何欣宇,安 逸

(1.南京工業(yè)大學機械與動力工程學院,江蘇 南京 211816) (2.南京工業(yè)大學數(shù)理科學學院,江蘇 南京 211816)

泡沫鋁為功能、結(jié)構(gòu)一體化材料,具有質(zhì)量輕、比剛度高、吸聲隔音等特點,在軌道交通、船舶運輸、航空航天等領(lǐng)域有著廣闊的應用前景[1]。為了提高泡沫鋁的力學性能,制作時常采用夾芯結(jié)構(gòu),但夾芯結(jié)構(gòu)產(chǎn)品在生產(chǎn)、運輸和使用時難免出現(xiàn)損傷,存在安全隱患,因此需要對其健康狀態(tài)進行監(jiān)測。傳統(tǒng)的無損檢測方法如超聲檢測、射線檢測、紅外熱成像、渦流檢測等,均為局部損傷診斷方法[2],且檢測周期長、成本高,難以實現(xiàn)在線監(jiān)測、全局監(jiān)測和全天候監(jiān)測。運用應變模態(tài)對泡沫鋁夾層梁進行損傷識別研究能很好地解決這類問題。李德葆等[3]對應變模態(tài)基本理論進行了詳盡論述,管德清等[4-9]從不同的角度、不同的側(cè)面對該方法進行了討論,做了大量的研究工作,運用應變模態(tài)結(jié)合灰色相關(guān)性理論、小波變換等方法識別了不同結(jié)構(gòu)的損傷信息,并改進了模態(tài)試驗技術(shù)以獲取更為準確的應變模態(tài)參數(shù)。本文建立了基于修正Timoshenko梁理論的泡沫鋁夾層梁的彎曲振動解析式,提出了歸一化應變模態(tài)振型差指標和增強應變模態(tài)振型差指標,總結(jié)了泡沫鋁夾層梁損傷引起的頻率、振型的變化規(guī)律。

1 應變模態(tài)分析理論

基于位移的結(jié)構(gòu)自由振動微分方程可以表述為:

(1)

式中:M為質(zhì)量矩陣;C為阻尼矩陣;K為剛度矩陣;y(t)為位移向量;t為時間。

設(shè)結(jié)構(gòu)的位移、應變關(guān)系為:

y(t)=Bε(t)

(2)

式中:B為位移、應變的轉(zhuǎn)換矩陣;ε(t)為應變向量。將式(2)代入式(1),方程兩端同時左乘BT,整理得:

(3)

式中:Mε、Cε、Kε分別為應變模態(tài)的質(zhì)量矩陣、阻尼矩陣和剛度矩陣。通過式(3)求解方程的特征值和特征向量,獲得系統(tǒng)的固有頻率及應變模態(tài)振型,記位移模態(tài)振型為φ,應變模態(tài)振型為ψ,令ε(t)=ψq,q為振型反應向量,則式(3)可以改寫為:

(4)

將式(4)兩端同時左乘ψT,將ψ=B-1φ代入式(4),整理得:

(5)

(6)

式中:Mr、Cr、Kr分別為主質(zhì)量矩陣、主阻尼矩陣和主剛度矩陣。

可以發(fā)現(xiàn),基于應變和基于位移建立的系統(tǒng)振動方程具有同一主質(zhì)量陣、主阻尼陣以及主剛度陣,當結(jié)構(gòu)出現(xiàn)損傷時,質(zhì)量基本不變,而局部損傷部位的剛度會減小,因此結(jié)構(gòu)的固有頻率及振型在損傷前后會發(fā)生改變,可以通過求解結(jié)構(gòu)動力學逆問題獲取損傷信息。

2 泡沫鋁夾層梁模態(tài)參數(shù)解析解

梁的彎曲振動理論發(fā)展先后經(jīng)歷了Euler梁、Rayleigh梁、剪切梁、Timoshenko梁幾種梁理論,梁單元理論正在逐漸完善并接近現(xiàn)實情況。本文在Timoshenko梁理論的基礎(chǔ)上進一步考慮由剪切變形引起的轉(zhuǎn)動慣量對梁體振動的影響,可以得到修正的Timoshenko梁理論。參閱文獻[10]建立泡沫鋁夾層梁的微分振動方程。

圖1 Timoshenko梁微元受力圖

根據(jù)材料力學,可知剪切角表達式為:

γ=Q/(μAG)

(7)

(8)

根據(jù)梁體微元受力圖列寫y方向的力平衡方程以及截面形心的力矩平衡方程為:

(10)

式中:q(x,t)為梁所受的荷載函數(shù)。

(11)

(12)

(13)

(14)

將式(13)代入式(14),整理得:

(15)

由式(15)可以發(fā)現(xiàn),修正后的Timoshenko梁的微分振動方程比修正前少了一個剪切變形和轉(zhuǎn)動慣量耦合項,這是由于剪切變形引起的轉(zhuǎn)動慣量與該項互相抵消導致。

設(shè)n(t)=esin(ωt+η)+fcos(ωt+η),其中e、f為通解函數(shù)的待定常數(shù),ω為圓頻率,η為相位,則y=φ(x)n(t),φ(x)為模態(tài)振型。采用分離變量法求解式(15),由于模態(tài)分析是在自由振動情形下進行的,令q(x,t)=0,因此可以得到:

(17)

φ(x)=asin(αx)+bcos(αx)+csinh(βx)+dcosh(βx)

(18)

(19)

將h2、y=φ(x)n(t)以及式(18)代入式(19)可以得到梁截面的轉(zhuǎn)角振型函數(shù)Θ(x):

(20)

Γ(x)=(U-α)acos(αx)-(U-α)bsin(αx)+(V-β)ccosh(βx)+(V-β)dsinh(βx)

(21)

(22)

(23)

將前文中的h2、p2代入U、V,可得Uα+Vβ=α2+β2,故b=0,d=0,又因為βl為正值,則sinh(βl)只能為正值。由式(23)可以解出c=0,sin(αl)=0。故α可以表示為:

(24)

n為sin(αl)根的個數(shù),對應梁固有頻率和振型函數(shù)的階數(shù),通過α可以解得ωn、φn(x)和ψn(x)為:

(25)

式中:ωn、φn(x)、ψn(x)分別為第n階固有頻率、位移模態(tài)振型和應變模態(tài)振型;h1為梁高。將式(25)應用到泡沫鋁夾層梁中,記泡沫鋁夾層梁上、下面板的厚度為tfp,彈性模量和剪切模量分別為Efp、Gfp;芯子的厚度為tc,彈性模量和剪切模量分別為Ec、Gc。文獻[11]指出,夾層梁的等效抗剪剛度(GA)eq和等效抗彎剛度(EI)eq為:

(26)

(27)

式(26)、(27)分別除以矩形梁的截面積和梁截面對中性軸的慣性矩得到泡沫鋁夾層梁的等效剪切模量Geq和等效彈性模量Eeq:

(28)

(29)

將式(28)、(29)代入式(25),可以得到式(30),式(31)為夾層梁的密度公式,通過式(30)、(31)計算泡沫鋁夾層梁的前4階固有頻率的解析解,結(jié)果見表1。取梁l=0.54 mm,b=0.04 mm,tfp=0.003 m,tc=0.018 m,面板材料為工業(yè)純鋁,彈性模量Efp=72 GPa,剪切模量Gfp=26.7 GPa,泊松比υfp=0.35,密度ρfp=2 700 kg/m3;芯子材料為閉孔泡沫鋁,彈性模量Ec=206.4 MPa,剪切模量Gc=80 MPa,泊松比υc=0.29,密度為ρc=540 kg/m3。

表1 前四階固有頻率解析解

(30)

(31)

3 泡沫鋁夾層梁損傷識別數(shù)值模擬

本文采用和閉孔泡沫鋁相似的十四面體模型進行建模,但在求解時顯示計算機內(nèi)存不足,因此根據(jù)泡沫鋁夾層梁的結(jié)構(gòu)特點,做一些必要的簡化。下文將夾層梁模型修改為矩形實心梁。

為探討泡沫鋁夾層梁損傷位置、損傷程度、損傷數(shù)量和模態(tài)參數(shù)之間的規(guī)律,仿真將梁離散為100個單元,在夾層梁芯子的第35、65單元設(shè)置損傷,各工況參數(shù)見表2。

表2 模型損傷工況

采用折減單元抗彎剛度的方法模擬損傷,以兩端簡支邊界條件為例,提取各工況的前4階固有頻率,見表3。

表3 各工況前4階固有頻率數(shù)值解

表3中δ1為健康梁固有頻率解析解和數(shù)值解的誤差。從前四階固有頻率的誤差可見,本次仿真的結(jié)果是有效的。誤差主要來源于夾層梁等效彈性模量、等效剪切模量的理論模型,以及軟件中Timoshenko梁理論和文中修正Timoshenko梁理論之間相差了一個剪切變形和轉(zhuǎn)動慣量耦合項,故解析解偏小,且誤差隨著模態(tài)階數(shù)的增加而增加。δ2到δ6分別為工況2到工況6與健康梁固有頻率的相對變化率?？梢园l(fā)現(xiàn),總體來講階數(shù)越高頻率的相對變化率越大,但第4階固有頻率變化率比前3階都要小,所以有聯(lián)合多階頻率識別損傷信息的必要。損傷量越大,通常頻率的變化率也越大,但頻率對泡沫鋁夾層梁的微損傷不怎么敏感,因此固有頻率變化率僅能識別泡沫鋁夾層梁的普通損傷,而識別微損傷及其損傷位置則需要借助振型。

ANSYS Workbench在獲取某一單元的振型值時需要定義路徑導出數(shù)據(jù),在實際測試中,應變片通常粘貼于梁的上表面,因此將路徑定義于泡沫鋁夾層梁上表面縱向?qū)ΨQ軸的位置。通過導出的振型數(shù)據(jù)繪制點線圖,位移模態(tài)振型如圖2所示。

圖2 各工況前3階位移模態(tài)

泡沫鋁夾層梁的位移模態(tài)振型幅值為59.168,由于損傷數(shù)值太小,因此被幅值淹沒了?？梢?位移模態(tài)振型對微損傷也不敏感。為了放大損傷信息,提取了泡沫鋁夾層梁的應變模態(tài)振型,如圖3所示。圖3中應變模態(tài)振型的幅值為5.055 7E-03,可以發(fā)現(xiàn),應變模態(tài)振型對損傷識別的敏感度較位移模態(tài)振型要好,但同樣不夠顯著。下文通過損傷梁和健康梁的應變模態(tài)振型相減來放大損傷信息,提高識別效率。

圖3 第35單元損傷后的第1階應變模態(tài)曲線

應變模態(tài)振型差分為單損傷和雙損傷兩類情形,如圖4、圖5所示。從圖中可以發(fā)現(xiàn),健康單元受到損傷單元的影響,應變模態(tài)振型差出現(xiàn)了明顯的波動,而且隨模態(tài)階次和損傷程度的增加,影響也隨之增加。從單損傷工況的第1階應變模態(tài)振型可以發(fā)現(xiàn),工況2中損傷量為4%的第35單元的應變模態(tài)振型差為1.73E-05,工況3中損傷量為12%的第35單元的應變模態(tài)振型差為5.45E-05,約是損傷量為4%的第35單元的應變模態(tài)振型差的3倍。另外,工況4中損傷量為4%的第65單元的應變模態(tài)振型差為1.76E-05,工況5中損傷量為12%的第65單元的應變模態(tài)差為5.52E-05,可以看出,第65單元的損傷識別敏感度要優(yōu)于第35單元。從雙損傷的前3階應變模態(tài)振型差可以發(fā)現(xiàn),單損傷數(shù)據(jù)疊加之后即為雙損傷的應變模態(tài)振型差,其中,損傷量為12%的第65單元相鄰的幾個單元的應變模態(tài)振型差是不容忽視的,這些健康單元的振型差相比損傷量為4%的第35單元的振型差還大,影響了損傷識別的精度。

圖4 單損傷工況的前3階應變模態(tài)差曲線

圖5 雙損傷工況的前3階應變模態(tài)差曲線

在某些情況下,有些階數(shù)的模態(tài)數(shù)據(jù)對損傷并不敏感,為了綜合多階模態(tài)數(shù)據(jù)進行損傷識別,提出歸一化應變模態(tài)振型差指標,記為ΨNΔ(i)(圖6)。為了更加直觀地反映損傷位置信息,在損傷數(shù)據(jù)中引入閾值,建立增強應變模態(tài)振型差指標,記為ΨENΔ(i)(圖7)。ΨNΔ(i)、ΨENΔ(i)可以表示為:

圖6 雙損傷工況歸一化應變模態(tài)指標

圖7 雙損傷工況增強應變模態(tài)指標

ΨENΔ(i)=u(ΨNΔ(i)-ξ)

(32)

式中:(i)、Ψdn(i)分別表示泡沫鋁夾層梁第n階的第i個損傷單元和未損傷單元的應變模態(tài)振型;u(x)為單位階躍函數(shù);ξ為損傷閾值。本文n取3,ξ取35%。

從圖6可以發(fā)現(xiàn),梁的189 mm和351 mm鄰近區(qū)域分別對應第35單元和第65單元,第35單元歸一化應變模態(tài)振型差對微損傷的識別效果良好,指標值為37.25%,約為第65單元歸一化應變模態(tài)振型差的三分之一。從圖7可以看出,增強應變模態(tài)差指標,在第65單元附近判定的損傷單元較多。通常情況下,損傷就在這些相鄰單元的中間位置,通過引入閾值可以將因損傷導致梁的健康單元中產(chǎn)生的錯誤信息剔除,便于計算機程序識別。

4 結(jié)束語

采用修正Timoshenko梁理論計算泡沫鋁夾層梁固有頻率,與有限元數(shù)值解基本吻合,驗證了夾層梁等效彈性模量、等效剪切模量理論應用到泡沫鋁夾層梁的可行性,本文中的彎曲振動理論除了可應用于泡沫鋁夾層梁,還可以推廣至其他夾層梁當中。固有頻率和位移模態(tài)振型對泡沫鋁夾層梁的微損傷識別不夠敏感。通常,泡沫鋁夾層梁損傷單元的應變模態(tài)振型差會隨著損傷量以及模態(tài)階數(shù)的增加而增加,但某些階數(shù)的模態(tài)對損傷并不敏感。歸一化應變模態(tài)振型差指標能夠綜合多階模態(tài)信息,有利于損傷識別,增強應變模態(tài)指標具有一定的抗噪功能,對實驗模態(tài)分析和運行模態(tài)分析能起到一定的指導作用。兩項指標為泡沫鋁夾層結(jié)構(gòu)在線監(jiān)測、全天候監(jiān)測擴充了理論依據(jù),并提高了損傷識別的效率和精度。