杜海洋

(成都經(jīng)濟(jì)技術(shù)開發(fā)區(qū)實(shí)驗(yàn)中學(xué)校)

在2019年版的高中數(shù)學(xué)教材修訂中,重新增加了“積化和差”與“和差化積”公式.例如,在人教B 版必修第一冊(cè)第8.2.4節(jié)“三角恒等變換的運(yùn)用”中,明確給出了上述公式.人教A 版必修第一冊(cè)第5.5.2節(jié)給出部分的推導(dǎo)過程,其后在練習(xí)給出證明.本文初步運(yùn)用公式進(jìn)行和、積互化,應(yīng)用公式對(duì)三角函數(shù)的求值、化簡、證明進(jìn)行探討.

1 公式的證明

證明 由sin(α±β)＝sinαcosβ±cosαsinβ,可得

同理,利用cos(α±β)＝cosαcosβ?sinαsinβ依次類推,可得

2 公式的運(yùn)用

2.1 求值

例1 (1)求cos15°cos75°的值;

(2)求sin20°sin40°sin80°的值.

(1)由積化和差公式得

(2)由積化和差公式得

例2 (2019年普通高中教科書A 版數(shù)學(xué)必修第一冊(cè)220 頁練習(xí)第3 題第(6)小題) 求sin20°cos110°＋cos160°sin70°的值.

方法1 由誘導(dǎo)公式和積化和差公式得

方法2 原式等價(jià)于

cos110°sin20°＋cos160°sin70°＝

2.2 化簡

例3 化簡:

cos2(x＋y)＋cos2(x－y)－cos2xcos2y.

對(duì)原式等價(jià)變形可得

例4 (2019年普通高中教科書A 版數(shù)學(xué)必修第一冊(cè)229頁第6題第(6)小題)化簡:

對(duì)原式等價(jià)變形可得

2.3 證明

例5 在△ABC中,求證:

證明 因?yàn)锳＋B＋C＝180°,所以C＝180°－(A＋B),即

例6 (2019年普通高中教科書A 版數(shù)學(xué)必修第一冊(cè)255頁第16題第(3)小題)證明:

2.4 求最值

例7 在△ABC中,求sinAsinBsinC的最大值.

3 小結(jié)

以上公式的運(yùn)用體現(xiàn)了教材中的例題或習(xí)題是編寫者精心設(shè)計(jì)的典范.為充分發(fā)揮教材中例題、習(xí)題的作用,學(xué)生平時(shí)在學(xué)習(xí)過程中要善于抓住題目的特征,對(duì)教材中的例題、習(xí)題進(jìn)行適當(dāng)?shù)娜∩帷⒆兪脚c拓展.這樣不僅能溝通知識(shí)間的內(nèi)在聯(lián)系,使解題的思維活動(dòng)始終處于一種由淺入深、由表及里的“動(dòng)態(tài)”進(jìn)程之中,還能充分調(diào)動(dòng)學(xué)習(xí)的積極性與主動(dòng)性,培養(yǎng)思維的靈活性與廣闊性,從而有效地提高解題效率.

(完)