīng)釜溫度控制等[2-3],即使證明了系統(tǒng)狀態(tài)最終是Lyapunov漸近穩(wěn)定的,但也可能出現(xiàn)超調(diào)量過大或者響應(yīng)不及時等不良情況,導(dǎo)致系統(tǒng)具有較差的暫態(tài)性能,從而無法滿足系統(tǒng)期望的性能要求。因此,在控制工程中關(guān)于有限時間有界性的研究是十分有意義的[4-8]。隨著現(xiàn)代控制理論發(fā)展和工具不斷的更新迭代,理論的發(fā)展需要求解大量的不等式,線性矩陣不等式(LMI)工具箱的引入加快了不等式的求解,使得與有限時間穩(wěn)定性、有限時間有界性、有限時間跟蹤問題的條件易于求得[9]。依據(jù)已有的有限時間控制理論研究成果[10-12]可知,有限時間控制的優(yōu)點(diǎn)在于可改善控制系統(tǒng)的快速收斂性能,從而實現(xiàn)在有限時間內(nèi)穩(wěn)定,當(dāng)系統(tǒng)存在內(nèi)外部擾動時,相對比Lyapunov漸近穩(wěn)定的系統(tǒng)具有更好的魯棒性和抗干擾能力。當(dāng)考慮具有外部輸入的系統(tǒng)時,有限時間穩(wěn)定性的概念又拓展到了有限時間有界性(finite-time boundedness,FTB)、有限時間有界跟蹤等問題上,通常這里的外部輸入包括外部擾動以及外部控制率等,由于外部輸入使得系統(tǒng)狀態(tài)在有限時間上的行為更加復(fù)雜,使得研究系統(tǒng)在有限時間內(nèi)的狀態(tài)更加有意義。

本文采用以下記號,N0表示不包含0的自然數(shù)集,Pn表示n維的實歐幾里得空間,矩陣P表示矩陣PT的轉(zhuǎn)置,P>0(P<0)表示P是一個對稱的正定(負(fù)定)矩陣,而P≥0(P≤0)則表示P是一個對稱的半正定(負(fù)定)矩陣,P≥Q(P≤0)表示P-Q≥0,λmax(A)表示實對稱矩陣A的最大特征值,λmin(A)表示實對稱矩陣A最小特征值。

1 預(yù)備知識

考慮如下的系統(tǒng)

x(k+1)=Ax(k)+f(x(k))ω(k)+Bu(k),

x(0)=x0,y(k)=Cx(k)。

(1)

其中,x(k)∈n是狀態(tài)向量,A∈n×n、B∈n×q、C∈m×n是系數(shù)矩陣u(k)∈q是輸入向量,y(k)∈m是輸出向量,ω(k)∈p是擾外部動向量,f(x(k))∈n×p是線性或非線性的映射,其中f(x(k))滿足:

外部擾動生成的動力方程為:

ω(k+1)=Dω(k),ω(0)=ω0,

(2)

D∈p×p系數(shù)矩陣。

假設(shè)1對于給定的N∈0,外部擾動滿足條件:設(shè)系統(tǒng)的跟蹤目標(biāo)r(k)由動力方程(3)生成:

r(k+1)=Gr(k),r(0)=r0,

(3)

其中,參考信號r(k)∈m,G∈m×m是系數(shù)矩陣,設(shè)Δr(j)=r(j)-r(j-1)。

如果滿足以下定義[13]:

定義1

其中k∈{1,2,…,N},N≥1,δ>0,d>0,ε>0,R>0。則認(rèn)為系統(tǒng)(1)和(2)稱為關(guān)于(δ,d,ε,R,N)是有限時間有界跟蹤的。設(shè)系統(tǒng)跟蹤誤差為:e(k)=y(k)-r(k)。

定義2系統(tǒng)(1)和(2)稱為對參考信號r(k)關(guān)于(δ,d,ε,R,N)是有限時間有界追蹤的,如果滿足

?k∈{1,2,…,N},N≥1,δ>0,d>0,ε>0,R>0。

以下是一些重要引理[14]:

引理2設(shè)U,V和W是具有適當(dāng)維數(shù)的向量或矩陣,則不等式:UTV+VTU≤UTU+VTV成立。

2 主要結(jié)論

狀態(tài)變化量為:

Δx(k+1)=x(k+1)-x(k)

=AΔx(k)+f(x(k))Δω(k)+

Δf(x(k))ω(k-1)+BΔu(k),

(4)

相應(yīng)的跟蹤誤差變化量為:

Δe(k+1)=e(k+1)-x(k)=

CΔx(k+1)-Δr(k+1)。

此時注意參考信號變化量Δr(k+1)=r(k+1)-r(k)=Gr(k)-Gr(k-1)=GΔr(k),故有:

e(k+1)=e(k)+CAΔx(k)+

CBΔu(k)+Cf(x(k))Δω(k)+

CΔf(x(k))ω(k-1)-GΔr(k)

(5)

(6)

(7)

令其為系統(tǒng)(6)的輸出。

(8)

定理1系統(tǒng)(6)關(guān)于(δ,d,ε,R,N)是有限時間有界的,如果對任意給定的數(shù)γ>1存在矩陣P1>0,P2>0,使得

(9)

(10)

(11)

其中

證明令V(e(k+1))=e(k+1)P1e(k+1),則由(6)式有

V(e(k+1))=e(k+1)P1e(k+1)=

V(e(k+1))≤

ωT(k-1)e21Δω(k)+ΔrT(k)e31Δω(k)+

ΔωT(k)e12ω(k-1)+ωT(k-1)e22ω(k-1)+

ΔrT(k)e32e12ω(k-1)+ΔωT(k)e13Δr(k)+

ωT(k-1)e23Δr(k)+ΔrT(k)e33Δr(k)。

12ωT(k)α2(λC+1)ω(k-1)+

這里設(shè)

這樣由引理1得到:

由于定理中的條件(9)有

V(e(k+1))≤γV(e(k))+γWT(k)P2W(k)≤

γV(e(k))+γλmax(p2)WT(k)W(k)

(12)

考慮到γ>1,由式(12)可得:

V(e(k))≤γk-1(V(e(1))+

這樣,對?k∈{1,2,…,N},有

V(e(k))≤γN-1(V(e(1))+

由于

由上面各式有

又對?k∈{1,2,…,N},由(10)式得

V(e(k))=eT(k)P1e(k)≥

所以

由于定理中的條件(11)即得 eT(k)Re(k)≤ε2。

這樣就完成了定理1的證明。

上述定理中,條件(9)、(10)、(11)對于未知矩陣P1,P2來說,各個量之間是非線性的關(guān)系,因此驗證起來比較麻煩,下面討論系統(tǒng)(1)和(2)的有限時間有界跟蹤問題。為了能利用線性矩陣不等式(LMI)的方法驗證結(jié)果,取R=I,這也可以考慮是2-范數(shù)情況的定理的情形。

令I(lǐng)≤P1≤λ1I,λ2≤P2≤λ3I,由此

(13)

18α2λ1-γλ2<0,2λ1GTG-γλ2I<0,

(14)

(15)

(16)

證明由定理1中的記號知

令P1=Q-1,并把前后分別乘以對稱矩陣diag(Q1,I)及其轉(zhuǎn)置,并利用引理3可知上式等價于式(13)。

由不等式(11)有

注當(dāng)系統(tǒng)

x(k+1)=Ax(k)+f(x(x))ω(k)+

Bu(k),x(0)=x0

(17)

其中,f(x(x))=F∈n×n是一個常值矩陣時,式(14)為一個具有外部擾動的線性系統(tǒng),此時顯然滿足存在α>0,得λmax(FTF)≤α以應(yīng)用定理中的充分條件。參考文獻(xiàn)[11]給出了一個相應(yīng)的充分條件。

3 案例模擬

考慮如下的帶有外部擾動的單輸入單連桿柔性關(guān)節(jié)機(jī)器人系統(tǒng)(其連續(xù)情形見文獻(xiàn)[4])

x(k+1)=Ax(k)+Bu(k)+

rg((k))LTω(k),y(k)=Cx(k)

式中

ω(k+1)=Sω(k),

由引理1有:

f(x(k),ω(k))Tf(x(k),ω(k))≤

2x(k)ATAx(k)+2r2ωT(k)LLTω(k)≤

2λmax(τ1I+ATA)xT(k)x(k)+

2r2(τ2I+LLT)ωT(k)ω(k),

這里τ1>0,τ2>0取得適當(dāng)?shù)闹凳沟忙?I+ATA,τ2I+LLT是正定的對稱矩陣。

這樣就得到:

f(x(k),ω(k))Tf(x(k),ω(k))≤

xT(k)R1x(k)+ωT(k)R2ω(k)=

2.9528IxT(k)x(k)+2.02r2IωT(k)ω(k)。

因此向量值函數(shù)f(x(k),ω(k))滿足條件,此時Q=I,R1=2.9528I,R2=2.02I2。取r=-0.0007,γ=25,利用線性矩陣不等式LMI工具箱求解(9)-(13)可得λ1=3.7148,λ2=56.5871,λ3=167.1860,Q1=0.9995I,Q2=111.5457I,

由定理2可知系統(tǒng)關(guān)于(δe,d1,d2,ε,R,N)=(0.01,0.001901,0.002,0.01,I,6)是有限時間有界追蹤的。

圖1中顯示了所給的非線性系統(tǒng)狀態(tài)分量x1(k),x2(k),x3(k),x4(k),給定初始x1(k)=-10,x2(k)=-20,x3(k)=-30,x4(k)=-40,可以看出案例中閉環(huán)離散系統(tǒng)狀態(tài)隨著時間能夠較好地收斂,從而有效地驗證了前面定理中所給條件的可行性。

圖1 x的狀態(tài)分量

4 總結(jié)

本文研究了一類具有外部擾動的非線性系統(tǒng),通過對所構(gòu)造的新系統(tǒng)的有限時間有界性來討論其有限時間有界跟蹤問題,得到了這類非線性系統(tǒng)有限時間有界跟蹤的充分條件,這些條件能較為有效地判別系統(tǒng)的狀態(tài)在有限的時間段上的運(yùn)行情況。最后,數(shù)字仿真也可以看出關(guān)于這類非線性系統(tǒng)的有限時間有界跟蹤的結(jié)論是可行的。