劉洪志 王 瑩

(江蘇省句容高級中學(xué) 212400) (江蘇省句容市第三中學(xué) 212400)

考試是對學(xué)生能力進(jìn)行評價的一種重要方式,測試試題是從事教育測量的量尺,命制一道恰當(dāng)?shù)脑囶}是考量學(xué)生水平發(fā)揮的關(guān)鍵所在.高三學(xué)生要參加很多考試,高三教師要根據(jù)學(xué)情命制不同難度的試題,現(xiàn)將個人命制一道解析幾何問題的過程與感悟記錄如下,與同行分享.

1 命題立意

《中國高考評價體系》提出的“一核、四層、四翼”為學(xué)科命題提供了準(zhǔn)則和標(biāo)尺,《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版2020年修訂)》提出的數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、直觀想象、數(shù)學(xué)運算和數(shù)據(jù)分析等學(xué)科核心素養(yǎng)內(nèi)容及其不同水平的劃分為命題提供了目標(biāo)和依據(jù).其強(qiáng)調(diào)的“考查內(nèi)容應(yīng)圍繞數(shù)學(xué)主干內(nèi)容、聚焦學(xué)生對重要數(shù)學(xué)概念、定理、方法、思想的理解和應(yīng)用,強(qiáng)調(diào)基礎(chǔ)性、綜合性;注重數(shù)學(xué)本質(zhì)、通性通法,淡化技巧”[1]又為學(xué)科命題指明了方向和要求.

高考中解析幾何問題一般是以考查直線與橢圓和直線與拋物線為主,對圓和雙曲線鮮有涉及,為了預(yù)防學(xué)生的賭徒心態(tài),筆者命制了一道以雙曲線為背景的問題,通過熟悉的背景考查共軛雙曲線、直線與雙曲線相切、弦長公式等相關(guān)知識,突出綜合性、基礎(chǔ)性和創(chuàng)新性.

2 命題過程

2.1 選定母題

2.2 探究母題

圖1

通過研究一般性,我們可以獲知切線與漸近線交點的橫、縱坐標(biāo)均為定值,且切點為交點連線段的中點.

2.3 初出茅廬,稍顯稚嫩

(1)求雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程;

因為第二問需要確定T為線段中點,故而降低第一問難度,給第二問的求解留下更充裕的時間.

解 (1)x2-y2=1.

此題取到最值的情況比較特殊,容易被猜到答案,而且綜合性較弱,缺少壓軸題的味道,需要做進(jìn)一步的思考.共軛雙曲線有共同的漸近線,這條切線與其共軛雙曲線相交能有什么樣的性質(zhì)呢?筆者保留了等軸雙曲線,放棄切線與漸近線相交這一背景,讓這條切線與其共軛雙曲線相交,轉(zhuǎn)而研究以坐標(biāo)原點和交點為頂點的三角形的面積問題,通過證明,發(fā)現(xiàn)這個面積是一個定值,命題的第二稿就此產(chǎn)生.

2.4 潛心修煉,再出江湖

(1)求雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程;

(2)設(shè)雙曲線C的共軛雙曲線為C′,點T為C上一點,過點T的雙曲線C的切線l與C′交于A,B兩點,求證:△AOB的面積為定值.

解 (1)雙曲線C的方程為x2-y2=1,雙曲線C′的方程為y2-x2=1.

圖2

綜上所述,△AOB的面積為定值.

在研究二稿的解答時,筆者作出了雙曲線、共軛雙曲線還有它們共同的漸近線,突然想到這里的切點能否也平分直線與共軛雙曲線形成的這條弦呢?于是先用等軸雙曲線進(jìn)行了特例檢驗然后再通過GeoGebra進(jìn)行演示,發(fā)現(xiàn)這是個正確的命題,證明一般情況后發(fā)現(xiàn)猜想正確,也就是過雙曲線C上任意一點T作切線,點T既是切線與漸近線交點的中點,也是切線與其共軛雙曲線交點的中點.帶著這樣的想法筆者保留直線與雙曲線相切的背景,對問題進(jìn)行了較大幅度的改編.

2.5 見賢思齊,日臻完善

(1)求雙曲線C′的標(biāo)準(zhǔn)方程;

(2)若過點M的C的切線與C′以及兩條漸近線自上而下依次交于點A,E,F,B,求證:AE=BF.

圖3

第三稿試題的表述更加簡潔,解法更能突出解析幾何中變量選擇的多樣性,考查了化歸與轉(zhuǎn)化思想,將證明兩條線段相等轉(zhuǎn)化為證明中點重合,如果直接解決會陷入比較復(fù)雜的數(shù)式運算,這種問題能夠鍛煉學(xué)生思維的靈活性,起到較好的能力評價效果.

3 命題感想

《中國高考評價體系》提出,試題要以必備知識、關(guān)鍵能力、學(xué)科素養(yǎng)為考查目標(biāo),全面體現(xiàn)考查的基礎(chǔ)性、綜合性、應(yīng)用性和創(chuàng)新性,站在學(xué)科整體高度創(chuàng)設(shè)數(shù)學(xué)建構(gòu)、數(shù)學(xué)知識習(xí)得、數(shù)學(xué)運算演練、數(shù)學(xué)推理學(xué)習(xí)、數(shù)學(xué)分析、數(shù)學(xué)探索、數(shù)學(xué)實驗等熟悉的課程學(xué)習(xí)情境[2].要盡量以數(shù)學(xué)教材例習(xí)題為載體,以數(shù)學(xué)中核心概念、性質(zhì)、法則、定理、定義、公式為背景,引導(dǎo)學(xué)生重視必備知識的學(xué)習(xí).

原創(chuàng)問題的痛點是無從下手,一般來說教材、高考試題、模擬試題等等都是命題的靈感來源.T8聯(lián)考范圍較大,而且都是教育發(fā)達(dá)的省份和地區(qū),在一定程度上反映高考的趨勢.關(guān)注T8聯(lián)考中的問題是高三教師的必修課,我們不僅要做好每道題,而且要帶著自己的理解進(jìn)行深入的思考,發(fā)揮聯(lián)考試題對高中教學(xué)的導(dǎo)向作用.試題的命制不是一個簡單的解題過程,而是將命題引向深入的研究過程.在命制過程中,三易其稿,這其中有簡單的模仿、有徹底的推翻、有深入和繼承,每一次都是思維的發(fā)散與聚合的碰撞,極大地提升了命題人的數(shù)學(xué)功底,同時也提醒自己在平時的教育教學(xué)中要注意積累和思考,能用發(fā)現(xiàn)的眼睛尋找命題的靈感,用發(fā)展的眼光去看待問題的研究方向,用發(fā)明的心態(tài)去專注命題工作.