馮亞芳, 李書海

(1.赤峰學院數(shù)學與計算機科學學院,內(nèi)蒙古 赤峰 024000;2.赤峰學院民族數(shù)學教育研究所,內(nèi)蒙古 赤峰 024000)

0 引言

數(shù)學學習離不開解題,學生的解題能力既是所學數(shù)學基礎知識及其體系的綜合表現(xiàn),又是學生數(shù)學基本技能和數(shù)學素養(yǎng)的外在體現(xiàn).高中生已經(jīng)具備基本的數(shù)學閱讀能力,但對于材料閱讀仍然缺乏精準、有效地提取數(shù)學相關知識的能力.因此,在解題時不能很好地理解題目、解決問題.數(shù)學閱讀是課程標準提出的一種重要學習方式,而在高中數(shù)學課堂中,教師對于數(shù)學解題前“理解題目”的教學較為隨意,缺乏系統(tǒng)性和組織性,在一定程度上阻礙了學生數(shù)學學科核心素養(yǎng)的發(fā)展.波利亞在《怎樣解題》中為人們提供了一套系統(tǒng)的解題途徑,解題過程主要包括4個階段:理解題目、擬定方案、執(zhí)行方案、回顧[1].當前,數(shù)學解題及其教學大多關注如何利用波利亞解題思想找到相應的解題思路和方法,卻忽視了“理解題目”這一階段的教育價值.因此,這是一項有待深入探討和研究的課題.

由喻平教授提出的CPFS結(jié)構(gòu)是數(shù)學學習中特有的認知結(jié)構(gòu)[2].它集知識與方法于一體,不僅為培養(yǎng)學生“理解題目”這一步驟提供了理論支撐,而且可以有效提升學生的數(shù)學閱讀能力,發(fā)展學生的數(shù)學思維和關鍵能力.目前,國內(nèi)結(jié)合CPFS結(jié)構(gòu)理論對數(shù)學教育的研究多集中于數(shù)學概念、復習課教學研究以及對數(shù)學問題解決影響的相關性研究.

三角函數(shù)作為高考的必考內(nèi)容之一,三角函數(shù)題情境多變,靈活多樣,對學生的數(shù)學思維能力和數(shù)學素養(yǎng)都提出了更高的要求.而基于CPFS結(jié)構(gòu)理論探討三角函數(shù)解題教學從而提升學生數(shù)學閱讀能力的研究不是很多,通過閱讀相關文獻,受文獻[2-5]的啟發(fā),筆者將基于CPFS結(jié)構(gòu)理論,結(jié)合一道三角函數(shù)高考題來探討波利亞提出的數(shù)學解題前“理解題目”這一階段,以期探索通過“理解題目”來提高學生數(shù)學閱讀能力的有效方法,培養(yǎng)學生的數(shù)學高階思維能力,發(fā)展關鍵能力.

1 CPFS結(jié)構(gòu)理論與解題前的“理解題目”

CPFS結(jié)構(gòu)理論將數(shù)學知識與思想方法有效融合,它是概念域、概念系、命題域、命題系形成的心理結(jié)構(gòu),如圖1所示.CPFS結(jié)構(gòu)理論是一種結(jié)點之間具有邏輯意義、聯(lián)系緊密的結(jié)構(gòu),是“層次網(wǎng)絡”與“激活擴散”的整合[6].它可以幫助學生有效掌握系統(tǒng)完善的數(shù)學知識,進而使得“理解題目”這一階段可以順利進行.

圖1

“理解題目”是波利亞“怎樣解題”表中的第一個階段.這一階段對解題者提出如“已知數(shù)據(jù)是什么?條件是什么?求證什么?”等許多問題,可以幫助學生構(gòu)建審題框架,有效提取相關數(shù)學知識.理解題目是解題的必要前提,而在此階段學生能夠有效提取個體頭腦中原有的相關知識是十分重要的.這一階段其實就是數(shù)學理解的一個過程,理解的程度是由聯(lián)系的數(shù)目和強度來確定的.說一個數(shù)學的概念、方法或事實徹底地理解了,是指它和現(xiàn)有的網(wǎng)絡是由更強的或更多的聯(lián)系聯(lián)結(jié)著[7].

基于此,發(fā)現(xiàn)CPFS結(jié)構(gòu)理論可以更加清晰地認識到“理解題目”中提取的相關知識各部分內(nèi)部之間以及與題目當中的條件、結(jié)論外部之間的聯(lián)系.事實上,“理解題目”的過程也是數(shù)學理解水平層次不斷深化和個體CPFS結(jié)構(gòu)不斷完善的過程,研究者李渺給出數(shù)學學習中個體CPFS結(jié)構(gòu)變化與數(shù)學理解的關系圖,將其整理如圖2所示.

圖2

根據(jù)上述分析,“理解題目”這一階段可以分為兩個層次:第一層次是表層理解,理解題目的文字敘述;第二層次是深層理解,分離主要部分,弄清細節(jié),將文字語言轉(zhuǎn)化為數(shù)學語言.可以看出在“理解題目”的過程中,一方面,如果學生可以從原有的數(shù)學基礎知識出發(fā),逐漸從表層理解過渡到深層理解,那么個體CPFS結(jié)構(gòu)也會相應地發(fā)生變化,并逐漸趨于完善,反之,個體CPFS結(jié)構(gòu)會反過來影響學生審題,進而影響解題;另一方面,如果個體CPFS結(jié)構(gòu)優(yōu)良,那么學生對于題目涉及的相關知識就可以有效、精準提取,進而順利解題,反之,學生對于題目信息涉及的相關知識是缺失、不完整的,就會妨礙解題.

2 個體CPFS結(jié)構(gòu)與數(shù)學閱讀能力

不同的學者對于數(shù)學閱讀能力有不同的看法,胡理華認為數(shù)學閱讀能力主要指:準確理解原文;較快的閱讀速度;提出問題、分析問題和解決問題的能力,并指出數(shù)學閱讀能力可以分為6個水平,分別是:認讀水平、概述水平、辨析水平、串聯(lián)水平、領悟水平、研究水平.這6個水平相互關聯(lián),是一個“螺旋式上升”的過程.同時,這6個不斷進階的水平也與個體CPFS結(jié)構(gòu)發(fā)展的過程相一致,當學生的數(shù)學閱讀能力處于第一、二水平時,相當于表層閱讀,也就是學生在原有認知結(jié)構(gòu)的基礎上形成新的認知結(jié)構(gòu),那么新的個體CPFS結(jié)構(gòu)初步形成;當學生的數(shù)學閱讀能力處于第三、四水平時,相當于深層閱讀的第一層次,也就是學生在初步形成的認知結(jié)構(gòu)的基礎上逐漸完善認知結(jié)構(gòu),那么初步形成的個體CPFS結(jié)構(gòu)得到完善;當學生的數(shù)學閱讀能力處于第五、六水平時,相當于深層閱讀的第二層次,也就是學生在趨于完善的認知結(jié)構(gòu)的基礎上形成最終的認知結(jié)構(gòu),那么新的個體CPFS結(jié)構(gòu)最終形成.

楊紅萍、喻平認為個體CPFS結(jié)構(gòu)與數(shù)學閱讀成績之間有密切聯(lián)系[8].通過閱讀相關文獻,發(fā)現(xiàn)個體CPFS結(jié)構(gòu)完善與否直接影響學生數(shù)學閱讀的效果.學生擁有良好的個體CPFS結(jié)構(gòu),在數(shù)學閱讀時將會取得較好的閱讀效果.而在此過程中學生的閱讀能力水平將不斷從低層次水平向高層次水平過渡,這也有利于提高學生數(shù)學思維的發(fā)展,增強學生學習數(shù)學的自信心.反之,如果學生個體CPFS結(jié)構(gòu)不完善,那么就會取得較差的效果.因此,教師在進行教學時,應當注重培養(yǎng)學生數(shù)學知識與思想方法的體系,使學生形成較為完善的個體CPFS結(jié)構(gòu),進而提高學生的數(shù)學閱讀能力.

3 基于CPFS結(jié)構(gòu)理論下“理解題目”的案例分析

為了更好地理解和體現(xiàn)基于CPFS結(jié)構(gòu)理論來探討“理解題目”這一步驟,筆者以2022年一道三角函數(shù)高考題為例,說明如何基于CPFS結(jié)構(gòu)理論來探討“理解題目”這一步驟,以期引起教師重視這一步驟的教學,從而提升學生的數(shù)學閱讀能力.通過對這個案例詳盡的描述和分析,從中提出通過探索解題前的“理解題目”來提高學生數(shù)學閱讀能力的方法,以期幫助學生更好地解題.

例1記△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知sinCsin(A-B)=sinBsin(C-A).

1)若A=2B,求C;

2)證明:2a2=b2+c2.

(2022年全國數(shù)學高考乙卷文科試題第17題)

4.1 基于相關提示語,表層閱讀與深層閱讀相結(jié)合

結(jié)合以上分析,我們不妨深入研究,設計以下問題組,助力學生基于相關提示語、表層閱讀與深層閱讀相結(jié)合的教學.

題組1基于“表層閱讀”與“深層閱讀”.

1)這是一個什么問題?已知數(shù)據(jù)是什么?

2)條件是什么?求證什么?哪些是關鍵點?

3)條件是否足以確定未知量?是否需要借助直觀圖輔助求解?

分析首先,確定范圍:通過審題初步發(fā)現(xiàn),這是一道有關三角函數(shù)的求解證明題.其次,明確條件和要求:題目中的已給條件是△ABC的內(nèi)角A,B,C的對應邊分別為a,b,c,且sinCsin(A-B)=sinBsin(C-A),第1)小題已知條件是A=2B,需要求解的目標是角C的大小和證明2a2=b2+c2成立,第1)小題的關鍵是找出三角形中3個內(nèi)角之間的關系,借助A=2B對已知條件sinCsin(A-B)=sinBsin(C-A)進行化簡,從而確定另一組關于角的等式;第2)小題的關鍵是找出三角形三邊的關系,對已知條件sinCsin(A-B)=sinBsin(C-A)進行化簡,從而確定三邊的關系.接著,可以將數(shù)學符號轉(zhuǎn)化為圖形(草圖),如圖3所示.另外,通過審題發(fā)現(xiàn),條件1是一組直接關于角的等式A=2B,條件2是一組“變形”的關于角的等式sinCsin(A-B)=sinBsin(C-A),想要借助這兩個條件確定角C的大小,是不夠的.因此,需要再找一組關于角的等式,3個變量、3個方程即可確定角的大小.最后,結(jié)合前3步提取個體頭腦中的數(shù)學相關知識.

圖3

4.2 基于CPFS結(jié)構(gòu)理論,構(gòu)建題目的概念系

例1與三角函數(shù)有關,根據(jù)人教A版《普通高中教科書·數(shù)學》(必修第一冊)中與三角函數(shù)有關的概念與命題、思想方法進行歸納整理,可以形成基于CPFS結(jié)構(gòu)理論的三角函數(shù)知識結(jié)構(gòu).基于此,可以將三角函數(shù)所涉及的相關知識點賦予符號代稱,形成三角函數(shù)的概念系(如圖4).根據(jù)《普通高中數(shù)學課程標準(2017年版2020年修訂)》對此部分教學內(nèi)容的要求,可以明確學生在學習三角函數(shù)相關知識之前,已經(jīng)具備一定的認知基礎,而且,這部分知識也為人教A版《普通高中教科書·數(shù)學》(必修第二冊)第6.4節(jié)中“解三角形的相關知識”做鋪墊,為解決一些實際問題提供了條件.

圖4

基于該理論,構(gòu)建題目的概念系,其實就是一個對題目進行補充、選擇的過程.基于此,教師可以設計以下問題組,幫助學生構(gòu)建有關三角函數(shù)的概念系.

題組2構(gòu)建三角函數(shù)的概念系.

1)在三角形中共有幾個未知量,要想求出角C的大小,需要幾個方程?

2)在三角形中求角的大小,我們應當注意什么?

3)針對條件2“sinCsin(A-B)=sinBsin(C-A)”,可以借助條件1“A=2B”進行化簡嗎?

4)在化簡條件2時,需要用到什么知識點?

5)針對條件2還可以借助其他知識點進行化簡嗎?

分析首先,學生通過問題1)可以想到題目中共有3個未知量,因此想求出角C的大小,需要3個方程;其次,根據(jù)問題2)可以想到3個角之和為180°,即A+B+C=π,此時,學生就找到了3個方程;接著,問題3)和問題4)的目的是用學生已有的知識點對等式進行化簡,借助條件1,等式可以化簡為sinCsin(A-B)=sinBsin(C-A),那么接下來根據(jù)已知條件,再借助兩個角的正弦值相等,即可推斷出兩角相等或兩角互補,根據(jù)已知進行判斷,然后聯(lián)立3個方程即可求出角C;最后,問題5)是進一步拓展,可以引導學生進一步思考,培養(yǎng)學生的發(fā)散思維,盡可能多地幫助學生提取頭腦中已有的知識結(jié)構(gòu).

4.3 基于CPFS結(jié)構(gòu)理論,構(gòu)建題目的方法體系

數(shù)學命題是CPFS結(jié)構(gòu)的另一個出發(fā)點,是由典型問題引發(fā)出來的命題域中的一個.學生可以在自己原有的認知結(jié)構(gòu)中提取遷移已有的知識、思想和方法.這個提取遷移的過程實則就是個體認知結(jié)構(gòu)不斷完善的過程,這不僅有利于精準審題、順利挖掘隱含的數(shù)學信息,而且也有利于解題的順利進行.根據(jù)以上分析可以形成解三角形的方法結(jié)構(gòu)圖(如圖5).

圖5

基于該理論,構(gòu)建題目的方法體系其實就是對題目進行綜合的過程.基于此,教師可以設計以下問題組,幫助學生構(gòu)建有關解三角形的方法體系.

題組3構(gòu)建解三角形的方法體系.

1)在三角形中,求證2a2=b2+c2這樣的等式,你之前見過嗎?

2)求證2a2=b2+c2,我們應該用什么方法?

3)題目中給出的三角形是直角三角形嗎?

4)解任意三角形應當借助什么知識點?

5)題目中哪個已知條件出現(xiàn)了3條邊或3個角的等量關系?

6)觀察已知條件有什么結(jié)構(gòu)特征?如何將已知條件向求證目標轉(zhuǎn)化?

分析首先,學生通過問題1)和問題2),可以回憶出在三角形中求證邊之間的關系應當利用解三角形的方法;其次,根據(jù)問題3)和問題4),學生可以進一步縮小范圍,確定求任意三角形的邊長關系可以借助正弦定理、余弦定理;接著,根據(jù)問題5),學生會發(fā)現(xiàn)條件2出現(xiàn)了3個角之間的關系,還可以根據(jù)題意,畫出草圖協(xié)助解題;最后,根據(jù)問題6),學生通過觀察條件2,發(fā)現(xiàn)等式內(nèi)出現(xiàn)sin(A-B),sin(C-A),要想出現(xiàn)3條邊的關系應當出現(xiàn)3個內(nèi)角A,B,C的關系.

4.4 基于CPFS結(jié)構(gòu)理論,助力“理解題目”達成目標

基于以上分析,學生可以基于個體CPFS結(jié)構(gòu)對原題目進行推測、分析、補充、選擇,最終順利完成“理解題目”這一階段.筆者將這道題的審題分析過程,整理成圖6.

圖6

通過設計以上3個題組,教師提出引導性的問題,幫助學生有目的地進行“理解題目”,設置的問題層層遞進,符合學生認知發(fā)展的規(guī)律,有利于培養(yǎng)學生良好的數(shù)學閱讀習慣.題組1需要學生對題目給出的文本信息進行閱讀,理解文字敘述,通過第一步表層閱讀,可以鍛煉學生認讀和概述的閱讀水平;題組2和題組3不僅需要學生分離主要部分,弄清細節(jié),通過明確條件和要求進一步鍛煉學生辨析、串聯(lián)的閱讀水平,而且需要學生對文本語言進行轉(zhuǎn)化或化簡,可以將例1中的數(shù)學符號轉(zhuǎn)化為數(shù)學圖形;最后,結(jié)合以上分析提取個體頭腦中的相關知識,通過深層閱讀鍛煉學生領悟、研究的閱讀水平.在這樣一個“理解題目”的過程中,學生的閱讀能力不僅會呈現(xiàn)“階梯式”進步,而且個體頭腦中的CPFS結(jié)構(gòu)也會越來越趨于完善.

5 結(jié)語

訓練學生理解題目的能力不僅是對他們數(shù)學閱讀能力的培養(yǎng),而且也是對個體CPFS結(jié)構(gòu)的發(fā)展和完善.那么在課堂教學中,教師如何在解題前的“理解題目”這一階段,提升學生數(shù)學閱讀的能力呢?通過以上分析,可以得出以下幾點建議:

第一,表層閱讀與深層閱讀相結(jié)合,助力學生理解題目.在數(shù)學學習中,數(shù)學解題是一種重要的學習方式,如果學生可以抓住“題目”這種現(xiàn)有的“閱讀材料”,重視對題目的閱讀和分析,不僅可以有效利用已有的學習資源,而且可以幫助學生養(yǎng)成良好的審題習慣.教師在培養(yǎng)學生“理解題目”的過程中,逐漸做到“潤物細無聲”的教育.

第二,有效教學與自發(fā)學習相統(tǒng)一,有效開展“理解題目”的教學,使學生重視“理解題目”這一階段.在審題教學中,教師應當設置層層遞進的問題,引導學生深度思考、挖掘題目中的關鍵點和隱含信息,充分激活個體CPFS結(jié)構(gòu),久而久之,學生自然會養(yǎng)成良好的審題習慣,在學習和解題時就會自發(fā)注重審題,充分利用現(xiàn)有的閱讀材料.

第三,夯實學科基礎與完善個體CPFS結(jié)構(gòu)相促進.教師應當注重基礎概念、命題的講解,完善學生個體CPFS結(jié)構(gòu).在教學中,教師應當從多角度揭示概念的內(nèi)涵,深層次講解命題,抓住數(shù)學的本質(zhì),注重突出概念、命題之間的聯(lián)系,這樣才有利于幫助學生形成較為完善的個體CPFS結(jié)構(gòu),促進學生的學習與解題.