樂意君

(新碶中學,浙江 寧波 315899)

作業(yè)變革是課程改革的重要組成部分,作業(yè)設計是實現“教—學—評”一致性的重要抓手.長期以來,學校更加關注教師的教學能力、命題能力,而教師的作業(yè)設計能力是相對被忽視的[1].隨著“雙減”“作業(yè)管理”等文件的出臺,如何提高作業(yè)設計質量,充分發(fā)揮數學作業(yè)的育人價值,值得每一位教師深思.

眾所周知,教師的教學觀念決定其教學行為.因此,重構作業(yè)觀念是提高教師作業(yè)設計水平的前提.教師的常見作業(yè)觀念有凱洛夫作業(yè)觀和消極性作業(yè)觀.部分教師受升學率的影響,應試思維固化,布置的數學作業(yè)往往“考什么,做什么”.部分教師認為教師的主要任務是批改作業(yè)和講評作業(yè),作業(yè)可以用現成的教輔資料,沒必要把時間浪費在作業(yè)設計上.事實上,不同學生的學情和數學需求都不同.因此,教師需要有針對性地根據學生的特點設計個性化作業(yè).只有這樣,教師才能更好地以評促教,改進教學,促使學生的數學素養(yǎng)得以提升.教師的作業(yè)觀念既要“除弊”,更要“革新”.課外作業(yè)絕不是課堂教學的延長或附庸,而是擁有其獨特的意義與價值[2].因此,作業(yè)目標應與素養(yǎng)目標相結合,教師應從關注“知識”上升到關注學生,確立以學生為中心的作業(yè)觀.

著名發(fā)展心理學家加德納提出了“多元智能理論”,打破了傳統(tǒng)智力理論的假設,明確提出“人類存在多種不同的思維方式”.這提示我們在安排教學活動時要兼顧學生各領域的學習內容,綜合運用多元化的開放式教學方法,讓每一名學生的潛能都能獲得充分發(fā)展的機會,數學作業(yè)亦是如此.教師可以設計分層作業(yè)、探究類作業(yè)、編題類作業(yè)、項目化作業(yè),充分關注不同學生的需求和個體能力差異,多學科融合,實現在潛移默化中提升素養(yǎng).

1 設計分層作業(yè),滿足不同學生的學習需求

依據數學學習能力、態(tài)度、興趣、成績等因素,筆者將全班學生分為4個小組:將位于班級前25%的學生組成的小組稱為A組(思維活躍,有較強的鉆研精神),將第二個25%的學生組成的小組稱為B組(基礎扎實,但靈活度有待提高),將第三個25%的學生組成的小組稱為C組(有學好數學的愿望,但對數學有畏難情緒),將后25%的學生組成的小組稱為D組(基礎薄弱,對學好數學沒信心).平時,筆者用同知異構、同題異構的方式為這4組學生設計作業(yè),滿足不同學生的學習需求,讓A組學生的數學特長更加突出,讓B組學生的數學思維更加靈活,讓C組學生學習數學的勁頭更足,讓D組學生看到學好數學的希望.

案例1不同情境下的多層次作業(yè)的設計.

作業(yè)示例1請選擇下面問題之一作答,也可多選作答.

問題1(基礎作業(yè),針對D組學生)解方程:x2-6x+8=0．

問題2(基礎作業(yè),針對C組學生)三角形兩邊長分別為2和4,第三邊是方程x2-6x+8=0的一個解,則這個三角形的周長是______．

問題3(提高作業(yè),針對B組學生)規(guī)定:如果關于x的一元二次方程ax2+bx+c=0有兩個實數根,且其中一個根為另一個根的2倍,則稱這樣的方程為“2倍根方程”．已知關于x的一元二次方程(x-2)(x+k)=0是“倍根方程”,則k的值為______．

問題4(拓展作業(yè),針對A組學生)已知實數x滿足2(x2-x)2-8(x2-x)-24=0,則x2-x+1的值為______．

設計意圖要求學生從自身學習需求出發(fā),自主選擇其中的一組或者多組完成.這4道題雖隱性分層,但均聚焦于同一作業(yè)目標:會用因式分解法解一元二次方程.問題1和問題2屬于基礎題,問題3和問題4屬于能力提升題.問題1直接求解一元二次方程,問題2與三角形的知識結合,關鍵還是求出一元二次方程的解,再利用三角形三邊關系求出第三邊長.問題3是新定義題,讓學生在理解題意的基礎上,分類討論得到k的值,體現知識的遷移能力.問題4還要會用一元二次方程根的判別式判定一元二次方程的根的情況.先把x2-x看成一個整體,借助換元法用另一字母代替,解出這個代數式的值,當x2-x=-2時,用判別式判定x無解(這是學生容易忽視的解題環(huán)節(jié));當x2-x=6時,x有解,從而求出x2-x+1的值.通過此題,培養(yǎng)學生思維的嚴密性.

當然,還可以圍繞同一情境設計不同層級的問題供學生選擇.

案例2同一情境下的多層次作業(yè)的設計.

作業(yè)示例2請選擇下面問題之一作答,也可多選作答.

問題1(基礎作業(yè),針對D組學生)如圖1,在正方形ABCD中,E是對角線BD上的一點,AE與CE有什么數量關系?

圖1

問題2(基礎作業(yè),針對C組學生)如圖1,在正方形ABCD中,E是對角線BD所在直線上的一點,AE與CE有什么數量關系?

問題3(提高作業(yè),針對B組學生)如圖1,在正方形ABCD中,E是對角線BD上的一動點,求點E運動到何處時,正方形ABCD內部有兩個等腰三角形?

問題4[3](拓展作業(yè),針對A組學生)在正方形ABCD中,E是正方形內部的一點,聯(lián)結AE,BE,CE,DE,能否把正方形分割成4個等腰三角形?若能,點E共有幾個;若不能,請說明理由.

設計意圖4道題雖然從難度上進行了分層,但都聚焦于同一個學習主題——正方形的性質,解決時都需要先利用正方形的軸對稱性.前2道題只需用到正方形的軸對稱性或者先用正方形的性質找到等量,再利用“SAS”證明全等三角形,從而得到兩條線段相等;后2道題設置為開放性問題,在同一情境下,讓學生經歷畫圖、觀察、猜想、驗證等數學活動,在圖1的基礎上生長思維,從變中找不變,發(fā)現“點E一定在正方形的對稱軸上”這一不變的規(guī)律.

同知異構、同題異構是為各組學生提供符合各自最近發(fā)展區(qū)的學習載體;隱性分層則是為了最大限度地保護學生的學習自尊與學習自信[4].設計這樣的作業(yè),旨在讓不同的學生在數學中得到不同的發(fā)展.

2 設計探究性作業(yè),提升不同學生的思維品質

學生在思維活動中提升素養(yǎng),在探究活動中孕育高階思維.設計探究性作業(yè)時,教師可以圍繞一個情境設計開放性問題,引導學生進行發(fā)散性思維;也可以針對一個問題設計多維度的探究,引導學生自主地探究和深入地思考,以此提升學生的思維品質.

案例3“一元二次方程的定義及解法”單元作業(yè)的第13題設計.

作業(yè)示例3小紅在做作業(yè)時,不小心打翻了墨水瓶,一道解一元二次方程的題目部分被墨跡遮住了,x2+★★=★★,小紅只記得該方程的一個根是x=3．

探究1請你嘗試幫小紅補全這個一元二次方程．

探究2根據補全的一元二次方程,請你嘗試找到方程的另一個解．

探究3(選做)請你求出兩個根的和與積:x1+x2=______,x1x2=______,比較這兩個值與一元二次方程的系數a,b,c之間有什么關系嗎?

設計意圖筆者設置開放性問題,從一元二次方程解的概念出發(fā),逆向探尋滿足方程的另一個解.引導學生采用控制變量法,在x2-bx+c=0中先定b再定c或者(x-3)(mx+n)=0中先定m再定n,滲透從特殊到一般的思想.通過尋找方程的解,讓學生鞏固解方程的方法:直接開平方法、配方法、因式分解法和公式法.探究3為后續(xù)學習第2.4節(jié)“一元二次方程根與系數的關系”做鋪墊.

設計這樣的作業(yè),有助于學生學會自主地探究、學會深入地思考,將自己所學知識和方法遷移應用到不同的問題情境中.答案不唯一、策略多樣的探究性作業(yè)為學困生提供了思考學習的機會,也為學優(yōu)生搭建了拓寬思維的平臺,為學生構建了豐富的學習空間.

3 設計編題類作業(yè),促進不同學生的深度學習

在設計作業(yè)時,教師還可以引導學生以重要知識點、典型例題為出發(fā)點進行編題.編題的過程就是學生對所學知識進行內化和表達的過程,也是他們經歷深度學習的過程.

案例4學習完第1.5節(jié)“三角形全等的判定”后布置編題作業(yè).

作業(yè)示例4請自編一道幾何問題,并嘗試用倍長中線法解決所編的問題,最后談談你的感想.

一名學生編題如下:如圖2,AB=AC,AD=AE,AB⊥AC,AD⊥AE,求證:S△ABE=S△ACD.

圖2

證明取CD的中點F,聯(lián)結AF并延長至點A′,使得A′F=AF,聯(lián)結A′D.由“SAS”證得

△A′DF≌△ACF,

從而

∠A′DF=∠C,A′D=AC.

因為AB=AC,所以

A′D=AB.

因為AB⊥AC,AD⊥AE,所以

∠BAE+∠CAD=180°.

由∠A′DF=∠C,可得

A′D∥AC,

從而

∠A′DA+∠CAD=180°,

于是

∠A′DA=∠BAE.

因為AD=AE,由“SAS”可證得

△A′DA≌△BAE,

故

S△ABE=S△ACD.

該學生分享了編題感悟:編題前,在教師講倍長中線法時,領悟到將中線延長一倍的本質就是利用“SAS”構造全等三角形,從而可得這對全等三角形的對應邊相等、對應角相等.曾經做過的一道題的圖給了靈感,將全等三角形的知識與三角形的面積相結合,便有了此題.

設計意圖在這樣的作業(yè)中,學生能體會到運用中線延長法解決幾何問題的力量.學生的編題感悟是對其學習數學時切身感受的一種交流與展示.

設計編題類作業(yè)還可增加分享環(huán)節(jié),將學生所編的優(yōu)秀題進行展示與交流,讓全班學生共同解題、賞題、評題,進而激發(fā)學生的學習內驅力,發(fā)展其創(chuàng)新能力.還有學生想到了另外的幾種方法:根據“等底等高的兩個三角形面積相等”添加輔助線,通過證明全等三角形可得底邊上的高相等,再結合已知條件“底相等”可得S△ABE=S△ACD;因為有兩條相等的線段,而且它們有一個公共端點,所以可以聯(lián)想到旋轉法,將兩個三角形拼成一個三角形,再根據“等底同高”可得S△ABE=S△ACD.教師提煉:等線段、共端點、想旋轉.在編題者分享題目、其他學生分享其他解法時,教師追問學生是“如何想”的,讓學生在開放的環(huán)境中進行深度學習,培養(yǎng)學生的歸納性思維及發(fā)散性思維,啟發(fā)學生科學地思考問題,進而全面發(fā)展其思維的發(fā)散能力、優(yōu)化能力與創(chuàng)新能力.

4 設計項目化作業(yè),提升不同學生的綜合素養(yǎng)

在作業(yè)設計時,可以適當加入一些與生活密切相關的實踐性項目化作業(yè),引導學生在真實情境中解決問題.讓他們經歷獨立思考、小組合作、動手實踐、記錄過程、匯報成果等思維活動,學會團隊合作,實現資源共享,并嘗試用所學知識去發(fā)現問題、提出問題、分析問題和解決問題,提升綜合素養(yǎng),摒棄“育分”,真正地達成“數學育人”的目標.

案例5“圓的性質”單元作業(yè)的第12題設計.

作業(yè)示例5先獨立思考,再小組合作,共同完成以下作業(yè).

1)某市地鐵施工隊開始隧道挖掘作業(yè),如圖3,圓弧形混凝土管片是構成圓形隧道的重要部件.如圖4,有一圓弧形混凝土管片放置在水平地面上,底部用兩個完全相同的長方體木塊固定,現要估計隧洞開挖面的大小,即外徑OB的大小,你認為需要采集哪些數據就可以估算OB的大小?并說說你的理由.

圖3 圖4

2)剪紙是中國民間的傳統(tǒng)藝術,如圖5所示兩個“囍”字就是從圓形紙片中剪出來的,給人喜慶、優(yōu)美的感受,請你利用圓的軸對稱和旋轉不變性,設計一幅圓形圖案,并將它剪下來展示.

圖5

設計意圖這兩題都屬于實踐性作業(yè),作業(yè)1)設置開放性問題,深度檢測學生對垂徑定理的理解,同時激發(fā)學生深度分析問題和解決問題.

后一題旨在激發(fā)學生學習數學的興趣,提供學生動手實踐的學習機會,從而提升學生用數學眼光觀察、用數學思維思考的能力.

在項目化作業(yè)設計中,既要求學生有合作精神,又需要他們在面對困難時冷靜,還需要他們具備動手操作、數據分析、數學建模、數學運算和跨學科學習(與物理、勞動技術等學科)等能力.此類作業(yè)引導學生以先獨立思考再小組合作的形式,在真實情境中運用各種資源探究并解決實際問題,從純知識學習轉變?yōu)閯邮謱嵺`的跨學科學習,將學習推向縱深,真正實現運用知識解決具體的實際問題.

總之,作業(yè)是評價的載體,作業(yè)評價對學生學習興趣和素養(yǎng)的培育至關重要.在“雙減”背景下,教師要常反思自己的作業(yè)設計,要遵循“教—學—評”一致性原則,根據學生思維發(fā)展和素養(yǎng)提升的需求設計更科學、更高效的個性化數學作業(yè),充分發(fā)揮作業(yè)的育人功能,提升學生的素養(yǎng).