林庚釵

（泉州市路橋發(fā)展集團有限公司 ,福建 泉州 362000）

0 引言

日益增加的城市公路交通和安全問題往往證明，建設新的城市公路和繞行路線，或重新調整和擴建現(xiàn)有城市公路是合理的，因此，公路機構面臨著尋找和設計最佳替代方案的挑戰(zhàn)[1]。用現(xiàn)有的方法尋找優(yōu)選的公路替代方案需要大量的資源，此外，各機構在調整道路和估算其成本時經常面臨復雜的決策，因為該項目應基于對許多相關因素的綜合分析[2-3]。采用工程判斷和人工成本效益分析的結合是有效的分析方法，通過加權標準分析對備選方案進行排名，手動識別其中一組可行的備選方案，并根據總分進行排名[4]。該分數(shù)由為各種標準分配的權重組成，然后利用歷史單位成本數(shù)據、工程判斷和試錯，對規(guī)劃、設計、通行權獲取、環(huán)境影響緩解和施工的總成本進行初步估算[5]。

該文采取一個簡單而通用的優(yōu)化問題的公式，以進行水平道路設計，通過確定問題的決策變量，將水平對齊設計框架化為約束優(yōu)化問題，尋找連接兩個終端的最優(yōu)路徑，并通過實例驗證公式的有效性。

1 平面線形的數(shù)學模型

1.1 設計變量

實現(xiàn)給定兩點a和b之間的道路設計，水平道路線形應由直線段、圓曲線和緩和曲線以適當組合形成，在給出的模型當中，這些曲線是回旋線。如果路徑由N+1條切線組成，則它明確地由頂點（vi=(xi,yi),i=1,…,N）這些切線相交的位置，以及半徑（Ri≥0,i=1,…,N）和角度（ωi≥0,i=1,…,N）的圓形曲線形成，如圖1所示。因此，對于每一個N∈Ψ，定義XN=(x1,y1,R1,ω1,…,xN,yN,RN,ωN)∈R4N,為路線優(yōu)化問題中決策變量的向量。此外，用表示由XN確定的曲線（道路路徑）。

圖1 連接兩個終點站a和b的水平道路路線

1.2 弧長參數(shù)化法

圖2 水平道路線形中涉及的變量的命名約定

單位向量給出切線j的方向和意義：

切線j的方位角：

切線之間的方位差i和i+1：

圓曲線長度：

每個回旋線的長度依次如下：

在直線段i和轉彎i的起點之間的交界處：

（1）圓曲線的半徑和角度必須是非負的，即對于i=1,…,N，要求Ri≥0；ωi≥0。

（2）圓曲線的角度必須小于或等于每一圈相應切線之間的方位差。

（3）第i+1轉彎必須在第i轉彎結束后開始。

2 平面線形優(yōu)化設計的一般公式

集合Cad依賴于正在處理的特定問題，并且根據它，模型定義了函數(shù)允許集。

另一方面，追求的目標是設計一條在某些技術方面最終被證明是最佳的道路路線（最大限度地減少長度、土方、征用成本、環(huán)境影響，...）,目標函數(shù)的定義和計算在任何實際應用中都是至關重要的。為了尋求對問題簡單而一般的表述，引入一個函數(shù)F：Cad→R給出每條路徑的成本。因此，將JN：R4N→R定義為JN(XN)=F，設計連接a和b的最佳水平道路線形的問題包括解決以下問題：

對于每個N=1,2,...，并選擇與最低值對應的

數(shù)學函數(shù)F是每個特定問題的特征，在許多實際應用中，獲得F（綜合所有現(xiàn)有成本）的良好表達式可能是一項困難的任務。為了定義函數(shù)F，模型提出域Ω上的每個點都有一個價格(成本)，因此，在某種程度上，存在一個函數(shù)p(x,y)，它給出了經過的路徑（x,y）∈?的價格。加上道路所經過的所有位置的價格，模型得到了布局的總成本，在這種情況下，考慮到函數(shù)是關于弧長參數(shù)的的參數(shù)化，目標函數(shù)JN由下式給出：

它可以通過使用合適的數(shù)值積分公式來計算。

由函數(shù)p給出的價格概念應理解為模擬各種可能性的一般函數(shù)：它可以是經濟的(征用價格、瀝青成本、土方工程等)，也可以是環(huán)境、生態(tài)的。這一價格也可以被視為通過某些點的懲罰，這允許通過包括布局不能與目標函數(shù)交叉的點來簡化Cad。最后，p(x,y)也可以是不同類型價格的組合（加權和）。如果想要考慮所有現(xiàn)有的成本，獲得函數(shù)p，就像函數(shù)F一樣，可能是一項困難的任務。但是，在一些簡單的應用中，函數(shù)p可以很容易地定義。

3 新的道路布局設計

當準備設計一條連接兩個終點a,b∈R新道路的水平線形，需要滿足以下限制：所有圓曲線的半徑至少為50 m，直線段必須超過100 m，每個回旋線的長度至少為95 m。

關于目標函數(shù)J，模型研究以下兩種不同的情況。

3.1 盡量減少長度并避開障礙物

該不連續(xù)函數(shù)p可以通過平滑近似來逼近，以保證公式（8）的平滑性，并使用可微優(yōu)化算法來解決問題（7）。以下示例說明了這種方法（及其良好的性能），

尋求從點a=(0,1)開始，到達點b=(5.2,2.1)的最短路徑，滿足定義可接受集合的限制，并避免穿過以C1=(1,1)、C2=(2.3,2.4)、C3=(4.2,1.3)為圓心的三個圓且半徑分別為R1=0.6、R2=0.9、R3=1，如圖3所示。正如預期的那樣，最佳解決方案是達到N=3，重點結果如表1所示。該方法的良好表現(xiàn)如圖3所示，其中模型繪制了要繞過的障礙物，以及通過一轉、兩轉和三轉計算出的最佳道路線形（N=1；N=2且N=3）。

表1 路徑規(guī)劃參數(shù)計算結果

圖3 路徑切線和限制區(qū)域規(guī)劃

3.2 最小化斜率和長度

在以上實例中，通過模型尋求使坡度最小的最短水平路線。模型設定有一個函數(shù)H(x,y)，它給出了Ω的每個點的海拔。

對于平滑的參數(shù)化曲線C={α(t)}=(α1(t),α2(t)),，每個點的斜率由下式給出：

該公式能很好地計算道路設計的最佳坡度和長度，通過實例計算得到N=3的參數(shù)效果最佳解，數(shù)值結果如表2所示。

表2 最佳坡度和長度路徑規(guī)劃參數(shù)計算結果

如果只允許轉彎（N=1），則最佳解決方案是繞山繞行，調整路線以大致在相同的高度上行駛。這會導致巨大的圓形曲線，從“道路設計”的角度來看，這是不可取的。如果允許多轉彎，最佳解決方案就是穿越山脈的布局，從而大大減少路徑的長度。還可以看出，在兩種情況下（N=2和N=3），布局都試圖避免陡峭的斜坡，正如預期的那樣，3圈對齊（N=3）是最好的解決方案。

4 案例分析

該文以一段3.5 km的道路為研究對象，該段道路在2013年經批準進行道路重建。在進行優(yōu)化設計的時，由于新布局必須驗證的約束，假設所有圓曲線的半徑必須至少為30 m，圓曲線的長度必須在80~450 m之間，每個回旋曲線的長度必須在85~1 300 m之間，直線段必須為100~2 500 m之間。根據舊布局的一些合適點的坐標，使用三次樣條插值構造目標函數(shù)，得到JN的計算結果如表3所示。

表3 案例路徑規(guī)劃計算結果

如表3所示，道路改進的最佳選擇是三轉彎（N=3），結果表明，隨著轉數(shù)的增加，可以獲得對舊布局的更好調整。對于N=1，由于只允許一個轉彎，最優(yōu)解在于與舊路徑中最長的直線段相交，但整體最優(yōu)解還是N=3時的改進方案。

5 結論

由一系列切線、圓曲線和回旋曲線組成的水平道路線形設計是通過切線（頂點）以及圓曲線的半徑和角度的交點獨特地建立的。在該文中，所使用的模型能夠從這些值中根據弧長參數(shù)獲得布局的完整參數(shù)化。對價格的廣泛解釋能夠解決現(xiàn)實中的各種問題，這種方法可以成為改善道路重建項目中路線規(guī)劃的好方法，根據實例所獲得的結果認可所采用的模型和計算方法是尋求新道路初始路線很好的工具。