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        三直線斜率之商為定值的本質(zhì)與推廣*

        2023-10-23 22:01:19廣東省東莞市第四高級中學523220謝忠忠
        中學數(shù)學研究(廣東) 2023年17期
        關鍵詞:拋物線

        廣東省東莞市第四高級中學(523220) 謝忠忠

        一、試題呈現(xiàn)

        題目(2024 屆廣東省四高三第一次聯(lián)考)已知過原點O的直線交橢圓E:于A,B兩點,R(2,0),?ABR面積的最大值為

        (1)求橢圓E的方程;

        (2)連AR交橢圓于另一個交點C,又分別記PA,PR,PC的斜率為k1,k2,k3,求的值.

        答案: (1)E:

        二、推廣探究

        結論1已知過原點O的直線交橢圓1(a > b >0)于A,B兩點,R(n,0),連AR交橢圓于另一個交點C,取點分別記PA,PR,PC的斜率為k1,k2,k3,則為定值

        證明設A(x1,y1),C(x2,y2),AC的方程為x=ty+n,將其與橢圓方程聯(lián)立得到

        將結論1 中的橢圓換成雙曲線與拋物線,可以得到相應的結論2 和3.

        結論2已知過原點O的直線交雙曲線E:1(a >0,b >0)于A,B兩點,R(n,0),連AR交雙曲線于另一個交點C, 取點分別記PA,PR,PC的斜率為k1,k2,k3,則為定值

        結論3已知過原點O的直線交拋物線E:y2=2px(p>0)于A,B兩點,R(n,0),連AR交拋物線于另一個交點C,取點P(-n,m)(m /= 0),分別記PA,PR,PC的斜率為k1,k2,k3,則為定值

        結論2 和3 的證明與結論1 類似,不再贅述.

        進一步,可否將過原點的直線推廣為過任意一點的直線呢? 通過GeoGebra 驗證發(fā)現(xiàn)結論也成立,故將其進行推廣得到:

        結論4已知過點Q(p,q)的直線交橢圓E:1(a > b >0)于A,B兩點,R(n,0),連AR交橢圓于另一個交點C,取點分別記PA,PR,PC的斜率為k1,k2,k3,則為定值

        結論5已知過點Q(p,q) 的直線交雙曲線E:于A,B兩點,R(n,0), 連AR交雙曲線于另一個交點C,取點,m)(m /= 0),分別記PA,PR,PC的斜率為k1,k2,k3,則為定值

        結論6已知過點Q(p,q) 的直線交拋物線E:y2=2px(p>0)于A,B兩點,R(n,0),連AR交拋物線于另一個交點C,取點P(-n,m)(m /= 0),分別記PA,PR,PC的斜率為k1,k2,k3,則為定值

        結論4,5 和6 的證明與結論1 類似,不再贅述.

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