田秀權(quán)

(江蘇省常州市第一中學(xué) 213003)

1 問題提出

解題教學(xué)是數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的重要組成部分,對于高三復(fù)習(xí)課更可謂是主旋律.波利亞指出[1]:教會學(xué)生解題是教會學(xué)生思考、培養(yǎng)學(xué)生獨(dú)立探索的一條有效途徑.遺憾的是,解題教學(xué)的現(xiàn)狀與此目標(biāo)存在一定的差距,很多教師在這方面的意識和能力都存在不足,直接影響了學(xué)生數(shù)學(xué)興趣的激發(fā)、創(chuàng)新意識的培養(yǎng)和思維能力的提升.

如何有效開展解題教學(xué)?筆者認(rèn)為“探究”是關(guān)鍵.讓解題教學(xué)在追求“解法成因”“問題本質(zhì)”“規(guī)律方法”和“思維訓(xùn)練”的探究中,促進(jìn)深度學(xué)習(xí)的發(fā)生,實(shí)現(xiàn)解題具體操作與解題策略之間的融合.本文以高三二輪復(fù)習(xí)中一道作業(yè)習(xí)題的教學(xué)為例,談?wù)劷忸}教學(xué)“探究”的四重境界.

2 解題探究

(1)求C的方程;

圖1

境界1探“選”方法,明確解題方向

題中涉及的幾何元素多、幾何關(guān)系復(fù)雜.由于分析問題的能力不足和運(yùn)算能力的欠缺,大多數(shù)學(xué)生辨不清“方向”,陷于運(yùn)算的“泥潭”,最終無功而返.因此解題教學(xué)中,尤其是二輪復(fù)習(xí)階段,應(yīng)探究、選擇方法,以簡馭繁,以明確解題方向,實(shí)現(xiàn)解題的“精準(zhǔn)制導(dǎo)”.

部分學(xué)生提出由因?qū)Ч?選擇變量中的關(guān)鍵因素(k參或點(diǎn)參)進(jìn)行推理運(yùn)算;部分學(xué)生提出由果溯因,猜想、探究目標(biāo)成立的充分條件.這些“可能的”解題方向,優(yōu)劣點(diǎn)是什么?可行性如何?可通過繪制思維導(dǎo)圖的方式模擬解題過程,助力學(xué)生預(yù)判和選擇(如圖2～4).

圖2 導(dǎo)圖1

導(dǎo)圖1是“k參”,設(shè)而不求,導(dǎo)圖2是“點(diǎn)參”,設(shè)而求之,是解析幾何的兩個(gè)基本思路,但易想難算(作業(yè)中,學(xué)生基本上都“折戟”于此);導(dǎo)圖3由果溯因,基于學(xué)生的理性分析和解題經(jīng)驗(yàn)(要使直線DE過定點(diǎn),直線AD,AE應(yīng)該有一定的限制條件),猜測kAD和kAE存在確定的數(shù)量關(guān)系(難點(diǎn)),基于此猜想的后續(xù)運(yùn)算則得到大大的簡化(可行性更強(qiáng)).因此,解題教學(xué)需要在“模擬導(dǎo)航”的探究中明確“方向”(目標(biāo)結(jié)論)、預(yù)估“風(fēng)險(xiǎn)”(思維受阻點(diǎn)或運(yùn)算受阻點(diǎn)),最終選擇最佳“路徑”(解法).

圖3 導(dǎo)圖2

圖4 導(dǎo)圖3

教學(xué)思考從思維角度,學(xué)生對諸多方法的“選擇”能力的培養(yǎng),可以幫助他們在更高層面的思維架構(gòu)中思考問題,提升思維的預(yù)見性,優(yōu)化思維的品質(zhì).從應(yīng)試角度,這種“選擇”能力可以幫助他們避免因盲目嘗試而帶來的時(shí)間消耗或選擇錯(cuò)誤而造成“徒勞無功”.

境界2探“密”難點(diǎn),破譯“通關(guān)密碼”

如果說境界1是探究并確定解題方向,那么境界2就是在探究中“解密”問題難點(diǎn),破譯問題解決的“通關(guān)密碼”.

導(dǎo)圖3中探究分成2個(gè)大的邏輯段.邏輯段1:在直線與圓的背景中(圖5)探究kAM(即kAD)和kAN(即kAE)的關(guān)系;邏輯段2:在直線與雙曲線的背景中(圖6)證明直線DE過定點(diǎn);難點(diǎn)是kAD和kAE究竟有沒有確定的數(shù)量關(guān)系、有怎樣的數(shù)量關(guān)系.

圖5 圖6

探究1極限探“定”

圖7

探究2動中探“定”

圖8

驗(yàn)證(因篇幅限制,僅呈現(xiàn)一種方法)

邏輯段2的證明(因篇幅限制,僅呈現(xiàn)一種方法)

教學(xué)思考著名數(shù)學(xué)家華羅庚指出:“善于‘退’,足夠的‘退’,‘退’到最原始而不失去重要性的地方,是學(xué)好數(shù)學(xué)的一個(gè)訣竅!”“特殊化”“極限化”等思想方法是解題探究“退”的有效途徑.由特殊到一般,以退為進(jìn),啟發(fā)“數(shù)學(xué)猜想”,助推“數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)”.

境界3探“源”本質(zhì),感悟思想方法

解題探究若僅僅滿足于“一個(gè)問題”而不追求“一類問題”,那這樣的探究是淺層次的,又何談“觸類旁通、格物致知”?對學(xué)生學(xué)科素養(yǎng)的提升、創(chuàng)新精神的培養(yǎng)以及學(xué)習(xí)興趣的激發(fā)也必定是缺失的.就好比登山止步于半山腰,自然無法領(lǐng)略頂峰的無限風(fēng)光、無法體會登頂?shù)暮狼槿f丈!

比如導(dǎo)圖3邏輯段2中,斜率乘積為定值、直線過定點(diǎn),是必然還是偶然?能否把命題一般化?逆命題是否正確?帶著這些思考,可以探究出以下命題.(可先通過數(shù)學(xué)軟件GeoGebra展示,讓學(xué)生直觀感知,再分小組探究)

把定值t特殊化,得到以下命題.這些命題既與學(xué)生已有認(rèn)知融合呼應(yīng)、前后聯(lián)系(如命題3.1,作為雙曲線的性質(zhì)研究過但又略有不同),又發(fā)展、豐富學(xué)生原有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)(如命題3.2、3.3),最終實(shí)現(xiàn)對知識的意義建構(gòu).

教學(xué)思考數(shù)學(xué)家波利亞說:“好問題類似于采蘑菇,采到一個(gè)后還應(yīng)四處看看,也許還有更多.”[1]解題探究中,通過挖掘問題的內(nèi)涵價(jià)值、拓展問題的外延范圍,在發(fā)現(xiàn)“蘑菇群”的同時(shí)也實(shí)現(xiàn)了問題的追本溯源,讓學(xué)生感悟問題的本質(zhì)和思想方法,收獲探究的“驚喜”,激發(fā)探究興趣.

境界4探“誘”聯(lián)想,促進(jìn)知識、方法的遷移

心理學(xué)上,將已有知識經(jīng)驗(yàn)對新知識的構(gòu)建影響叫作“遷移”.教育心理學(xué)家奧蘇貝爾認(rèn)為,所有的有意義的學(xué)習(xí)一定會包含遷移這個(gè)過程,因此他提出了“為遷移而教”的觀點(diǎn).解題探究中,結(jié)合知識的聯(lián)系、表征的抽象等,誘導(dǎo)、啟發(fā)學(xué)生積極聯(lián)想,理性探究,促進(jìn)知識、方法的遷移.

導(dǎo)圖3中邏輯段1,以圓為背景,也出現(xiàn)了“類似”命題3的性質(zhì),這是必然還是偶然?圓錐曲線是否都有類似性質(zhì)?

首先根據(jù)圓、橢圓、雙曲線方程結(jié)構(gòu)特征的相似性,以及運(yùn)算原理的一致性,讓學(xué)生類比、猜想圓、橢圓的類似性質(zhì)(把命題3中定點(diǎn)坐標(biāo)的a2,-b2置換成r2得圓的類似性質(zhì),把命題3中定點(diǎn)坐標(biāo)的-b2置換成b2得橢圓的類似性質(zhì)),然后再推理驗(yàn)證和探究拋物線的類似性質(zhì).得到以下命題(篇幅限制,命題4～6的一些子命題省略).

教學(xué)思考探究過程中,讓學(xué)生經(jīng)歷橫向聯(lián)系、觀察分析、表征轉(zhuǎn)化、模擬運(yùn)算、類比猜想、推理論證的思維過程,一方面促進(jìn)學(xué)生思維的發(fā)散和遷移,另一方面讓學(xué)生從新的視角感悟圓錐曲線的和諧美,最終實(shí)現(xiàn)解題意境“一覽眾山小”般的通透.

3 感悟

解題探究的四重境界(方法→難點(diǎn)→本質(zhì)→遷移)既是探究的方向,又是思維層次的四次飛躍:境界1側(cè)重思維的整體性、預(yù)見性,境界2側(cè)重于思維的邏輯性、靈活性,境界3側(cè)重于思維的深刻性,境界4側(cè)重于思維的發(fā)散性和創(chuàng)造性.解題探究中,問題的解決并非唯一目的,讓解題策略在探究中自然獲取,解題境界在探究中自然提升,思維品質(zhì)在探究中自然優(yōu)化,這是我們努力的方向!