陸海翔,蘇振超

(廈門大學(xué)嘉庚學(xué)院 土木工程學(xué)院,福建 漳州 363105)

這兩年由于新冠肺炎疫情肆虐,眾多高校停止線下教學(xué),啟動(dòng)線上教學(xué). 因手邊缺少理論力學(xué)適當(dāng)?shù)慕虒W(xué)素材,作者在網(wǎng)絡(luò) “原創(chuàng)力文檔”平臺(tái)上,菜單“文檔分類>高等教育>工學(xué)”下,下載了一篇PPT文檔《剛體平面運(yùn)動(dòng)習(xí)題課》[1], 該文檔有一題如下:“如圖1所示,齒條AB帶動(dòng)半徑為r=5 cm的齒輪在水平齒條上純滾動(dòng),齒條A點(diǎn)作勻速直線運(yùn)動(dòng),vA=30 cm/s, 當(dāng)θ=60°時(shí),求齒輪及齒條的角速度與角加速度.”

圖1

該文給出的結(jié)果:

ω輪=2 rad/s(),ωAB=2 rad/s(),α輪

在該題的求解過程中,作者將齒輪上D點(diǎn)加速度與齒條AB上D點(diǎn)加速度混為一談,導(dǎo)致錯(cuò)誤的結(jié)果.本文認(rèn)為,其根本原因是混淆了鉸鏈聯(lián)結(jié)與齒輪齒條嚙合傳動(dòng)的區(qū)別,從機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)學(xué)角度看,即混淆了轉(zhuǎn)動(dòng)副與齒輪齒條副的區(qū)別.

齒輪傳動(dòng)的嚙合過程是輪齒間的相對(duì)滑動(dòng),但兩輪齒廓的嚙合點(diǎn)不論在任何位置,嚙合點(diǎn)的公法線與兩輪連心線的交點(diǎn)位置不變,該點(diǎn)稱為齒輪傳動(dòng)節(jié)點(diǎn).齒輪傳動(dòng)節(jié)點(diǎn)在齒輪平面上的投影稱為齒輪節(jié)點(diǎn),齒輪節(jié)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡稱為節(jié)圓,兩齒輪的節(jié)圓相切于齒輪傳動(dòng)節(jié)點(diǎn)處,兩輪節(jié)點(diǎn)的速度相等.因此,兩齒輪的嚙合傳動(dòng)可視為兩輪節(jié)圓作純滾動(dòng).齒條可以看成半徑為無限大的齒輪,齒輪齒條嚙合傳動(dòng)時(shí),齒條的節(jié)圓變成節(jié)線,因此,齒輪與齒條的嚙合傳動(dòng)可以視為齒輪節(jié)圓與齒條節(jié)線作純滾動(dòng).圖1中的D點(diǎn)正是齒輪與齒條傳動(dòng)節(jié)點(diǎn),本文不討論齒輪傳動(dòng)嚙合點(diǎn)的運(yùn)動(dòng),只討論齒輪傳動(dòng)各節(jié)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng).

在理論力學(xué)教科書中,常見的運(yùn)動(dòng)構(gòu)件聯(lián)結(jié)是鉸鏈聯(lián)結(jié)和滑動(dòng)聯(lián)結(jié).兩構(gòu)件鉸鏈聯(lián)結(jié)(轉(zhuǎn)動(dòng)副),鉸結(jié)點(diǎn)有相同的速度和相同的加速度,而兩構(gòu)件的光滑接觸(滑動(dòng)副),接觸點(diǎn)的速度和加速度都不相同,只是接觸點(diǎn)的相對(duì)速度一定沿著接觸點(diǎn)的公切線方向.而齒輪嚙合傳動(dòng)或齒條嚙合傳動(dòng),只是各自節(jié)點(diǎn)速度相同,加速度卻不相同的.由于此類問題比較典型,也是學(xué)生學(xué)習(xí)中的易錯(cuò)問題,下面分別用幾何法和解析法詳細(xì)討論.

1 幾何法求齒輪與齒條的角速度和角加速度

齒條AB帶動(dòng)齒輪在水平齒條上純滾動(dòng),即齒輪與齒條AB都是作平面運(yùn)動(dòng).圖2中,D是齒輪與齒條傳動(dòng)節(jié)點(diǎn),齒條上的節(jié)點(diǎn)記為D1,齒輪上的節(jié)點(diǎn)記為D2,兩點(diǎn)的速度相等,即vD1=vD2.

圖2

1.1 求齒輪與齒條的角速度

齒輪在水平齒條上純滾動(dòng),M點(diǎn)為齒輪的速度瞬心,因此D1、D2速度方向已知.作MD的延長(zhǎng)線和vA的垂線,得齒條AB的速度瞬心P(見圖2).故有

而

1.2 求齒輪與齒條的角加速度

圖3中,以齒輪節(jié)點(diǎn)D2為動(dòng)點(diǎn),以齒條AB為動(dòng)參考體,根據(jù)點(diǎn)的合成運(yùn)動(dòng)加速度合成定理,有aD2=ae+ar+ak.因?yàn)辇X條節(jié)點(diǎn)D1是動(dòng)點(diǎn)D2的牽連點(diǎn),所以ae=aD1,則

圖3

aD2=aD1+ar+ak

(1)

ωr=ω輪+ωAB=(2+2) rad/s=4 rad/s()

ak為節(jié)點(diǎn)D2的科氏加速度.因?yàn)辇X輪上節(jié)點(diǎn)D2與齒條上節(jié)點(diǎn)D1速度相等,所以D2相對(duì)齒條AB的速度vr=0,則D2的科氏加速度ak=0, 則式(1)簡(jiǎn)化為

aD2=aD1+ar

(2)

式(2)建立了節(jié)點(diǎn)D1、D2加速度之間的關(guān)系.以齒輪為對(duì)象,以齒輪速度瞬心M為基點(diǎn),求齒輪上節(jié)點(diǎn)D2的加速度,得

(3)

以齒條AB為對(duì)象,以齒條的端點(diǎn)A為基點(diǎn),求齒條上節(jié)點(diǎn)D1的加速度,得

(4)

(5)

(6)

式(5)兩邊在y方向投影,得

(7)

式(6)、(7)聯(lián)立,解得

2 解析法求齒輪齒條的角速度和角加速度

θ=60°作為運(yùn)動(dòng)的初始時(shí)刻,設(shè)任意時(shí)刻齒輪的轉(zhuǎn)角為φ,齒條AB與水平齒條的夾角為θ,并假設(shè)齒條AB上的A端作勻速直線運(yùn)動(dòng).建立直角坐標(biāo)系如圖4所示.

圖4

(8)

為了分析齒輪與齒條的運(yùn)動(dòng),需要建立A點(diǎn)坐標(biāo)與齒輪轉(zhuǎn)角φ和齒條轉(zhuǎn)角θ之間的關(guān)系.在圖中AN與AE1是圓外過同一點(diǎn)的兩條切線,所以AE1=AN=xA-xC,則在水平方向有

xA=xC+rsinθ+AE1cosθ=

xC+rsinθ+(xA-xC)cosθ

因?yàn)辇X輪在水平齒條上純滾動(dòng),有xC=rφ,即xA=rφ+rsinθ+(xA-rφ)cosθ,整理,得

xA(1-cosθ)=rsinθ+rφ(1-cosθ)

(9)

所以齒條AB與水平齒條的夾角

(10)

式(9)兩邊對(duì)時(shí)間t求導(dǎo),得

(11)

由初始條件:

(12)

式(10)兩邊對(duì)時(shí)間t求導(dǎo),再令t=0,得

(13)

式(12)、(13)聯(lián)立,解得

即,在運(yùn)動(dòng)初始時(shí)刻,ω=2 rad/s(),ωAB=2 rad/s().式(11)兩邊對(duì)t求導(dǎo),并注意到得

(14)

在運(yùn)動(dòng)初始時(shí)刻

(15)

式(10)兩邊對(duì)時(shí)間t求兩階導(dǎo),再令t=0,得

(16)

式(15)、(16)聯(lián)立,解得

即在運(yùn)動(dòng)初始時(shí)刻

解析法與幾何法的結(jié)果一致.

3 齒輪傳動(dòng)節(jié)點(diǎn)加速度的一個(gè)重要性質(zhì)

齒輪傳動(dòng)或齒輪齒條傳動(dòng),其節(jié)點(diǎn)的速度是相同的,但其節(jié)點(diǎn)的加速度是不相同的.本文有如下結(jié)論:不管齒輪或齒條是作定軸轉(zhuǎn)動(dòng)還是作平面運(yùn)動(dòng),各自節(jié)點(diǎn)的絕對(duì)加速度在節(jié)點(diǎn)公切線方向的投影相等.證明如下:

設(shè)兩圓柱齒輪嚙合傳動(dòng),當(dāng)其中一個(gè)齒輪的半徑趨近于無窮大時(shí),就變成齒條,齒輪傳動(dòng)就變成齒輪齒條傳動(dòng).齒輪或齒條的運(yùn)動(dòng)既可以是定軸轉(zhuǎn)動(dòng)也可以是平面運(yùn)動(dòng),見圖5.

圖5

選擇其中一個(gè)齒輪(稱為齒輪1)上的節(jié)點(diǎn)為動(dòng)點(diǎn),設(shè)齒輪1的節(jié)點(diǎn)為P1、半徑為r1、輪心為O1;再選另一個(gè)齒輪或齒條(稱為齒輪2)為動(dòng)參考體,齒條可看成輪心在無窮遠(yuǎn)處的齒輪,設(shè)齒輪2的節(jié)點(diǎn)為P2,輪心為O2.動(dòng)點(diǎn)是節(jié)點(diǎn)P1,動(dòng)點(diǎn)P1的牽連點(diǎn)節(jié)點(diǎn)P2.ar

根據(jù)點(diǎn)的合成運(yùn)動(dòng)加速度合成定理aa=ae+ar+ak,aa=aP1,ae=aP2,則有

aP1=aP2+ar+ak

(17)

式(17)中,ak為動(dòng)點(diǎn)P1的科氏加速度.因?yàn)辇X輪1節(jié)點(diǎn)P1與齒輪2節(jié)點(diǎn)P2的速度相等,所以P1相對(duì)齒輪2的速度vr=0,則無論齒輪2作什么運(yùn)動(dòng),則動(dòng)點(diǎn)P1的科氏加速度ak≡0.則

aP1=aP2+ar

(18)

連心線O1O2與節(jié)點(diǎn)的公切線t-t垂直,ar沿著連心線O1O2方向,所以ar在節(jié)點(diǎn)的公切線t-t的投影為零,則式(18)向公切線方向投影,得

[aP1]t-t=[aP2]t-t

(19)

(-20cos60°+40)cm/s2=30 cm/s2,

4 結(jié)論

2) 隨著互聯(lián)網(wǎng)的蓬勃發(fā)展,教師和學(xué)生可以便捷獲取更豐富的教學(xué)參考資料,但由于互聯(lián)網(wǎng)平臺(tái)信息來源的廣泛性,加上沒有嚴(yán)格的審核機(jī)制,存在著大量錯(cuò)誤信息,這比沒有信息對(duì)學(xué)生造成的危害更甚,所以建議廣大教師和學(xué)生在選用相關(guān)例題、習(xí)題的解答時(shí)要慎重,以免得到錯(cuò)誤結(jié)論.