林 威, 姚佩峰

(1.余杭高級中學(xué),浙江 杭州 311100;2.瓶窯中學(xué),浙江 杭州 311115)

1 問題緣起

通過對近幾年全國高考數(shù)學(xué)卷的分析,筆者發(fā)現(xiàn)過定(動)點向曲線作切線這一類題目經(jīng)常出現(xiàn)在選擇題和填空題中.曲線涉及的類型有指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、對勾函數(shù)、三次函數(shù)等,涉及的圓錐曲線有橢圓、雙曲線、拋物線,涉及的知識點較多,解題方法靈活多變,充分考查了學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運算等核心素養(yǎng).本節(jié)課以“一類曲線的切線問題復(fù)習(xí)探究”為例,突出兩種方法(設(shè)切點解方程和數(shù)形結(jié)合找區(qū)域),重點探究過不同區(qū)域的點是否可以作曲線的切線以及可以作多少條切線的問題,為學(xué)生解答類似問題提供一個新的視角.

2 教學(xué)方法的選擇

本節(jié)課以問題鏈探究的方式:從問題1開始,設(shè)計一系列問題(問題2～9)引發(fā)學(xué)生探究,用代數(shù)方法和信息技術(shù)手段進(jìn)行雙重驗證,然后類比遷移到一般情況下結(jié)論是否成立,再拓展研究其他曲線的情況.數(shù)學(xué)課堂教學(xué)不僅要讓數(shù)學(xué)知識發(fā)生發(fā)展的過程合理,也要讓學(xué)生在參與學(xué)習(xí)過程中認(rèn)知的過程、思維的過程合理[1](以下統(tǒng)稱“兩個過程”)是本節(jié)課設(shè)計的關(guān)鍵.筆者通過使用信息技術(shù),讓學(xué)生直觀感受過定點作雙曲線切線的動態(tài)變化,將數(shù)學(xué)思維的發(fā)生和發(fā)展過程充分地暴露在學(xué)生面前,吸引學(xué)生積極參與知識的再創(chuàng)造和發(fā)展的過程[2],在問題解決的過程中培養(yǎng)了學(xué)生的關(guān)鍵能力.

3 課堂實錄

3.1 問題引入

問題1已知雙曲線x2-y2=4,過點(-1,0)可以作雙曲線______條切線.

分析運用方程的思想,根據(jù)直線與圓錐曲線的位置關(guān)系,學(xué)生列式求解,得到結(jié)果.這類求解是學(xué)生最熟悉的.

設(shè)切線方程為y=k(x+1),聯(lián)立

得

(1-k2)x2-2k2x-k2-4=0.

當(dāng)1-k2=0時,k=±1,顯然所得直線不是雙曲線的切線,故k≠±1.由Δ=0,得

(-2k2)2+4(1-k2)(k2+4)=0,

整理得

從而

因此過(-1,0)可以向雙曲線左支作兩條切線(如圖1).

圖1

在課堂的實際教學(xué)中,學(xué)生解方程過程中往往會忽視二次項系數(shù)為0的情況,要驗證當(dāng)k=±1時的直線是否為雙曲線的切線.

設(shè)計意圖從特殊到一般,從熟悉到未知,從學(xué)生知識和方法的最近發(fā)展區(qū)出發(fā),求過特殊點作雙曲線的切線,讓學(xué)生溫習(xí)直線與圓錐曲線位置關(guān)系的代數(shù)求解方法,讓學(xué)生從已知的知識結(jié)構(gòu)入手,激發(fā)了學(xué)生進(jìn)一步學(xué)習(xí)和探究新知識的欲望,為進(jìn)一步研究在平面直角坐標(biāo)系中不同區(qū)域的點作雙曲線的切線提供認(rèn)知和學(xué)習(xí)心理,讓求知和探索自然而然地發(fā)生.

分析這個問題僅僅是把問題1中的點(-1,0)改為(-1,1),學(xué)生很容易列式求解.

設(shè)切線方程為y-1=k(x+1),聯(lián)立

得

(1-k2)x2-2k(k+1)x-(k+1)2-4=0.

當(dāng)1-k2=0時,k=±1,顯然所得直線不是雙曲線的切線,故k≠±1.由Δ=0,得

[-2k(k+1)]2+4(1-k2)[(k+1)2+4]=0,

整理得 3k2-2k-5=0,

圖2

追問1若點為直角平面上任意一點,過點可以向該雙曲線作幾條切線呢?

設(shè)計意圖問題2是問題1的一個變式,讓學(xué)生思考點的位置變化對代數(shù)方程的求解產(chǎn)生的影響.方程的系數(shù)為0引發(fā)了學(xué)生的認(rèn)知沖突,通過數(shù)形兩個角度進(jìn)行操作確認(rèn),直觀感知下的操作確認(rèn)通過GeoGebra軟件進(jìn)行動態(tài)演示,驗證猜想,把抽象內(nèi)容可視化、靜態(tài)內(nèi)容動態(tài)化,真實地展示學(xué)生的數(shù)學(xué)思維發(fā)生和發(fā)展過程.有思維沖突才有進(jìn)一步深入思考的可能,從而培養(yǎng)了學(xué)生數(shù)學(xué)運算、邏輯推理、直觀想象的核心素養(yǎng),為學(xué)生進(jìn)一步探究提供了知識、認(rèn)知和思維的準(zhǔn)備.

3.2 從特殊到一般

如圖3,漸近線和雙曲線將直角坐標(biāo)平面分成多個區(qū)域.學(xué)生給出以下猜想:

圖3

1)當(dāng)點在區(qū)域Ⅰ內(nèi)時,通過點可以向雙曲線左支作兩條切線;

2)當(dāng)點在區(qū)域Ⅲ內(nèi)時,通過點可以向雙曲線右支作兩條切線;

3)當(dāng)點在區(qū)域Ⅱ,Ⅳ內(nèi)時,通過點可以向雙曲線左右兩支各作一條切線;

4)當(dāng)點在漸近線上時(除原點),通過點可以向雙曲線相近的一支作一條切線;

5)當(dāng)點在原點時,無法向雙曲線作切線.

給學(xué)生充分的時間思考、討論、計算,最后教師給出答案(過程略).

評注學(xué)生在理解運算對象的基礎(chǔ)上提出運算問題,探究運算思路,選擇運算方法,進(jìn)而求得運算結(jié)果.不過這里的運算量比較大,分類討論和代數(shù)式的化簡對學(xué)生來說都是挑戰(zhàn),有些學(xué)生遇到代數(shù)式的化簡就會“繳械投降”,此時教師應(yīng)當(dāng)鼓勵學(xué)生繼續(xù)算下去,敢于“硬碰硬”,這樣有助于學(xué)生運算能力的提升.

設(shè)計意圖讓學(xué)生在問題鏈的指引下,由特殊到一般,思維層層遞進(jìn);從代數(shù)方法到幾何直觀,在研究“切線條數(shù)”這個問題上認(rèn)識到幾何直觀的優(yōu)越性;通過幾何直觀總結(jié)規(guī)律,運用代數(shù)方法小心求證,對問題的理解會更加深刻.在問題求解的過程中提升了數(shù)學(xué)運算、數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、直觀想象等核心素養(yǎng).通過對這個猜想的證明,學(xué)生從之前的幾何作圖的操作階段進(jìn)入到代數(shù)運算的邏輯推理階段,證明的過程讓學(xué)生體會了合理建立解析幾何數(shù)形對應(yīng)的必要性,整個證明過程讓學(xué)生的數(shù)學(xué)思維再一次得到發(fā)生和發(fā)展.

方法1設(shè)切線方程為y-2=k(x-2),聯(lián)立

得

(a2-k2)x2+4k(k-1)x-4(k-1)2-a2=0.

當(dāng)a2-k2=0時,k=±a,所得直線不是雙曲線的切線,故k≠±a.由Δ=0,得

16k2(k-1)2+4(a2-k2)[4(k-1)2+a2]=0,

整理得

3k2-8k+4+a2=0.

過點(2,2)能作該雙曲線的兩條切線,則

Δ1=64-12(4+a2)>0,

從而

評注利用直線和圓錐曲線的位置關(guān)系,聯(lián)立方程求解,思維簡單,符合學(xué)生的認(rèn)知起點.但對學(xué)生來說計算量較大.

方法2(作圖象找區(qū)域)由上述結(jié)論可得點(2,2)在雙曲線外部,且不在雙曲線的漸近線上,從而

得

故

設(shè)計意圖讓學(xué)生比較兩種運算方法,鞏固探究成果.

3.3 拓展探究:從雙曲線到其他曲線

3.3.1 以飄帶函數(shù)為載體

( )

(2023年浙江省杭州市一模數(shù)學(xué)試題第8題)

答案:B.

3.3.2 以指數(shù)函數(shù)為載體

問題6若過點(a,b)可以作曲線y=ex的兩條切線,則

( )

A.eb

C.0

答案:D.

3.3.3 以對數(shù)函數(shù)為載體

問題7若直線y=ax-1(其中a>0)與曲線f(x)=ln(x+b)相切,則實數(shù)b的取值范圍為______.

3.3.4 以三次函數(shù)為載體

問題8已知a>0,若過點P(a,b)可作曲線y=x3的3條切線,則

( )

A.b<0 B.0

C.b>a3D.b(b-a3)=0

答案:B.

3.3.5 以其他含有拐點切線的函數(shù)為載體

問題9已知函數(shù)f(x)=ex-1+lnx,則過點(a,b)恰能作曲線y=f(x)的兩條切線的充分條件可以是

( )

A.b=2a-1>1 B.b=f(a)

C.2a-1

答案:AD.

評注以這5類函數(shù)為載體的研究切線條數(shù)的問題都可以通過作圖象找區(qū)域解決,關(guān)鍵是要發(fā)現(xiàn)影響區(qū)域劃分的漸近線、拐點處的切線等,比設(shè)切點解方程要簡潔明快.

4 反思與感悟

本節(jié)課是一節(jié)微專題復(fù)習(xí)拓展課.大多數(shù)教師喜歡直接給出結(jié)論,然后讓學(xué)生利用結(jié)論訓(xùn)練自己的解題能力.但筆者認(rèn)為從學(xué)生的可持續(xù)發(fā)展來看,探究結(jié)論形成的過程,挖掘結(jié)論證明的價值,培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)和提出問題、分析和解決問題的能力是對學(xué)生未來數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的一種投資.

在結(jié)論形成的過程中,充分發(fā)揮信息技術(shù)的作用,通過幾何直觀的建立,讓學(xué)生感受解析幾何的數(shù)形對應(yīng).以數(shù)學(xué)的方式循序漸進(jìn),充分暴露數(shù)學(xué)思維的發(fā)生和發(fā)展過程,讓學(xué)生從已有的知識與方法體系出發(fā)通過再創(chuàng)造和發(fā)展不斷完善與提升,構(gòu)建更完整的知識與思想方法體系.在問題解決的過程中,自然而然地用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實世界,用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實世界,用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)現(xiàn)實世界.

在結(jié)論驗證過程中,重視學(xué)生代數(shù)運算能力的培養(yǎng),從數(shù)學(xué)本質(zhì)出發(fā),鼓勵學(xué)生有“硬算”的勇氣,看似最笨的辦法實則是我們解決問題最大的依賴.在硬算的基礎(chǔ)上多角度尋求運算的優(yōu)化,代數(shù)運算的分類討論以及邏輯推理的過程使學(xué)生更規(guī)范地思考問題、更嚴(yán)謹(jǐn)?shù)亟鉀Q問題、更深刻地感悟問題的本質(zhì),培養(yǎng)了學(xué)生良好的思維品質(zhì)和科學(xué)精神,從而使學(xué)生的運算素養(yǎng)得到進(jìn)一步的發(fā)展.

4.1 培養(yǎng)直觀想象能力

數(shù)缺形時少直觀,形缺數(shù)時難入微.數(shù)形結(jié)合的思想是高中數(shù)學(xué)很重要的一種思想方法,借助幾何直觀感知所研究問題的形態(tài)與變化,利用幾何圖形描述和分析數(shù)學(xué)問題,建立代數(shù)與幾何圖形的內(nèi)在聯(lián)系[3],構(gòu)建數(shù)學(xué)問題求解的直觀模型,漸近線、拐點切線、曲線是劃分區(qū)域的關(guān)鍵,可以助力問題求解.

4.2 微專題的復(fù)習(xí)課建議

習(xí)題課是高中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中一個重要的課型.習(xí)題課的教學(xué)需要“價值引領(lǐng)、素養(yǎng)導(dǎo)向、能力為重、知識為基”,試題的選擇要“源于教材,高于教材,題在書外,根在書內(nèi)”,要設(shè)計具備典型思想和方法的問題鏈.好的問題與變式應(yīng)該是基于情境、思想豐富、知識完備、思維深刻,以數(shù)學(xué)思維為核心,從學(xué)生的學(xué)情出發(fā),符合學(xué)生知識基礎(chǔ)、能力基礎(chǔ)和認(rèn)知規(guī)律.好的數(shù)學(xué)問題與變式能讓“兩個過程”更到位,學(xué)生帶著問題進(jìn)課堂,想著更多的問題出課堂,思維能力在感悟問題本質(zhì)中升華,解題后意猶未盡,回味無窮.

4.3 問題鏈探究設(shè)計的思考

問題鏈教學(xué)要以學(xué)生為中心,從基礎(chǔ)題和教材原題入手,兼顧每一名學(xué)生的認(rèn)知水平,讓每一名學(xué)生都能有所寫、有所想、有所思.問題鏈的設(shè)計并非隨意拼湊、雜亂無序,而是一個將問題合理設(shè)計安排、環(huán)環(huán)相扣的過程.探尋試題的“源”與“流”是問題鏈設(shè)計的基本前提,提升學(xué)生的數(shù)學(xué)思維和素養(yǎng)是問題鏈教學(xué)的核心目標(biāo),揭示問題的數(shù)學(xué)本質(zhì)是問題鏈教學(xué)的頂層追求.通過問題鏈逐步將學(xué)生的思維引向深入,從低階思維向高階思維不斷發(fā)展,促進(jìn)學(xué)生的深度學(xué)習(xí),為培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)(如直觀想象、數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模等)奠定堅實的基礎(chǔ).