張 猛,趙希梅

(沈陽工業(yè)大學(xué) 電氣工程學(xué)院,沈陽 110870)

0 引 言

采用永磁直線同步電動機(jī)(以下簡稱PMLSM)的直線驅(qū)動控制系統(tǒng)在結(jié)構(gòu)上省略了滾珠絲杠等設(shè)備,零部件大大減少,且PMLSM擁有速度快、精度高、體積小、安全可靠性高等優(yōu)勢[1],因此,PMLSM在高速高精度生產(chǎn)制造方面十分常見[2]。但是,在生產(chǎn)制造中PMLSM伺服系統(tǒng)會受外部擾動等不確定性影響,所以選取合適的控制策略是十分必要的[3]。目前,簡單的控制策略很難滿足工業(yè)生產(chǎn)的需求,復(fù)合控制策略更加受人們的青睞,因此未來研究方向更加趨向于復(fù)合控制策略。

滑?？刂?以下簡稱SMC)具備強(qiáng)魯棒性、模型簡單、響應(yīng)速度快等優(yōu)勢,在軌道交通、機(jī)械臂、智能控制等領(lǐng)域得到廣泛應(yīng)用[4-6]。但是,SMC的強(qiáng)魯棒性會帶來一個(gè)顯著缺點(diǎn)即抖振現(xiàn)象,抖振大大影響了整個(gè)系統(tǒng)的控制性能[7-8]。

文獻(xiàn)[9]設(shè)計(jì)的終端滑模面明顯提高了快速性,同時(shí)利用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)來補(bǔ)償系統(tǒng)的不確定性,但終端滑模面所帶來的奇異問題仍無法避免。文獻(xiàn)[10]采用復(fù)合控制策略,結(jié)合自適應(yīng)與SMC,對控制器中的未知參數(shù)進(jìn)行估計(jì),抖振現(xiàn)象減弱明顯,但快速性仍未有明顯改善。文獻(xiàn)[11]采用的滑模面是積分類型的,不同于常用的滑模面,不會受到滑模面中微分項(xiàng)的影響,但同時(shí)切換函數(shù)所帶來的抖振問題仍然存在。

本文設(shè)計(jì)了自適應(yīng)非奇異快速終端滑?？刂?以下簡稱ANFTSMC)方法,能夠有效提高系統(tǒng)的收斂速度,解決了收斂速度慢的問題,并保證位置跟蹤精度,避免奇異性。同時(shí),自適應(yīng)律的加入能夠?qū)崟r(shí)估計(jì)系統(tǒng)未知擾動的上界,系統(tǒng)的魯棒性有所提高。最終,仿真對比分析表明,同SMC和NFTSMC方法對比,本方法能夠在保證快速收斂性和跟蹤精度的情況下,具有較強(qiáng)的魯棒性能。

1 PMLSM數(shù)學(xué)模型

系統(tǒng)采用表貼式PMLSM,建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型,來實(shí)現(xiàn)PMLSM的矢量控制。PMLSM在兩相旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系中的電壓方程如下:

(1)

磁鏈方程:

(2)

式中:ud,uq為d,q軸的電壓;Rs為定子電阻;id,iq為d,q軸電流;ψd,ψq為d,q軸磁鏈;Ld,Lq為d,q軸電感;v為動子速度;ψf為永磁體勵磁磁鏈;p為極對數(shù);τ為極距。

電磁推力Fe方程:

(3)

(4)

(5)

式中:Kf為電磁推力系數(shù)。

PMLSM的機(jī)械運(yùn)動方程:

(6)

式中:M代表動子總質(zhì)量;B代表粘滯摩擦系數(shù);FL代表系統(tǒng)外部集總擾動,包括但不限于摩擦力、負(fù)載擾動和端部效應(yīng)力。

忽略擾動FL的影響,可獲得理想狀態(tài)下的動態(tài)方程:

(7)

式中:d為動子位置信號;定義An=-B/M,Bn=Kf/M;u表示電流iq,即為控制器輸出。

系統(tǒng)內(nèi)、外均存在未知擾動時(shí),其動態(tài)方程:

(8)

式中:C=-1/M;ΔA,ΔB,ΔC表示由動子總質(zhì)量、粘滯摩擦等引起的系統(tǒng)不確定性;H為系統(tǒng)內(nèi)、外部未知集總擾動,可表示:

(9)

在系統(tǒng)運(yùn)行過程中,用正實(shí)數(shù)ρ代表未知集總擾動H的上界,滿足|H|≤ρ。

2 PMLSM控制系統(tǒng)的設(shè)計(jì)

針對PMLSM伺服系統(tǒng)易受外部擾動等不確定性因素的影響,采用ANFTSMC方案來提高系統(tǒng)的收斂速度,并對系統(tǒng)中不確定因素進(jìn)行有效抑制,進(jìn)而提高系統(tǒng)的魯棒性能?；贏NFTSMC的PMLSM伺服系統(tǒng)框圖如圖1所示。

圖1 基于ANFTSMC的PMLSM伺服系統(tǒng)框圖

終端滑?？刂?以下簡稱TSMC)與SMC進(jìn)行比較,不僅繼承了SMC的魯棒性強(qiáng)、具有收斂性等特點(diǎn),而且系統(tǒng)跟蹤性能以及收斂時(shí)間優(yōu)于SMC。取終端滑模面s:

(10)

式中:x為系統(tǒng)狀態(tài)變量;β>0;p,q為正奇數(shù),且滿足p>q。

系統(tǒng)收斂至原點(diǎn)的時(shí)間:

(11)

系統(tǒng)如果能夠進(jìn)入滑動模態(tài),證明整個(gè)系統(tǒng)是收斂的,且最終會回到原點(diǎn),TSMC滿足此收斂條件并且會在一定時(shí)間內(nèi)收斂到原點(diǎn)。然而依舊存在的問題是,TSMC雖然在接近原點(diǎn)時(shí)收斂速度較SMC有所提高,但是在距離原點(diǎn)較遠(yuǎn)時(shí),收斂速度不夠快。因此,采用快速終端滑?？刂?以下簡稱FTSMC),定義滑模面:

(12)

系統(tǒng)的收斂時(shí)間:

(13)

通過在TSMC的滑模面公式上設(shè)計(jì)線性項(xiàng),使得在距離原點(diǎn)較遠(yuǎn)時(shí),線性項(xiàng)起主要作用,在接近原點(diǎn)時(shí),冪次項(xiàng)起主要作用,兩者取長補(bǔ)短,最終只要系統(tǒng)進(jìn)入滑動模態(tài)階段,就會有較快的收斂時(shí)間。

(14)

式中:α,β>0,λ>1;p,q為正奇數(shù),且滿足p>q。

定義動子位置跟蹤誤差e:

e=d*-d

(15)

式中:d*表示給定位置信號;d表示實(shí)際位置信號。

采用NFTSMC能夠改進(jìn)跟蹤精度,并提高趨近原點(diǎn)時(shí)系統(tǒng)的收斂速度,定義非奇異快速終端滑模面:

(16)

式中:α,β>0,λ>1;p,q為正奇數(shù),且滿足p>q。

對s求導(dǎo)后得:

(17)

(18)

為了加強(qiáng)系統(tǒng)對外部擾動的抑制作用,設(shè)計(jì)切換控制項(xiàng)ust:

ust=Bn-1[ksgn(s)]

(19)

式中:sgn(s)表示符號函數(shù);k表示切換增益。在設(shè)計(jì)中令k>0,并且滿足k=ρ+η,其中,η為一正實(shí)數(shù)。通過改變k值能夠削弱抖振且提高抗擾性能,使得系統(tǒng)整個(gè)控制性能有所提高。

(20)

式中:c為常數(shù)。系統(tǒng)總控制律:

u=ueq+ust

(21)

構(gòu)造李雅普諾夫函數(shù)V:

(22)

對V求導(dǎo),得:

(23)

3 系統(tǒng)仿真分析

為了證明本文控制器的有效性,下面進(jìn)行仿真闡述,分別采用SMC、NFTSMC和ANFTSMC 3種方法對PMLSM伺服系統(tǒng)進(jìn)行仿真,PMLSM的主要參數(shù):M=16.4 kg,B=8.0 N·s/m,Kf=50.7 N/A,ψf=0.09 Wb,p=3,Rs=2.1 Ω,Ld=Lq=41.4 mH,τ=32 mm。采用控制變量法調(diào)整控制器的參數(shù),最優(yōu)的系統(tǒng)控制參數(shù)如下:SMC參數(shù),k1=2 000,k2=5,c=20;NFTSMC參數(shù),p=7,q=5,β=0.025,α=17,λ=1.4,k=10;ANFTSMC參數(shù),p=7,q=5,β=0.025,α=17,λ=1.4,k=10,c=100 000,η=8。

給定兩種不同的輸入信號,通過仿真對比說明本文控制器能滿足一定的要求。

1)輸入幅值為1 mm的階躍信號,在1 s時(shí)加入100 N·m的恒定負(fù)載擾動。

圖2是給定幅值為1 mm的階躍信號下3種控制方法的位置跟蹤曲線。可以看出,ANFTSMC可以快速到達(dá)給定位置,NFTSMC次之,SMC從3種曲線比較來看收斂速度較慢。由局部放大圖可知,SMC的位置跟蹤曲線在給定位置上下進(jìn)行波動,幅度較大,NFTSMC的位置跟蹤曲線在給定位置上下波動幅度比SMC小,ANFTSMC基本可以回到給定位置1 mm處,曲線波動幅度最小。通過對比可得,ANFTSMC能夠提高位置跟蹤精度,提高收斂速度。

圖2 階躍信號位置跟蹤曲線

在1 s突加100 N·m負(fù)載之后,局部放大圖如圖3所示。突加負(fù)載以后,SANFTSMC仍然在給定曲線附近波動,系統(tǒng)跟蹤效果最好。NFTSMC則在0.99 mm～0.995 mm之間波動,跟蹤精度不如ANFTSMC。SMC則在0.985 mm附近波動,跟蹤精度比較差。由此說明,采用ANFTSMC方法的系統(tǒng)在突加100 N·m負(fù)載后跟蹤效果仍然較好。

圖3 階躍信號突加負(fù)載位置跟蹤曲線

3種控制方法的PMLSM伺服系統(tǒng)位置誤差曲線如圖4所示。由圖4可看出,ANFTSMC優(yōu)于SMC、NFTSMC,在0.05 s時(shí)系統(tǒng)已經(jīng)達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài);NFTSMC需要約0.1 s達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài);SMC則最慢,需要約0.25 s達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)。ANFTSMC的收斂速度最快,最先達(dá)到穩(wěn)定,響應(yīng)速度有明顯提高。

圖4 階躍信號位置誤差曲線

2)給定幅值為0.2 m的正弦信號,且在1 s突加100 N·m的恒定負(fù)載擾動。

圖5是給定正弦信號下3種控制方法的PMLSM伺服系統(tǒng)位置跟蹤曲線。由圖5可知,SMC的跟蹤效果不及NFTSMC與ANFTSMC,但是加入自適應(yīng)以后,對系統(tǒng)不確定性未知上界進(jìn)行實(shí)時(shí)估計(jì),ANFTSMC的跟蹤效果進(jìn)一步加強(qiáng),同時(shí)提高了控制精度,使系統(tǒng)的控制性能得到改進(jìn)。圖6是3種控制方法的位置誤差曲線。由圖6可知,ANFTSMC在約0.1 s達(dá)到穩(wěn)定,NFTSMC在0.14 s左右達(dá)到穩(wěn)定,SMC則需要約0.3 s才到達(dá)穩(wěn)定,ANFTSMC的響應(yīng)速度在三者之間最好。因此再次證明采用ANFTSMC方法可以提高系統(tǒng)收斂速度。

圖5 正弦信號位置跟蹤曲線

圖6 正弦信號位置誤差曲線

在1 s突加100 N·m負(fù)載以后,3種控制方法的位置誤差曲線局部放大圖如圖7所示。SMC很難回到給定位置,NFTSMC的曲線在-5 μm附近波動,正弦信號位置誤差曲線優(yōu)于SMC。而ANFTSMC在0.3 μm～0.4 μm附近波動,在三者比較中效果最好,ANFTSMC的穩(wěn)定性更好。這說明ANFTSMC的跟蹤精度和魯棒性都有所提高。

圖7 正弦信號突加負(fù)載位置跟蹤曲線

圖8和圖9分別是NFTSMC和ANFTSMC控制方法下,給定幅值為0.2 m的正弦信號伺服系統(tǒng)位置誤差曲線局部放大圖。由圖8、圖9可知,在到達(dá)穩(wěn)態(tài)后,NFTSMC系統(tǒng)跟蹤誤差始終在4 μm左右,而ANFTSMC系統(tǒng)跟蹤誤差始終在2 μm左右,抖振現(xiàn)象明顯得到改善,加入自適應(yīng)律可在線估計(jì)系統(tǒng)不確定性參數(shù)的上界。

圖8 NFTSMC位置誤差曲線

圖9 ANFTSMC位置誤差曲線

4 結(jié) 語

針對PMLSM采用傳統(tǒng)SMC進(jìn)行位置控制時(shí),存在收斂時(shí)間慢、抗擾性差、位置跟蹤精度低等問題,本文提出了ANFTSMC方法,在傳統(tǒng)SMC上加入非奇異快速終端項(xiàng),系統(tǒng)不僅能夠在有限時(shí)間內(nèi)收斂,避免了奇異性,而且提高了系統(tǒng)的控制性能。為進(jìn)一步增強(qiáng)系統(tǒng)的魯棒性和跟蹤精度,在NFTSMC的基礎(chǔ)上加入自適應(yīng)律,用以估計(jì)系統(tǒng)所受不確定性的上界。仿真結(jié)果驗(yàn)證了本文控制方法的有效性。