PMLSM伺服系統(tǒng)自適應非奇異快速終端滑?？刂?/h1>
2023-10-25 06:35:50趙希梅
微特電機 2023年10期
張 猛,趙希梅
(沈陽工業(yè)大學 電氣工程學院,沈陽 110870)
0 引 言
采用永磁直線同步電動機(以下簡稱PMLSM)的直線驅動控制系統(tǒng)在結構上省略了滾珠絲杠等設備,零部件大大減少,且PMLSM擁有速度快、精度高、體積小、安全可靠性高等優(yōu)勢[1],因此,PMLSM在高速高精度生產制造方面十分常見[2]。但是,在生產制造中PMLSM伺服系統(tǒng)會受外部擾動等不確定性影響,所以選取合適的控制策略是十分必要的[3]。目前,簡單的控制策略很難滿足工業(yè)生產的需求,復合控制策略更加受人們的青睞,因此未來研究方向更加趨向于復合控制策略。
滑模控制(以下簡稱SMC)具備強魯棒性、模型簡單、響應速度快等優(yōu)勢,在軌道交通、機械臂、智能控制等領域得到廣泛應用[4-6]。但是,SMC的強魯棒性會帶來一個顯著缺點即抖振現象,抖振大大影響了整個系統(tǒng)的控制性能[7-8]。
文獻[9]設計的終端滑模面明顯提高了快速性,同時利用神經網絡來補償系統(tǒng)的不確定性,但終端滑模面所帶來的奇異問題仍無法避免。文獻[10]采用復合控制策略,結合自適應與SMC,對控制器中的未知參數進行估計,抖振現象減弱明顯,但快速性仍未有明顯改善。文獻[11]采用的滑模面是積分類型的,不同于常用的滑模面,不會受到滑模面中微分項的影響,但同時切換函數所帶來的抖振問題仍然存在。
本文設計了自適應非奇異快速終端滑?？刂?以下簡稱ANFTSMC)方法,能夠有效提高系統(tǒng)的收斂速度,解決了收斂速度慢的問題,并保證位置跟蹤精度,避免奇異性。同時,自適應律的加入能夠實時估計系統(tǒng)未知擾動的上界,系統(tǒng)的魯棒性有所提高。最終,仿真對比分析表明,同SMC和NFTSMC方法對比,本方法能夠在保證快速收斂性和跟蹤精度的情況下,具有較強的魯棒性能。
1 PMLSM數學模型
系統(tǒng)采用表貼式PMLSM,建立相應的數學模型,來實現PMLSM的矢量控制。PMLSM在兩相旋轉坐標系中的電壓方程如下:
(1)
磁鏈方程:
(2)
式中:ud,uq為d,q軸的電壓;Rs為定子電阻;id,iq為d,q軸電流;ψd,ψq為d,q軸磁鏈;Ld,Lq為d,q軸電感;v為動子速度;ψf為永磁體勵磁磁鏈;p為極對數;τ為極距。
電磁推力Fe方程:
(3)
(4)
(5)
式中:Kf為電磁推力系數。
PMLSM的機械運動方程:
(6)
式中:M代表動子總質量;B代表粘滯摩擦系數;FL代表系統(tǒng)外部集總擾動,包括但不限于摩擦力、負載擾動和端部效應力。
忽略擾動FL的影響,可獲得理想狀態(tài)下的動態(tài)方程:
(7)
式中:d為動子位置信號;定義An=-B/M,Bn=Kf/M;u表示電流iq,即為控制器輸出。
系統(tǒng)內、外均存在未知擾動時,其動態(tài)方程:
(8)
式中:C=-1/M;ΔA,ΔB,ΔC表示由動子總質量、粘滯摩擦等引起的系統(tǒng)不確定性;H為系統(tǒng)內、外部未知集總擾動,可表示:
(9)
在系統(tǒng)運行過程中,用正實數ρ代表未知集總擾動H的上界,滿足|H|≤ρ。
2 PMLSM控制系統(tǒng)的設計
針對PMLSM伺服系統(tǒng)易受外部擾動等不確定性因素的影響,采用ANFTSMC方案來提高系統(tǒng)的收斂速度,并對系統(tǒng)中不確定因素進行有效抑制,進而提高系統(tǒng)的魯棒性能。基于ANFTSMC的PMLSM伺服系統(tǒng)框圖如圖1所示。
圖1 基于ANFTSMC的PMLSM伺服系統(tǒng)框圖
終端滑模控制(以下簡稱TSMC)與SMC進行比較,不僅繼承了SMC的魯棒性強、具有收斂性等特點,而且系統(tǒng)跟蹤性能以及收斂時間優(yōu)于SMC。取終端滑模面s:
(10)
式中:x為系統(tǒng)狀態(tài)變量;β>0;p,q為正奇數,且滿足p>q。
系統(tǒng)收斂至原點的時間:
(11)
系統(tǒng)如果能夠進入滑動模態(tài),證明整個系統(tǒng)是收斂的,且最終會回到原點,TSMC滿足此收斂條件并且會在一定時間內收斂到原點。然而依舊存在的問題是,TSMC雖然在接近原點時收斂速度較SMC有所提高,但是在距離原點較遠時,收斂速度不夠快。因此,采用快速終端滑?？刂?以下簡稱FTSMC),定義滑模面:
(12)
系統(tǒng)的收斂時間:
(13)
通過在TSMC的滑模面公式上設計線性項,使得在距離原點較遠時,線性項起主要作用,在接近原點時,冪次項起主要作用,兩者取長補短,最終只要系統(tǒng)進入滑動模態(tài)階段,就會有較快的收斂時間。
(14)
式中:α,β>0,λ>1;p,q為正奇數,且滿足p>q。
定義動子位置跟蹤誤差e:
e=d*-d
(15)
式中:d*表示給定位置信號;d表示實際位置信號。
采用NFTSMC能夠改進跟蹤精度,并提高趨近原點時系統(tǒng)的收斂速度,定義非奇異快速終端滑模面:
(16)
式中:α,β>0,λ>1;p,q為正奇數,且滿足p>q。
對s求導后得:
(17)
(18)
為了加強系統(tǒng)對外部擾動的抑制作用,設計切換控制項ust:
ust=Bn-1[ksgn(s)]
(19)
式中:sgn(s)表示符號函數;k表示切換增益。在設計中令k>0,并且滿足k=ρ+η,其中,η為一正實數。通過改變k值能夠削弱抖振且提高抗擾性能,使得系統(tǒng)整個控制性能有所提高。
(20)
式中:c為常數。系統(tǒng)總控制律:
u=ueq+ust
(21)
構造李雅普諾夫函數V:
(22)
對V求導,得:
(23)
3 系統(tǒng)仿真分析
為了證明本文控制器的有效性,下面進行仿真闡述,分別采用SMC、NFTSMC和ANFTSMC 3種方法對PMLSM伺服系統(tǒng)進行仿真,PMLSM的主要參數:M=16.4 kg,B=8.0 N·s/m,Kf=50.7 N/A,ψf=0.09 Wb,p=3,Rs=2.1 Ω,Ld=Lq=41.4 mH,τ=32 mm。采用控制變量法調整控制器的參數,最優(yōu)的系統(tǒng)控制參數如下:SMC參數,k1=2 000,k2=5,c=20;NFTSMC參數,p=7,q=5,β=0.025,α=17,λ=1.4,k=10;ANFTSMC參數,p=7,q=5,β=0.025,α=17,λ=1.4,k=10,c=100 000,η=8。
給定兩種不同的輸入信號,通過仿真對比說明本文控制器能滿足一定的要求。
1)輸入幅值為1 mm的階躍信號,在1 s時加入100 N·m的恒定負載擾動。
圖2是給定幅值為1 mm的階躍信號下3種控制方法的位置跟蹤曲線。可以看出,ANFTSMC可以快速到達給定位置,NFTSMC次之,SMC從3種曲線比較來看收斂速度較慢。由局部放大圖可知,SMC的位置跟蹤曲線在給定位置上下進行波動,幅度較大,NFTSMC的位置跟蹤曲線在給定位置上下波動幅度比SMC小,ANFTSMC基本可以回到給定位置1 mm處,曲線波動幅度最小。通過對比可得,ANFTSMC能夠提高位置跟蹤精度,提高收斂速度。
圖2 階躍信號位置跟蹤曲線
在1 s突加100 N·m負載之后,局部放大圖如圖3所示。突加負載以后,SANFTSMC仍然在給定曲線附近波動,系統(tǒng)跟蹤效果最好。NFTSMC則在0.99 mm～0.995 mm之間波動,跟蹤精度不如ANFTSMC。SMC則在0.985 mm附近波動,跟蹤精度比較差。由此說明,采用ANFTSMC方法的系統(tǒng)在突加100 N·m負載后跟蹤效果仍然較好。
圖3 階躍信號突加負載位置跟蹤曲線
3種控制方法的PMLSM伺服系統(tǒng)位置誤差曲線如圖4所示。由圖4可看出,ANFTSMC優(yōu)于SMC、NFTSMC,在0.05 s時系統(tǒng)已經達到穩(wěn)定狀態(tài);NFTSMC需要約0.1 s達到穩(wěn)定狀態(tài);SMC則最慢,需要約0.25 s達到穩(wěn)定狀態(tài)。ANFTSMC的收斂速度最快,最先達到穩(wěn)定,響應速度有明顯提高。
圖4 階躍信號位置誤差曲線
2)給定幅值為0.2 m的正弦信號,且在1 s突加100 N·m的恒定負載擾動。
圖5是給定正弦信號下3種控制方法的PMLSM伺服系統(tǒng)位置跟蹤曲線。由圖5可知,SMC的跟蹤效果不及NFTSMC與ANFTSMC,但是加入自適應以后,對系統(tǒng)不確定性未知上界進行實時估計,ANFTSMC的跟蹤效果進一步加強,同時提高了控制精度,使系統(tǒng)的控制性能得到改進。圖6是3種控制方法的位置誤差曲線。由圖6可知,ANFTSMC在約0.1 s達到穩(wěn)定,NFTSMC在0.14 s左右達到穩(wěn)定,SMC則需要約0.3 s才到達穩(wěn)定,ANFTSMC的響應速度在三者之間最好。因此再次證明采用ANFTSMC方法可以提高系統(tǒng)收斂速度。
圖5 正弦信號位置跟蹤曲線
圖6 正弦信號位置誤差曲線
在1 s突加100 N·m負載以后,3種控制方法的位置誤差曲線局部放大圖如圖7所示。SMC很難回到給定位置,NFTSMC的曲線在-5 μm附近波動,正弦信號位置誤差曲線優(yōu)于SMC。而ANFTSMC在0.3 μm～0.4 μm附近波動,在三者比較中效果最好,ANFTSMC的穩(wěn)定性更好。這說明ANFTSMC的跟蹤精度和魯棒性都有所提高。
圖7 正弦信號突加負載位置跟蹤曲線
圖8和圖9分別是NFTSMC和ANFTSMC控制方法下,給定幅值為0.2 m的正弦信號伺服系統(tǒng)位置誤差曲線局部放大圖。由圖8、圖9可知,在到達穩(wěn)態(tài)后,NFTSMC系統(tǒng)跟蹤誤差始終在4 μm左右,而ANFTSMC系統(tǒng)跟蹤誤差始終在2 μm左右,抖振現象明顯得到改善,加入自適應律可在線估計系統(tǒng)不確定性參數的上界。
圖8 NFTSMC位置誤差曲線
圖9 ANFTSMC位置誤差曲線
4 結 語
針對PMLSM采用傳統(tǒng)SMC進行位置控制時,存在收斂時間慢、抗擾性差、位置跟蹤精度低等問題,本文提出了ANFTSMC方法,在傳統(tǒng)SMC上加入非奇異快速終端項,系統(tǒng)不僅能夠在有限時間內收斂,避免了奇異性,而且提高了系統(tǒng)的控制性能。為進一步增強系統(tǒng)的魯棒性和跟蹤精度,在NFTSMC的基礎上加入自適應律,用以估計系統(tǒng)所受不確定性的上界。仿真結果驗證了本文控制方法的有效性。
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(2)
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電磁推力Fe方程:
(3)
(4)
(5)
式中:Kf為電磁推力系數。
PMLSM的機械運動方程:
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(8)
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(9)
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圖1 基于ANFTSMC的PMLSM伺服系統(tǒng)框圖
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式中:α,β>0,λ>1;p,q為正奇數,且滿足p>q。
定義動子位置跟蹤誤差e:
e=d*-d
(15)
式中:d*表示給定位置信號;d表示實際位置信號。
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(16)
式中:α,β>0,λ>1;p,q為正奇數,且滿足p>q。
對s求導后得:
(17)
(18)
為了加強系統(tǒng)對外部擾動的抑制作用,設計切換控制項ust:
ust=Bn-1[ksgn(s)]
(19)
式中:sgn(s)表示符號函數;k表示切換增益。在設計中令k>0,并且滿足k=ρ+η,其中,η為一正實數。通過改變k值能夠削弱抖振且提高抗擾性能,使得系統(tǒng)整個控制性能有所提高。
(20)
式中:c為常數。系統(tǒng)總控制律:
u=ueq+ust
(21)
構造李雅普諾夫函數V:
(22)
對V求導,得:
(23)
3 系統(tǒng)仿真分析
為了證明本文控制器的有效性,下面進行仿真闡述,分別采用SMC、NFTSMC和ANFTSMC 3種方法對PMLSM伺服系統(tǒng)進行仿真,PMLSM的主要參數:M=16.4 kg,B=8.0 N·s/m,Kf=50.7 N/A,ψf=0.09 Wb,p=3,Rs=2.1 Ω,Ld=Lq=41.4 mH,τ=32 mm。采用控制變量法調整控制器的參數,最優(yōu)的系統(tǒng)控制參數如下:SMC參數,k1=2 000,k2=5,c=20;NFTSMC參數,p=7,q=5,β=0.025,α=17,λ=1.4,k=10;ANFTSMC參數,p=7,q=5,β=0.025,α=17,λ=1.4,k=10,c=100 000,η=8。
給定兩種不同的輸入信號,通過仿真對比說明本文控制器能滿足一定的要求。
1)輸入幅值為1 mm的階躍信號,在1 s時加入100 N·m的恒定負載擾動。
圖2是給定幅值為1 mm的階躍信號下3種控制方法的位置跟蹤曲線。可以看出,ANFTSMC可以快速到達給定位置,NFTSMC次之,SMC從3種曲線比較來看收斂速度較慢。由局部放大圖可知,SMC的位置跟蹤曲線在給定位置上下進行波動,幅度較大,NFTSMC的位置跟蹤曲線在給定位置上下波動幅度比SMC小,ANFTSMC基本可以回到給定位置1 mm處,曲線波動幅度最小。通過對比可得,ANFTSMC能夠提高位置跟蹤精度,提高收斂速度。
圖2 階躍信號位置跟蹤曲線
在1 s突加100 N·m負載之后,局部放大圖如圖3所示。突加負載以后,SANFTSMC仍然在給定曲線附近波動,系統(tǒng)跟蹤效果最好。NFTSMC則在0.99 mm～0.995 mm之間波動,跟蹤精度不如ANFTSMC。SMC則在0.985 mm附近波動,跟蹤精度比較差。由此說明,采用ANFTSMC方法的系統(tǒng)在突加100 N·m負載后跟蹤效果仍然較好。
圖3 階躍信號突加負載位置跟蹤曲線
3種控制方法的PMLSM伺服系統(tǒng)位置誤差曲線如圖4所示。由圖4可看出,ANFTSMC優(yōu)于SMC、NFTSMC,在0.05 s時系統(tǒng)已經達到穩(wěn)定狀態(tài);NFTSMC需要約0.1 s達到穩(wěn)定狀態(tài);SMC則最慢,需要約0.25 s達到穩(wěn)定狀態(tài)。ANFTSMC的收斂速度最快,最先達到穩(wěn)定,響應速度有明顯提高。
圖4 階躍信號位置誤差曲線
2)給定幅值為0.2 m的正弦信號,且在1 s突加100 N·m的恒定負載擾動。
圖5是給定正弦信號下3種控制方法的PMLSM伺服系統(tǒng)位置跟蹤曲線。由圖5可知,SMC的跟蹤效果不及NFTSMC與ANFTSMC,但是加入自適應以后,對系統(tǒng)不確定性未知上界進行實時估計,ANFTSMC的跟蹤效果進一步加強,同時提高了控制精度,使系統(tǒng)的控制性能得到改進。圖6是3種控制方法的位置誤差曲線。由圖6可知,ANFTSMC在約0.1 s達到穩(wěn)定,NFTSMC在0.14 s左右達到穩(wěn)定,SMC則需要約0.3 s才到達穩(wěn)定,ANFTSMC的響應速度在三者之間最好。因此再次證明采用ANFTSMC方法可以提高系統(tǒng)收斂速度。
圖5 正弦信號位置跟蹤曲線
圖6 正弦信號位置誤差曲線
在1 s突加100 N·m負載以后,3種控制方法的位置誤差曲線局部放大圖如圖7所示。SMC很難回到給定位置,NFTSMC的曲線在-5 μm附近波動,正弦信號位置誤差曲線優(yōu)于SMC。而ANFTSMC在0.3 μm～0.4 μm附近波動,在三者比較中效果最好,ANFTSMC的穩(wěn)定性更好。這說明ANFTSMC的跟蹤精度和魯棒性都有所提高。
圖7 正弦信號突加負載位置跟蹤曲線
圖8和圖9分別是NFTSMC和ANFTSMC控制方法下,給定幅值為0.2 m的正弦信號伺服系統(tǒng)位置誤差曲線局部放大圖。由圖8、圖9可知,在到達穩(wěn)態(tài)后,NFTSMC系統(tǒng)跟蹤誤差始終在4 μm左右,而ANFTSMC系統(tǒng)跟蹤誤差始終在2 μm左右,抖振現象明顯得到改善,加入自適應律可在線估計系統(tǒng)不確定性參數的上界。
圖8 NFTSMC位置誤差曲線
圖9 ANFTSMC位置誤差曲線
4 結 語
針對PMLSM采用傳統(tǒng)SMC進行位置控制時,存在收斂時間慢、抗擾性差、位置跟蹤精度低等問題,本文提出了ANFTSMC方法,在傳統(tǒng)SMC上加入非奇異快速終端項,系統(tǒng)不僅能夠在有限時間內收斂,避免了奇異性,而且提高了系統(tǒng)的控制性能。為進一步增強系統(tǒng)的魯棒性和跟蹤精度,在NFTSMC的基礎上加入自適應律,用以估計系統(tǒng)所受不確定性的上界。仿真結果驗證了本文控制方法的有效性。
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