趙衛(wèi)東

【摘要】函數(shù)解析式問題的構(gòu)建考查方式較多，相交構(gòu)建、平移變換、對稱變換是其中較為特殊的三種.探究構(gòu)建方式，總結(jié)知識規(guī)律是教學(xué)的重點(diǎn).本文以拋物線問題為例，結(jié)合實(shí)例具體探究.

【關(guān)鍵詞】函數(shù)解析式;初中數(shù)學(xué);解題

求函數(shù)解析是初中數(shù)學(xué)的基本問題，也是需要重點(diǎn)掌握的知識.函數(shù)解析式問題的考查方式較多，實(shí)際考查時(shí)常從綜合視角進(jìn)行命題構(gòu)建，涉及眾多的知識考點(diǎn).下面以拋物線為例，探究其中較為特殊的三種方式.

構(gòu)建考查一 相交構(gòu)建

相交構(gòu)建考查，即設(shè)定直線、曲線、坐標(biāo)軸之間的交點(diǎn)，探究函數(shù)圖象的解析式.三者之間可以形成多種相交形式，解析時(shí)可先確定其交點(diǎn)，再采用待定系數(shù)法來推導(dǎo).

例1 已知拋物線過A（1，0）和B（4，0）兩點(diǎn)，與坐標(biāo)y軸交于點(diǎn)C，且滿足BC=5，則該二次函數(shù)的解析式為.

思路分析 題干給出拋物線過點(diǎn)A和B的坐標(biāo)，并設(shè)定與y軸的交點(diǎn)C，滿足BC=5，求其解析式需要求出點(diǎn)C的坐標(biāo).解析時(shí)需要求出點(diǎn)C的坐標(biāo)，關(guān)注兩點(diǎn)：一是點(diǎn)A和B均位于坐標(biāo)軸y軸上；二是點(diǎn)C相對于x軸的位置未知，需要分類討論，有兩種情形.

過程解析 已知拋物線過A（1，0）和B（4，0），則可設(shè)拋物線的解析式為y=a（x-1）（x-4）.拋物線交y軸于點(diǎn)C，且BC=5，則點(diǎn)C可位于x軸上方，也可位于其下方.

情形1 當(dāng)點(diǎn)C可位于x軸的上方時(shí)，其坐標(biāo)為（0，3），

可求得此時(shí)拋物線的解析式為

情形2 當(dāng)點(diǎn)C可位于x軸的下方時(shí)，其坐標(biāo)為（0，-3），

可求得此時(shí)拋物線的解析式為

綜上可知，二次函數(shù)的解析式為

評析 上述拋物線解析式問題中，構(gòu)建了圖象與坐標(biāo)軸相交情形，屬于相交構(gòu)建考查.問題解析需要利用線段條件求交點(diǎn)坐標(biāo)，再利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式.探究學(xué)習(xí)時(shí)應(yīng)關(guān)注拋物線與x軸相交于點(diǎn)x1，0，x2，0情形時(shí)其解析式的設(shè)法，可將其直接設(shè)為y=ax－x1x－x2.

構(gòu)建考查二 平移變換

通過平移變換構(gòu)建來考查二次函數(shù)解析式，其知識重點(diǎn)是二次函數(shù)的平移規(guī)律，包括兩點(diǎn)：一是坐標(biāo)系中二次函數(shù)解析式與平移之間的關(guān)聯(lián)；二是函數(shù)圖象平移的“不變”規(guī)律，即圖象形狀、大小和開口方向不變，a的值不變.

例2 如圖1所示，已知拋物線y=x2+2x-3與x軸正半軸交于A點(diǎn)，M（-2，m）在拋物線上，AM交y軸于D點(diǎn)，拋物線沿射線AD方向平移2個(gè)單位，則平移后的解析式為.

思路分析 本題目是關(guān)于拋物線平移交換的解析式推導(dǎo)問題，解析突破需分兩步進(jìn)行：第一步，推導(dǎo)頂點(diǎn)P的坐標(biāo)；第二步，分析平移過程，確定平移后點(diǎn)P的坐標(biāo)，求解析式.

過程解析 ?令y=0，則x2+2x-3=0，解得

x1=-3，x2=1，

可得A點(diǎn)坐標(biāo)為（1，0）.

將x=-2代入y=x2+2x-3中，

可得y=-3，則M點(diǎn)坐標(biāo)為（-2，-3）.

y=x2+2x-3=（x+1）2-4，則P點(diǎn)坐標(biāo)為（-1，-4）.

作MH⊥x軸于H，由于AH=1-（-2）=3，MH=3，

可推知△AMH為等腰直角三角形，

則∠OAD=45°，

進(jìn)而可得△AOD為等腰直角三角形，

所以O(shè)A=OD=1，可求得D（0，-1），

點(diǎn)P（-1，-4）先向左平移1個(gè)單位，再向下平移1個(gè)單位得到的點(diǎn)的坐標(biāo)為（-2，-5），所以平移后的拋物線解析式為y=x2+4x-1.

評析 上述拋物線解析式問題中，以平移交換為背景考查解析式的平移及平移特性.問題解析要以頂點(diǎn)P的平移轉(zhuǎn)換為切入點(diǎn)，把握平移過程，總結(jié)平移規(guī)律.對于拋物線的平移問題，可將其解析式轉(zhuǎn)化為頂點(diǎn)式，利用平移與解析式關(guān)聯(lián)可直接推導(dǎo)解析式.

構(gòu)建考查三 對稱變換

對稱變換構(gòu)建考查函數(shù)解析式，其核心知識是對稱轉(zhuǎn)換的性質(zhì)規(guī)律.對于拋物線，對稱變換過程中其形狀不會發(fā)生變換，則a保持不變.求對稱變換后的拋物線函數(shù)解析式，可從其頂點(diǎn)坐標(biāo)及開口方向入手，逐步推導(dǎo).

思路分析 可先求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，再解方程，求出點(diǎn)B的坐標(biāo)，然后根據(jù)中心對稱求出點(diǎn)M的坐標(biāo).最后根據(jù)對稱性，利用頂點(diǎn)式形式寫出C3的解析式即可.

過程解析 由拋物線解析式可知頂點(diǎn)P的坐標(biāo)為（-2，-5），利用交點(diǎn)法可求得點(diǎn)B的坐標(biāo)為（1，0）.

由于點(diǎn)P、M關(guān)于點(diǎn)B對稱，所以點(diǎn)M的坐標(biāo)為（4，5）.

已知拋物線C2與拋物線C1關(guān)于x軸對稱，拋物線C2向右平移得到C3，

所以可求得拋物線C3的解析式為

結(jié)語

總之，上述結(jié)合實(shí)例探究了拋物線求解析式的三種特殊方式，其中相交構(gòu)建主要考查直線與曲線位置關(guān)系及交點(diǎn)法，平移變換、對稱變換則主要考查圖象運(yùn)動規(guī)律.探究解析時(shí)，要把握三種問題的構(gòu)建形式，總結(jié)知識規(guī)律，構(gòu)建解題思路，形成解題策略.