丁天明,潘 寧,杜柏松,艾萬政

(浙江海洋大學(xué) 船舶與海運(yùn)學(xué)院,浙江 舟山 316022)

0 引 言

港口貨物吞吐量決定著港口資源分配的效率,直接影響著港口發(fā)展規(guī)劃的合理性、科學(xué)性與先進(jìn)性。對未來港口的長期發(fā)展規(guī)劃和決策來說,預(yù)測是至關(guān)重要的一步[1],因此提高港口貨物吞吐量的預(yù)測精確度就顯得尤為重要。目前對吞吐量的預(yù)測方法有時(shí)間序列[2]、概率統(tǒng)計(jì)[3]、指數(shù)平滑[4]、灰色理論[5]、支持向量機(jī)[6]、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)[7]以及組合預(yù)測等。其中,組合預(yù)測方法應(yīng)用較多:李長安等[8]將反向傳播神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型在蟻群算法的改進(jìn)下進(jìn)行吞吐量預(yù)測,加快了原始模型的收斂速度,提高了預(yù)測的精度,但是當(dāng)數(shù)據(jù)不充分時(shí),神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)處于失效狀態(tài),因此該算法還有待提高;徐勇[9]通過灰色理論構(gòu)建了原始預(yù)測模型,在分析吞吐量時(shí)間序列的趨勢之后,實(shí)現(xiàn)了其精準(zhǔn)預(yù)測的目的;TANG Shuang等[10]選取了5種影響因素,使用數(shù)據(jù)集建立多元線性模型和反向傳播神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型分別對上海港和連云港進(jìn)行了預(yù)測評估;翁志堅(jiān)等[11]針對灰色系統(tǒng)在預(yù)測有較大波動的數(shù)據(jù)序列過程中存在的缺陷,在馬爾可夫理論基礎(chǔ)上建立了新維灰色預(yù)測模型;王振振等[12]將各季度影響吞吐量的程度用加權(quán)灰色關(guān)聯(lián)分析進(jìn)行了排序,再結(jié)合三次指數(shù)平滑法與馬爾科夫模型,大幅度提高了預(yù)測精度。

由于港口貨物吞吐量的樣本數(shù)據(jù)相對較少,信息量較匱乏[13],給預(yù)測過程帶來了一定的難度,而灰色模型對樣本數(shù)據(jù)沒有過高的要求,可以以簡便的方式運(yùn)用小規(guī)模數(shù)據(jù)對非平穩(wěn)隨機(jī)過程進(jìn)行預(yù)測并反映出序列的長期發(fā)展趨勢,因此該模型目前在吞吐量預(yù)測方向的應(yīng)用最為廣泛[14-16]。但灰色模型在處理有波動性的數(shù)據(jù)時(shí)存在一定的缺陷,而馬爾可夫過程能很好地解決這一問題,且其具有無后效性的特點(diǎn),因此筆者用一階馬爾可夫鏈對模型殘差進(jìn)行修正,用以彌補(bǔ)灰色預(yù)測的誤差精度。然而在目前的馬爾可夫狀態(tài)區(qū)間劃分過程中均以中間值作為狀態(tài)區(qū)間的白化系數(shù),并沒有隨著實(shí)際區(qū)間的改變而調(diào)整。因此,筆者在馬爾可夫修正的過程中還提出用粒子群算法對狀態(tài)區(qū)間劃分的參數(shù)因子進(jìn)行動態(tài)優(yōu)化,使其能自主適應(yīng)區(qū)間數(shù)值的變化、及時(shí)更新馬爾可夫鏈的每個(gè)狀態(tài)區(qū)間系數(shù)并達(dá)到最優(yōu)修正值。筆者將吸收以上3種模型算法的優(yōu)點(diǎn),通過粒子群算法迭代尋優(yōu),分別找到各區(qū)間最合適的白化系數(shù),改進(jìn)灰色馬爾可夫預(yù)測模型,對比分析得到較高精度的吞吐量預(yù)測值。

1 基于貨物吞吐量的模型建立

1.1 建立灰色預(yù)測模型

令非負(fù)原始時(shí)間序列為X(0)={x(0)(1),x(0)(2),…,x(0)(n)},經(jīng)過一次加和生成后取得一階加和總序列X(1)={x(1)(1),x(1)(2),…,x(1)(n)}。

建立灰色GM(1,1)一階預(yù)測模型:

(1)

式中:參數(shù)a和b分別反應(yīng)了模型的增長速度和協(xié)調(diào)變換關(guān)系。

此時(shí)模型對應(yīng)的解用最小二乘法求解得到:

(2)

B和Yn表達(dá)式如式(3)、式(4):

(3)

(4)

令初始條件為x(1)(1)=x(0)(1),得出微分方程的解為:

(5)

(6)

再將模擬值進(jìn)行累減計(jì)算,得到原始數(shù)據(jù)的預(yù)測值:

(7)

1.2 馬爾可夫修正

馬爾可夫鏈主要研究狀態(tài)之間可能存在移動性的概率關(guān)系,事物的發(fā)展只與當(dāng)前狀態(tài)有關(guān),與其他狀態(tài)無關(guān)[17]。由于原始序列具有一定的波動性和隨機(jī)性,使得GM(1,1)預(yù)測模型在實(shí)踐過程中存在一定的誤差。筆者用一階馬爾可夫?qū)疑A(yù)測模型進(jìn)行殘差修正,最大程度上克服了原始模型在數(shù)據(jù)波動上的局限性。馬爾可夫鏈的特點(diǎn)是客觀事物下一步的狀態(tài)只與當(dāng)前狀態(tài)有關(guān)聯(lián),與除當(dāng)前之外的所有狀態(tài)均無關(guān),即:

p′(Xt+1=j|Xt=i)=p′(Xt+1=j|Xt=it,Xt-1=it-1,…,X0=i0)

(8)

式中:Xn∈Ej,對任意的t∈E,i∈E,其中,E為等分區(qū)間集合,Ej為第j個(gè)等分區(qū)間。

由灰色系統(tǒng)理論得到的預(yù)測值可計(jì)算出與原始序列值的相對殘差:

(9)

根據(jù)相對殘差的大小來劃分修正狀態(tài)區(qū)間,每個(gè)區(qū)間的間隔相同,將其平均劃分等分區(qū)間Ei=[Li,Ui],最后建立一階狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣Pij。該矩陣反映了各個(gè)殘差狀態(tài)區(qū)間移動過渡的可能性,即當(dāng)前狀態(tài)移動到下一個(gè)狀態(tài)的概率:

(10)

Pij(m)=[Pij(1)]m

(9)

得出灰色馬爾可夫預(yù)測模型如式(12):

(12)

其中,預(yù)測狀態(tài)“高估”時(shí)取正,“低估”時(shí)取負(fù)。

1.3 粒子群優(yōu)化白化系數(shù)

對于傳統(tǒng)的灰色馬爾可夫組合模型,狀態(tài)區(qū)間取中值0.5未必為最優(yōu)狀態(tài)。筆者引進(jìn)粒子群算法(particle swarm optimization, PSO)代替模型中直接取中值的方式,對馬爾可夫模型各個(gè)狀態(tài)i的參數(shù)因子進(jìn)行優(yōu)化。將白化系數(shù)λi帶入灰區(qū)間求解:

Ii=λiLi+(1-λi)Ui

(13)

式中:λi∈[0,1];Li、Ui分別為狀態(tài)區(qū)間的上、下邊界值。

PSO算法是一種復(fù)雜適應(yīng)優(yōu)化算法,具有參變量少、全局搜索能力強(qiáng)、收斂速度快等優(yōu)點(diǎn)[18]。其為一群隨機(jī)的粒子在搜索空間上通過合適的速度不斷地尋優(yōu)迭代,找到最適合所有粒子的最佳位置,此時(shí)為最優(yōu)解。而這些粒子均具有確定其好壞的功能,即適應(yīng)度函數(shù),在滿足這個(gè)函數(shù)之后才能繼續(xù)向前搜索。取m個(gè)粒子組合成一個(gè)群集,其中任一粒子q在d維空間中均有D維向量,每個(gè)向量均代表一個(gè)白化因子λq,每個(gè)粒子q均在空間里以速度vqd進(jìn)行搜索,其搜索的位置xqd和速度vqd不斷更新迭代,表達(dá)式為:

(14)

(15)

式中:學(xué)習(xí)因子c1和c2能夠提高模型的收斂速度且避免陷于局部最優(yōu);r1和r2為[0,1]之間的隨機(jī)數(shù);w為慣性因子,可以使局部和全局搜索能力達(dá)到均衡;pbest,qd、gbest,qd分別為個(gè)體極值點(diǎn)、全局極值點(diǎn)的位置。

筆者用誤差的均方差值eMS來衡量每個(gè)粒子優(yōu)劣程度的適應(yīng)度函數(shù),此時(shí)均方差值越小越好。粒子適應(yīng)度函數(shù)的表達(dá)式為:

(16)

基于PSO算法改進(jìn)的灰色馬爾可夫復(fù)合預(yù)測模型流程如圖1。

圖1 基于粒子群優(yōu)化的灰色馬爾可夫貨物吞吐量預(yù)測模型流程

算法步驟如下:

1)輸入原始預(yù)測序列到灰色GM(1,1)模型中,得到殘差值。

2)將殘差值進(jìn)行區(qū)間等概率劃分并建立一階狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣。

3)根據(jù)狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣確定各年份所處的狀態(tài)區(qū)間。

4)輸入粒子群算法的各項(xiàng)參數(shù)值并開始迭代運(yùn)算,獲取各區(qū)間的白化系數(shù)。

5)輸出粒子群改進(jìn)后的最終預(yù)測值。

1.4 精度分析

筆者通過對比分析各模型的方差比值和小殘差概率值來判斷各模型的預(yù)測精度。首先將預(yù)測數(shù)值與實(shí)際數(shù)值相減并取絕對值,得到絕對殘差序列:

(17)

設(shè)原始序列X(0)的均方差為S1,殘差序列Δ(0)的均方差為S2,方差比為二者比值:

(18)

小殘差概率:

(19)

方差比值C越小表示當(dāng)原始序列均方差S1相等的情況下,該模型的殘差序列均方差S2越小,此時(shí)該預(yù)測模型殘差飽和度小,精度高。小殘差概率pr越大表示殘差與殘差平均值之差中小于原始定值0.674 5倍的數(shù)值越多,精度也越高,其精度判別見表1。

表1 后驗(yàn)差檢驗(yàn)判別參照

2 實(shí)例應(yīng)用

選用《中國統(tǒng)計(jì)年鑒》中2007—2021年寧波舟山港的港口貨物吞吐量(表2)作為研究對象進(jìn)行分析。分別將傳統(tǒng)的灰色預(yù)測、灰色馬爾可夫復(fù)合預(yù)測和粒子群優(yōu)化的灰色馬爾可夫這3種預(yù)測模型進(jìn)行比較,找出最優(yōu)精度的模型并預(yù)測未來3 a吞吐量情況,為后續(xù)港口生產(chǎn)建設(shè)提供理論依據(jù)。

表2 寧波舟山港2007—2021年貨物吞吐量

2.1 GM(1,1)預(yù)測

由表2可以看出,寧波舟山港港口貨物吞吐量總體呈平穩(wěn)增長趨勢。

將表2中數(shù)據(jù)進(jìn)行累加得到一階累加序列X(1)={47.336,100.284,157.968,221.268,290.661,365.062,446.040,533.386,622.315,714.524,815.457,923.896,1 035.905,1 153.145,1 275.55}。將此數(shù)據(jù)帶入式(1),得到a=-0.060 4,b=53.062 2。進(jìn)而一階微分方程的解為:

(20)

從式(20)得出灰色預(yù)測的一階累加序列模擬值,對其進(jìn)行累減,即可得到原始序列對應(yīng)的模擬預(yù)測序列和相對殘差值,見表3。

2.2 灰色馬爾可夫預(yù)測

根據(jù)表3中的殘差序列,采用等概率方法對其進(jìn)行狀態(tài)劃分,具體區(qū)間分為以下4個(gè)狀態(tài):極度高估E1、高估E2和E3、較為準(zhǔn)確E4,其中每個(gè)狀態(tài)區(qū)間誤差間隔為3.5%,區(qū)間劃分見表4。

表4 狀態(tài)區(qū)間劃分

根據(jù)各年殘差值落入的狀態(tài)區(qū)間劃分各年份的狀態(tài)。E1：2008,2009;E2：2010,2021;E3：2007,2011,2012,2015,2016,2019,2020;E4：2013,2014,2017,2018。

此時(shí)由式(11)建立一階狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣:

根據(jù)狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣和各年份所處狀態(tài)區(qū)間,將各年份的灰色預(yù)測值由式(12)進(jìn)行修正,得出灰色馬爾可夫復(fù)合模型的預(yù)測值,見表5。

表5 寧波舟山港貨物吞吐量3種模型預(yù)測對比

2.3 優(yōu)化灰色馬爾可夫預(yù)測

將2.2節(jié)中經(jīng)過劃分的4個(gè)殘差狀態(tài)區(qū)間視為灰區(qū)間,將這些灰區(qū)間的白化系數(shù)代入粒子群算法〔式(14)〕得到:

I1=λ1×(-0.088 6)+(1-λ1)×(-0.053 5)

(15)

I2=λ2×(-0.053 5)+(1-λ2)×(-0.018 3)

(16)

I3=λ3×(-0.018 3)+(1-λ3)×0.016 9

(17)

I4=λ4×0.016 9+(1-λ4)×0.052 1

(18)

而傳統(tǒng)的灰色馬爾可夫組合模型實(shí)際上是將其取中間值,即λi=0.5,i=1,2,3,4。事實(shí)上此4個(gè)區(qū)間狀態(tài)并非均取中值。筆者利用粒子群算法迭代搜尋各狀態(tài)區(qū)間實(shí)際參數(shù),優(yōu)化式(15)～式(18)的組合模型,確定當(dāng)下合適的白化因子。

經(jīng)過多次調(diào)試,取參數(shù)粒子長度為4,最大種群數(shù)為1 000,學(xué)習(xí)因子c1=0.6,c2=0.8,權(quán)重w=0.8,粒子最大更新位置為1,最小為0,更新速度最大、最小值分別為0.01、 -0.01。利用1.3節(jié)中粒子群算法的具體步驟,在MATLAB軟件上運(yùn)行程序得到優(yōu)化后的動態(tài)白化系數(shù)λ={0.069 1,0.032 6,0.009 7,0.036 8}。由此可見,每個(gè)狀態(tài)區(qū)間的系數(shù)取中間值0.5并不能達(dá)到最優(yōu)預(yù)測效果。將優(yōu)化后的λ值分別代入灰色馬爾可夫組合預(yù)測模型,各狀態(tài)區(qū)間進(jìn)一步得到改進(jìn)后的預(yù)測值見表5。

2.4 精度分析

對3種預(yù)測模型進(jìn)行誤差和后驗(yàn)差檢驗(yàn),如表6。由表6可知:3種模型的精度等級均為一級;相較于灰色GM(1,1)預(yù)測模型,灰色馬爾可夫組合模型精度進(jìn)一步提高,平均誤差均值降低了62%;經(jīng)粒子群改進(jìn)灰色馬爾可夫后的C值最小,精度也最優(yōu),平均誤差均值下降了76%,相較于灰色馬爾可夫組合模型下降了37%,這說明了經(jīng)過二次修正后模型的擬合度更高。從圖2中也可直觀地看出,粒子群優(yōu)化灰色馬爾可夫模型的預(yù)測值與實(shí)際值更為貼合。因此,在馬爾可夫修正模型中,參數(shù)直接取中間值的方法存在一定誤差,而粒子群算法很好地克服了此模型的不足。

表6 模型精度對比

2.5 寧波舟山港未來三年貨物吞吐量預(yù)測

首先對寧波舟山港的2022年貨物吞吐量值進(jìn)行預(yù)測,由式(11)可得到灰色馬爾可夫組合模型的n步轉(zhuǎn)移矩陣。同時(shí)選用與預(yù)測年份相隔最近4 a的轉(zhuǎn)移步數(shù)和所在狀態(tài),建立狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣,計(jì)算得到2022年的累積狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率,如表7。從而確定2022年所處狀態(tài)區(qū)間,最后根據(jù)狀態(tài)區(qū)間劃分(表4)和動態(tài)白化系數(shù)預(yù)測寧波舟山港未來貨物吞吐量。

表7 2022年貨物吞吐量狀態(tài)預(yù)測

從表7可以看出,2022年累積狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率最大為2.40,處于狀態(tài)區(qū)間E3中,因此對應(yīng)的區(qū)間參數(shù)為λ3。結(jié)合式(12)、式(13)可以得到2022年的吞吐量預(yù)測值,同理可得寧波舟山港2023年和2024年的貨物吞吐量預(yù)測值,見表8。

表8 2022—2024年寧波舟山港貨物吞吐量預(yù)測值

3 結(jié) 語

1)筆者選用易于實(shí)施的粒子群算法,對灰色馬爾可夫模型在狀態(tài)區(qū)間參數(shù)選擇上的不足進(jìn)行了改進(jìn)。該算法影響參數(shù)較少,收斂速度快且具有良好的搜索能力,提高了模型的實(shí)用性?；赑SO算法改進(jìn)后的灰色馬爾可夫模型在殘差均值上有一定幅度的下降,預(yù)測序列與原始序列基本擬合,很大程度上提高了復(fù)合模型的精確度,實(shí)現(xiàn)了對吞吐量的精準(zhǔn)預(yù)測,為相關(guān)部門在港口規(guī)劃和布局上提供了一定的參考價(jià)值。

2)筆者在用一階馬爾可夫鏈修正灰色殘差值時(shí),對狀態(tài)的劃分采用區(qū)間等分法,這直接影響到狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣的確定,從而波及整個(gè)預(yù)測模型的精度。因此,可以對狀態(tài)區(qū)間的劃分做進(jìn)一步改進(jìn),以期能夠提高預(yù)測精度。