寧夏銀川一中(750000) 潘長(zhǎng)江

數(shù)列是高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽的必考內(nèi)容,考題通常以遞推公式的形式出現(xiàn),考查數(shù)列的通項(xiàng)、前n項(xiàng)和及涉及到的數(shù)列不等式等問題,體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化與化歸的數(shù)學(xué)思想方法,落實(shí)直觀想象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng). 解題的關(guān)鍵是如何將遞推關(guān)系轉(zhuǎn)化為通項(xiàng),本文通過典型示例歸納總結(jié)這類問題的求解策略.

1. 次數(shù)不同,兩邊取對(duì)數(shù)

例1 (2021 浙江金華高中競(jìng)賽) 設(shè)a1= 1,a2= 2,

分析題目所給的遞推式不含項(xiàng)數(shù)n,且an,an-1,an-2的次數(shù)不同,通過取對(duì)數(shù)將其轉(zhuǎn)化為相同次數(shù)的項(xiàng),然后求解.

解析由已知an >0,所以

點(diǎn)評(píng)解答本題的關(guān)鍵是給已知遞推式取對(duì)數(shù)轉(zhuǎn)化為再通過換元轉(zhuǎn)化為線性遞推關(guān)系從而求得bn,然后再求an. 一般地,當(dāng)所給遞推關(guān)系不含項(xiàng)數(shù)n,項(xiàng)之間是通過乘除、乘方、開方(不含加減)運(yùn)算連接,且各項(xiàng)的次數(shù)不同,可采用兩邊取對(duì)數(shù),將項(xiàng)的次數(shù)化相同,再利用線性遞推式來求解.

2. 隔項(xiàng)遞推,分奇偶討論

例2(2021 全國高中競(jìng)賽) 設(shè)數(shù)列{an}的首項(xiàng)

分析本例所給的遞推關(guān)系是隔項(xiàng)遞推,是奇偶項(xiàng)數(shù)列,因而對(duì)項(xiàng)數(shù)n分奇、偶項(xiàng)討論.

解析當(dāng)n為偶數(shù)時(shí),令n=2m(m ∈N?),則當(dāng)n為奇數(shù)時(shí),令n=2m-1(m ∈N?),則

點(diǎn)評(píng)本題解答的關(guān)鍵是令n= 2m(m ∈N?),n=2m -1(m ∈N?), 分別將奇、偶項(xiàng)數(shù)列轉(zhuǎn)化為a2m+1=再利用待定系數(shù)法構(gòu)造成等比數(shù)列. 一般地,隔項(xiàng)遞推關(guān)系分奇、偶項(xiàng)討論,通過迭代運(yùn)算分別轉(zhuǎn)化為奇數(shù)項(xiàng)與偶數(shù)項(xiàng)各自所成的數(shù)列,然后求解.

3. 線性遞推,待定系數(shù)法

例3 (2021 全國競(jìng)賽)數(shù)列{an}滿足a1= 0,a2= 1,

分析題目所給的遞推關(guān)系是關(guān)于an+1,an,an-1,連續(xù)三項(xiàng)的線性遞推式,可以采用待定系數(shù)法求解.

點(diǎn)評(píng)對(duì)形如an+1=pan -qan-1的遞推數(shù)列,可設(shè)an+1-λan=μ(an-λan-1), 則有于是λ,μ為方程x2-px+q=0 的兩根. 當(dāng)?>0 時(shí),λ /=μ,則an=c1λn+c2μn,再利用a1,a2求出c1,c2代入an;當(dāng)?= 0 時(shí),λ=μ,則an= (c1+c2n)λn-1,再利用a1,a2求出c1,c2代入an;當(dāng)?<0 時(shí),考慮{an}是周期數(shù)列.

4. 混合遞推,兩邊同除法

例4(2021 浙 江 高 中 競(jìng) 賽) 設(shè)a0,a1,··· ,an滿 足則數(shù)列{an}的通項(xiàng)an=____.

分析題目所給的遞推關(guān)系中含有混合項(xiàng)anan-2與an-1an-2,可以給等式兩邊同除以轉(zhuǎn)化為線性遞推關(guān)系,然后求解.檢驗(yàn)得知: 當(dāng)n=1 時(shí),也成立.

點(diǎn)評(píng)本題解答的關(guān)鍵是給遞推關(guān)系式兩邊同時(shí)除以混合項(xiàng)最終將其轉(zhuǎn)化為線性遞推關(guān)系bn-2 = 3bn-1,再用待定系數(shù)法確定bn,最后求出an. 一般地,如遇遞推式中含有混合項(xiàng),采用兩邊同除的方法,再結(jié)合換元最終轉(zhuǎn)化為線性遞推關(guān)系求解.

5.“六”型分式,兩邊取倒數(shù)

例5 (2016 內(nèi)蒙古高中競(jìng)賽) 已知數(shù)列{an}滿足求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.

分析觀察題目所給的遞推關(guān)系式,其結(jié)構(gòu)類似于“六”型分式,只要稍做變形,再取倒數(shù),便可求解.

解析將遞推關(guān)系變形得,

兩邊取倒數(shù)得,

點(diǎn)評(píng)對(duì)于結(jié)構(gòu)類似于“六”型分式的遞推關(guān)系,化歸為“六”型分式結(jié)構(gòu),通過兩邊取倒數(shù),然后變形可轉(zhuǎn)化為熟悉的遞推關(guān)系,再利用熟知的方法策略轉(zhuǎn)化求得數(shù)列的通項(xiàng).

6. 對(duì)稱結(jié)構(gòu),構(gòu)造常數(shù)列

例6(2021 全國高中競(jìng)賽) 已知正項(xiàng)數(shù)列{an}滿足記數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,求的值.

分析題目所給的遞推式結(jié)構(gòu)具有對(duì)稱性. 通過觀察發(fā)現(xiàn),只要適當(dāng)?shù)淖冃?可構(gòu)造常數(shù)列.

解析由遞推關(guān)系得,

點(diǎn)評(píng)構(gòu)造常數(shù)列是數(shù)列求通項(xiàng)的一種方法,一般形式為an+1=an(n ∈N?). 結(jié)合所給數(shù)列遞推公式的特征,如果所給的遞推式結(jié)構(gòu)對(duì)稱, 做適當(dāng)?shù)淖冃慰赊D(zhuǎn)化為常數(shù)列,進(jìn)而求出通項(xiàng)公式解決問題.

7. 對(duì)n 倍關(guān)系式,構(gòu)造同型表達(dá)式

例7(2021 全國高中競(jìng)賽)已知數(shù)列{an}滿足a1=1,且nan+1=(n+2)an+1,則an=____.

分析題目所給的遞推關(guān)系nan+1= (n+2)an+1中,項(xiàng)an,an+1含有項(xiàng)數(shù)n的倍數(shù)關(guān)系,只要給兩邊同除以n(n+1)(n+2),轉(zhuǎn)化為同型式.

解析將等式nan+1=(n+2)an+1 的兩邊同除以n(n+1)(n+2)得,

點(diǎn)評(píng)本例解答的關(guān)鍵是將遞推關(guān)系nan+1=(n+2)an+1,轉(zhuǎn)化為同型式

一般地, 數(shù)列遞推式中如果出現(xiàn)數(shù)列項(xiàng)an,an+1的n倍關(guān)系,通過變形轉(zhuǎn)化為同型式,再利用累加法或累乘法等求出通項(xiàng).

由此可見,數(shù)學(xué)競(jìng)賽中遞推數(shù)列問題,通常是通過化歸與轉(zhuǎn)化,最終化為等差數(shù)列、等比數(shù)列、簡(jiǎn)單的線性遞推關(guān)系,只需用通項(xiàng)公式法、累加法、累乘法、迭代法、待定系數(shù)法求解. 因此,在平時(shí)的學(xué)習(xí)中要注重基礎(chǔ),才能發(fā)展能力,從而提升數(shù)學(xué)素養(yǎng).