李仲悅, 王 彤

(西安電子科技大學雷達信號處理國家重點實驗室, 陜西 西安 710071)

0 引 言

空時自適應處理(space-time adaptive processing, STAP)能夠聯(lián)合空時兩維自由度,在二維聯(lián)合域形成與空時耦合雜波相匹配的斜凹口,有效提升機載雷達雜波抑制和目標檢測性能[1-3]。當用于雜波加噪聲協(xié)方差矩陣(clutter-plus-noise covariance matrix, CCM)估計的獨立同分布(independent and identically distributed, IID)樣本數(shù)大于系統(tǒng)自由度2倍時,STAP算法可以獲得較為理想的處理性能。然而受陣列非理想配置以及觀測場景快速變化的影響,機載雷達的實際工作環(huán)境都是非均勻的,通常難以獲得期望的IID樣本數(shù),進而導致STAP算法性能下降。

針對上述問題,國內(nèi)外科研工作者進行了積極的探索,取得了豐富的研究成果。文獻[4]利用雜波的低秩特性將樣本需求數(shù)減小到雜波秩的2倍。文獻[5]通過二維譜變換增加非正側(cè)陣樣本的利用率。文獻[6]通過非均勻檢測器剔除統(tǒng)計特性不一致的樣本。文獻[7]利用先驗的環(huán)境信息提高CCM估計性能。文獻[8]利用滑窗技術(shù)實現(xiàn)基于單快拍的目標檢測。上述算法雖然可以提高非均勻環(huán)境下的雜波抑制性能,但對雷達工作模式、天線陣列結(jié)構(gòu)以及先驗信息配準精度提出了較高的要求,所以在實際應用中存在較多限制。

近年來,隨著稀疏恢復(sparse recovery, SR)理論的快速發(fā)展,研究人員提出一種基于雜波內(nèi)在稀疏性的SR-STAP方法[9-11]。由文獻[9-11]的理論和仿真分析可知,SR-STAP算法利用少數(shù)幾個甚至一個觀測數(shù)據(jù)就可以獲得高精度的CCM估計,為提升非均勻環(huán)境下雜波抑制性能提供了一種新的途徑。SR-STAP算法一般包含兩個步驟:一是離散化空時平面并構(gòu)建稀疏信號模型;二是求解上述信號模型中的稀疏參數(shù)并利用其計算CCM。已有的SR-STAP文獻通常假設雜波數(shù)據(jù)能夠由離散化的字典矩陣精確表示。但在實際應用中,離散化處理以及陣列幅相誤差的存在會導致接收數(shù)據(jù)與稀疏信號模型的失配,進而降低SR-STAP算法的CCM估計精度。

為了減小模型失配造成的影響,文獻[12-16]對離散化處理造成的格點失配現(xiàn)象進行了分析,提出局域化搜索和非均勻劃分的空時字典校準算法;文獻[17-18]對由陣元幅相誤差造成的失配現(xiàn)象進行了分析,提出誤差參數(shù)和角度-多普勒像交替迭代的算法。但是,文獻[12-18]僅考慮了由單一失配導致SR-STAP算法性能下降的問題,對于兩種失配同時存在的情況還需進一步探索。

針對上述問題,本文提出一種基于稀疏貝葉斯框架[19-20]的穩(wěn)健STAP (robust sparse Bayesian learning-based STAP,RSBL-STAP)算法。RSBL-STAP算法首先利用導向矢量的Kronecker結(jié)構(gòu)構(gòu)建陣列幅相誤差和格點失配同時存在情況下的誤差信號模型,然后利用貝葉斯推斷和最大期望(expectation maximization,EM)算法[21-25]迭代求取角度-多普勒像、陣列誤差參數(shù)以及格點失配參數(shù),最后利用求解參數(shù)計算精確的CCM和STAP權(quán)矢量。此外,為了減小模型構(gòu)建所增加的計算復雜度,本文還提出了一種基于空域通道的自適應降維字典矩陣設計方法。仿真實驗證明了所提算法的正確性與有效性。

本文所提算法主要貢獻可歸納如下:

(1) 構(gòu)建陣列幅相誤差和格點失配同時存在情況下的SR-STAP誤差信號模型;

(2) 推導稀疏貝葉斯學習(sparse Bayesian Learning, SBL)框架下誤差參數(shù)的迭代求解過程;

(3) 提出一種基于空域通道的自適應降維字典矩陣設計方法。

1 信號模型

考慮一個機載脈沖多普勒雷達系統(tǒng),天線是由N個陣元構(gòu)成的均勻等距線陣,陣元間隔為半波長(d=λ/2)。假設雷達發(fā)射機在一個相干脈沖處理時間內(nèi)發(fā)射M個脈沖,脈沖重復頻率(pulse repetition frequency, PRF)為fr,則理想接收信號[2]可以表示為

(1)

(2)

式中:fd,k和fs,k分別表示第k個雜波塊的歸一化多普勒頻率和歸一化空間頻率。然而在實際應用中,受工藝技術(shù)水平以及工作環(huán)境等因素影響,天線陣元間的一致性會被破壞,也就產(chǎn)生了所謂的“陣元幅相誤差”,進而導致接收信號與理想信號模型的失配。

假設se=[se,1,se,2,…,se,N]T為陣列幅相誤差矢量,將其引入式(1),則實際接收信號模型[17-18]可以修正為

(3)

假設各分量之間相互獨立,則根據(jù)式(3),可將接收數(shù)據(jù)的理想CCM表示為

(4)

但是在實際應用中,難以精確獲取觀測場景中雜波實際分布信息。為了解決上述問題,SR-STAP算法利用雜波在角度-多普勒平面上的稀疏性,將連續(xù)的二維平面均勻離散劃分為Ns個空域通道和Nd個時域通道。令v(fd,j,fs,i)(j=1,2,…,Nd,i=1,2,…,Ns)表示空時離散通道相交格點上的導向矢量,如果集合V={v(fd,1,fs,1),v(fd,2,fs,2),…,v(fd,Nd,fs,Ns)}包含式(3)中Nc個雜波塊的空時導向矢量,則式(3)可以進一步表示為

(5)

(6)

(7)

式中:αs=[αs,1,αs,2,…,αs,Ns]T表示輔助原子對應的稀疏系數(shù)。經(jīng)過簡單的矩陣變換[21-22],式(7)可以重新表示為

(8)

式中:

(9)

(10)

在多快拍下可以擴展為

(11)

(12)

2 RSBL-STAP算法

本節(jié)推導基于SBL框架的RSBL-STAP算法。為了促進角度-多普勒像的稀疏性,本文假設稀疏系數(shù)矩陣A服從廣義雙重帕累托(generalized double Pareto,GDP)先驗分布[23]。根據(jù)文獻[23],A的GDP分布可以利用以下3層先驗假設得到:首先,假設參數(shù)A各列具有聯(lián)合稀疏性且服從均值為0、方差為Γ的復高斯分布,即

(13)

式中:Γ=diag(γ);γ=[γ1,γ2,…,γQ]T;Q=Ns(Nd+1)表示離散格點上的雜波功率。然后,假設超參數(shù)γq彼此獨立且服從參數(shù)為βq的Gamma分布,即

(14)

(15)

式中:h是一個小的正常數(shù)。

(16)

式中:fd,t和fs,t分別表示目標的歸一化多普勒頻率和空間頻率。

(17)

(18)

(19)

問題1和問題2的具體求解步驟分別由第2.1節(jié)和第2.2節(jié)給出。

2.1 問題1求解

本節(jié)利用EM算法對問題1進行求解,EM算法包含兩個計算步驟。

(20)

(21)

步驟 2.1更新超參數(shù)γ,β。超參數(shù)(γ,β)的似然函數(shù)[19-25]可以表示為

L(γ,β)=E{Inp(A|γ)p(γ|β)p(β)}∝

(22)

式中:μl,q表示μl的第q個元素;Σq,q表示矩陣Σ的第(q,q)個元素。計算式(22)關(guān)于參數(shù)γq的偏導數(shù),即

(23)

令式(23)為0,即可得到參數(shù)γq的更新公式[23]為

(24)

同理,可得超參數(shù)βq的估計值為

(25)

步驟 2.2更新誤差參數(shù)se。誤差變量參數(shù)se的似然數(shù)L(se)可以表示[21-22]為

(26)

式(26)中關(guān)于參數(shù)se的偏導數(shù)可以表示為

(27)

式中:

(28)

令?L(se,εe)/?se=0,得到se的更新表達式

(29)

式中:

(30)

(31)

(32)

2.2 問題2求解

在推導相關(guān)函數(shù)之前,先對將要用到的變量符號做如下定義[15,23,25]。

(33)

利用各參數(shù)間的獨立性計算超參數(shù)γ的邊緣似然函數(shù),即

(34)

(35)

令

(36)

(37)

(38)

其中,

(39)

(40)

(41)

(42)

(43)

3 降維字典矩陣設計

不同于傳統(tǒng)的SR-STAP算法,本文所提RSBL-STAP算法為了分離誤差變量,在模型構(gòu)建時進行了字典矩陣對角化操作,導致字典矩陣維度的增加以及計算效率的降低。針對上述問題,本節(jié)在文獻[26]的基礎上利用角度-多普勒像的稀疏性設計了一種基于空域通道的自適應降維字典矩陣,具體設計過程如下。

(44)

式中:vsub(fd,k,fs,i)表示子孔徑導向矢量。

步驟 2定義Pi=[P(fd,1,fs,i),P(fd,2,fs,i),…,P(fd,Nd,fs,i)](i=1,2,…,Ns)表示第i個空域通道內(nèi)離散化格點對應的估計值,則第i個空域通道的選取門限Thi可以表示為[26]

(45)

4 仿真驗證

本節(jié)通過仿真實驗對所提算法的有效性進行驗證。仿真實驗中陣列幅相誤差設置為5%,其他系統(tǒng)仿真參數(shù)如表1所示。

表1 雷達系統(tǒng)仿真參數(shù)Table 1 Simulation parameters of radar system

此外,仿真實驗中問題1的最大迭代次數(shù)和停止參數(shù)分別設置為103和10-12;問題2的格點搜索參數(shù)和精細劃分格點數(shù)分別設置為υ=1.12和P=11;RSBL-STAP的迭代停止條件設置為迭代次數(shù)t≥8或者格點搜索間隔Δf≤0.008;空時離散化格點數(shù)為Nd=Ns=6N;樣本數(shù)為L=10。

下面從Capon譜估計能力、自適應方向圖形成能力、輸出SCNR損失性能、目標檢測性能以及計算時間5個方面對所提算法性能進行評估驗證。

實驗 1Capon譜估計性能

由于CCM估計精度決定了STAP算法的性能,所以本實驗利用Capon譜對所提算法的雜波統(tǒng)計特性估計能力進行評估,并與最優(yōu)(optimum, OPT)算法[2]、SBC-STAP算法[11]以及網(wǎng)格失配自校正SBL-STAP(off-grid self-calibration SBL-STAP, OS-SBL-STAP)算法[15]等算法進行了對比分析,結(jié)果如圖1所示。

圖1 不同算法的Capon譜Fig.1 Capon spectra of different algorithms

從圖1可以看出,幅相誤差和格點失配會導致傳統(tǒng)SBL-STAP算法所估計的Capon譜發(fā)生展寬并在雜波清晰區(qū)產(chǎn)生大量功率較強的擾動信號。OS-SBL-STAP算法通過增加格點搜索步驟可以在一定程度上減小Capon譜展寬程度,但是受限于最小二乘估計精度以及幅相誤差影響,其譜估計能力依然有限。本文所提算法同時考慮率了兩種誤差,在利用GDP先驗分布提高待估參數(shù)稀疏性的同時還獲取了誤差參數(shù)的高精度估計,所以能夠獲得與OPT-STAP接近的Capon譜估計性能。

實驗 2自適應方向圖形成能力

為了對雜波抑制性能進行更詳細的對比分析,圖2給出了各算法的空時二維自適應方向圖,其中目標假設位于陣列主瓣指向,相應多普勒頻率設置為0.299。從圖2可以看出,由于所提RSBL-STAP算法補償了陣元幅相誤差和格點失配的影響,所以能夠與OPT-STAP算法一樣,在于目標指向處形成最大增益的同時在雜波分布區(qū)域形成窄且深的凹口。相反地,由于無法徹底消除陣元幅相誤差和格點失配的影響,OS-SBL-STAP以及傳統(tǒng)SBL-STAP的波束指向與真實目標方向會有一定的偏差,所形成的雜波凹口也有一定程度的展寬。

圖2 二維自適應方向圖Fig.2 Two-dimensional adaptive patterns

為了更好地對比各算法的凹口形成能力,圖3和圖4分別給出了目標所在時、空通道的方向圖切片以及局部放大圖,從中可以看出在陣列幅相誤差影響下,傳統(tǒng)SBL-STAP和OS-SBL-STAP算法所估計的濾波器權(quán)矢量不能對準目標指向,這會帶來目標相干積累損失。此外,相較于所提算法,上述兩種STAP算法的凹口形成能力也有不同程度的惡化,這是因為陣列幅相誤差和格點失配的存在會導致雜波能量不能被真實估計,而是分散于周圍格點上,因此會造成STAP權(quán)矢量凹口展寬,深度減小,最終導致算法雜波抑制性能下降。

圖3 時域自適應方向圖Fig.3 Adaptive pattern in temporal domain

圖4 空域自適應方向圖Fig.4 Adaptive pattern in spatial domain

實驗 3輸出信雜噪比(signal to clutter plus noise ratio,SCNR)損失性能

為了更清楚地反映各算法的雜波抑制性能,圖5給出了各算法SCNR損失隨多普勒頻率變化的曲線,其中SCNR損失定義為各算法輸出SCNR與噪聲環(huán)境下匹配濾波器輸出信噪比(signal to noise ratio, SNR)的比值[2],即

圖5 SCNR損失對比圖Fig.5 Comparison diagram of SCNR loss

(46)

式中:w表示估計的濾波器權(quán)矢量;R表示誤差環(huán)境下真實的CCM。

從圖5可以看出,幅相誤差和格點失配導致的譜展寬和清晰區(qū)擾動會降低SBL-STAP和OS-SBL-STAP算法輸出SCNR。而所提算法利用重構(gòu)的誤差信號模型和迭代算法消除了相關(guān)影響,所以能夠獲得近似OPT-STAP的性能。此外,圖5還給出了直接數(shù)據(jù)域STAP (direct data domain-STAP, DDD-STAP)算法,迭代自適應STAP (iterative adaptive approach, IAA-STAP)算法以及對角加載STAP (loading sample matrix inversion STAP, LSMI-STAP)算法的輸出SCNR損失曲線。從圖5可以看出IAA-STAP與SBL-STAP以及OS-SBL-STAP算法一致,在模型失配存在時其輸出SCNR損失性能相較于OPT-STAP而言有較大程度的下降。受自由度損失和陣列幅相誤差雙重影響,DDD-STAP算法在旁瓣雜波區(qū)域的輸出SCNR損失性能則要略遜一籌。但是在主瓣雜波區(qū)域,DDD-STAP算法性能則要優(yōu)于SBL-STAP算法、OS-SBL-STAP算法以及IAA-STAP算法,這是因為利用滑窗技術(shù)的DDD-STAP算法在獲得更多訓練樣本的同時避免了傳統(tǒng)SR-STAP算法格點失配帶來的性能損失,所以在主瓣雜波區(qū)域具有較好的輸出SCNR性能。此外,雖然利用稀疏恢復技術(shù)的SBL-STAP算法、OS-SBL-STAP算法以及IAA-STAP算法在信號模型失配時性能損失嚴重,但是在小樣本環(huán)境下相較于傳統(tǒng)的LSMI-STAP算法仍具有較大的優(yōu)勢。

實驗 4目標檢測性能

本實驗利用檢測概率Pd評估所提算法的目標檢測性能,其中虛警概率Pfa設置為10-3。圖6給出了各算法檢測性能隨目標SNR變化的結(jié)果,其中圖6(a)～圖6(c)分別假設目標歸一化多普勒頻率為0.5、0.2以及0.008,主要反映各算法對快速、中速以及慢速運動目標的檢測性能。

圖6 檢測概率曲線Fig.6 Curves of detection probability

從圖6可以看出,與其他SR-STAP算法相比,本文所提算法對不同運動速度和SNR的目標都具有近似最優(yōu)的檢測性能。這是因為所提算法能夠正確補償模型失配對稀疏角度-多普勒像以及目標導向矢量的影響,在保證濾波器權(quán)矢量指向目標的同時,在雜波區(qū)域形成窄且深的凹口,最終獲得近似最優(yōu)的目標檢測性能。

實驗 5計算時間

最后,對所提算法的計算效率進行評估。圖7給出了不同SR-STAP算法計算時間隨陣元數(shù)目變化的示意圖(脈沖數(shù)與陣元數(shù)一致,仿真實驗由標準臺式計算機完成,計算機中央處理單元為Intel Xeon E5-2620@2.10 GHz×2)。從圖7可以看出RSBL-STAP算法、OS-SBL-STAP算法以及SBL-STAP算法的計算時間要大于IAA-STAP算法,這是因為基于SBL框架的STAP算法需要計算稀疏系數(shù)的協(xié)方差矩陣以及逆矩陣,而IAA-STAP算法僅需要計算接收數(shù)據(jù)的協(xié)方差矩陣和逆矩陣,由于稀疏系數(shù)維數(shù)遠大于接收數(shù)據(jù)自由度,所以基于SBL框架的STAP算法具有更高的計算復雜度。此外,由于誤差信號模型在構(gòu)建過程中的對角化操作,本文所提RSBL-STAP算法的計算時間要大于OS-SBL-STAP算法以及SBL-STAP算法。

5 結(jié) 論

針對誤差環(huán)境導致傳統(tǒng)SR-STAP算法性能下降的問題,本文提出一種基于SBL的穩(wěn)健SR-STAP算法。該算法首先利用空時導向矢量的Kronecker結(jié)構(gòu)構(gòu)建SR-STAP誤差信號模型,然后利用貝葉斯推斷和最大期望算法迭代求取各參數(shù),并計算CCM和STAP權(quán)矢量。仿真結(jié)果表明,所提算法能夠消除陣列幅相誤差和格點失配對雜波統(tǒng)計特性和目標導向矢量估計的影響,在目標指向形成最大增益的同時還能在雜波分布區(qū)域形成窄凹口,顯著提高了誤差環(huán)境下非均勻雜波抑制和目標檢測性能。但是,相較于其他SR-STAP算法,本文所提算法在誤差信號模型構(gòu)建過程中的對角化操作會增加算法的計算復雜度,因此在算法模型優(yōu)化和實時性方面還需要進行更進一步的研究。