周思源 魏俊潮

(揚州大學數學科學學院,江蘇 揚州 225002)

高考題中常見的運用構造函數法的題型有比較大小、實根個數、取值范圍、極值最值與單調性問題.本文結合近幾年的高考題和各地模擬題,對構造函數這一解題方法的五類常見題型和解題策略進行研究.

1 構造函數與大小關系

解析由題知f′(x)=ex-x+a,

設g(x)=ex-e-x-2x,x>0,

則g′(x)=ex+e-x-2≥0.

所以g(x)在(0,+∞)單調遞增,則

g(x)>g(0)=0.

2 構造函數與實根個數

(1)求實數a,b的值.

(2)證明:方程f(x)=|lnx+sinx|有且只有一個實根.

解析(1)a=1,b=-1.

令函數g(x)=lnx+sinx,x∈(0,+∞),則

當x∈[π,+∞)時,lnx>1,sinx≥-1,

所以g(x)=lnx+sinx>0.

當x∈[1,π)時,lnx≥0,sinx>0,

所以g(x)=lnx+sinx>0.

則g(x)在(0,1)單調遞增.

綜上所述,函數g(x)在(0,+∞)有唯一的零點x0∈(0,1),且g(x)在(0,x0)上恒小于零,在(x0,+∞)上恒大于零[1].

令函數φ(x)=f(x)-|lnx+sinx|,討論如下:

①當x∈(0,x0)時,

φ(x)=f(x)-|lnx+sinx|

則函數φ(x)在(0,x0)單調遞增.

所以函數φ(x)在(0,x0)存在唯一的零點.

則方程f(x)=|lnx+sinx|在(0,x0)上有唯一的零點.

②當x∈(x0,+∞)時,

φ(x)=f(x)-|lnx+sinx|

當x∈(0,1)時,m′(x)<0,所以m(x)在(0,1)單調遞減,當x∈(1,+∞)時,m′(x)>0,所以m(x)在(1,+∞)單調遞增.

則m(x)≥m(1)=1-ln1-1=0.

所以x-lnx-1≥0.

則h′(x)=ex+sinx+x-1.

因為h″(x)=ex+(cosx+1)>0,

所以h′(x)在(0,+∞)單調遞增,

則h′(x)>h′(0)=0.

即h(x)在(0,+∞)單調遞增.

所以h(x)>h(0)=0.

>x-lnx-sinx≥x-lnx-1≥0.

即φ(x)>0.

所以方程f(x)=|lnx+sinx|在(x0,+∞)上無零點.

綜上所述,方程f(x)=|lnx+sinx|有且只有一個實根.

3 構造函數與取值范圍

例3 已知函數f(x)=x2-4x+alnx,a∈R,函數f(x)的導函數為f′(x).若f′(x)有兩個零點x1,x2(x1

f′(x)有兩個零點x1,x2(x1

由題可得,f′(x)有兩個零點x1,x2(x1

因為x1

因為0h(1)=-3,故m≤-3.

4 構造函數與極值最值

例4已知a為正整數,若對任意x∈(0,+∞),不等式alnx≤x+1成立,則a的最大值為____.

解析由題意可知,alnx-x-1≤0對?x∈(0,+∞)恒成立.

由題意可知,a為正整數,所以a>0.

令f′(x)=0,則x=a.

則f(x)在(0,a)單調遞增,(a,+∞)單調遞減.

所以需要滿足f(x)max=f(a)=alna-a-1≤0.

令a=2,f(2)=2ln2-3≤0,符合題意;

令a=3,f(3)=3ln3-4≤0,符合題意;

令a=4,f(4)=4ln4-5>0,不符合題意.

所以amax=3.

5 構造函數與單調性

例5 設函數f(x)=ex+asinx-ax2-(1+a)x.當a≤0時,討論f(x)的單調性.

解析由題知f′(x)=ex+acosx-2ax-(1+a)=ex-1+a(cosx-2x-1),

令g(x)=cosx-2x-1,

則g′(x)=-sinx-2<0.

所以g(x)在R上單調遞減,注意到g(0)=0,

當x≥0時,g(x)≤0,此時f′(x)≥0,f(x)單調遞增;當x<0時,g(x)>0,此時f′(x)<0,f(x)單調遞減.所以f(x)在(-∞,0)單調遞減,(0,+∞)單調遞增[2].

構造函數是高考函數相關題型中的常用解題方法,本文列舉了五種利用構造函數求解的函數題,針對比較大小、實根個數、取值范圍、極值最值、單調性問題進行了一些研究,總結了一些利用構造函數解題的技巧,希望能為解決新高考函數問題提供一些幫助.